Macierze (tabele z elementami numerycznymi) mogą być używane do różnych obliczeń. Niektóre z nich to mnożenie przez liczbę, wektor, inna macierz, kilka macierzy. Produkt czasami jest nieprawidłowy. Błędny wynik jest wynikiem nieznajomości zasad wykonywania czynności obliczeniowych. Zastanówmy się, jak zrobić mnożenie.
Macierz i liczba
Zacznijmy od najprostszej rzeczy - pomnożenia tabeli z liczbami przez określoną wartość. Na przykład mamy macierz A z elementami aij (i to numery wierszy, a j to numery kolumn) oraz liczba e. Iloczynem macierzy przez liczbę e będzie macierz B z elementami bij, które znajdują się za pomocą wzoru:
bij=e × aij.
T. e. aby uzyskać element b11 należy wziąć element a11 i pomnożyć go przez żądaną liczbę, aby uzyskać b12 wymagane jest znalezienie iloczynu elementu a12 i liczby e itd.
Rozwiążmy problem numer 1 przedstawiony na obrazku. Aby otrzymać macierz B, po prostu pomnóż elementy z A przez 3:
- a11 × 3=18. Zapisujemy tę wartość do macierzy B w miejscu, gdzie przecinają się kolumna nr 1 i wiersz nr 1.
- a21 × 3=15. Mamy element b21.
- a12 × 3=-6. Otrzymaliśmy element b12. Zapisujemy to do macierzy B w miejscu, gdzie przecinają się kolumna 2 i wiersz 1.
- a22 × 3=9. Ten wynik to element b22.
- a13 × 3=12. Wprowadź tę liczbę do macierzy zamiast elementu b13.
- a23 × 3=-3. Ostatni otrzymany numer to element b23.
W ten sposób otrzymaliśmy prostokątną tablicę z elementami numerycznymi.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Wektory i warunek istnienia iloczynu macierzy
W dyscyplinach matematycznych istnieje coś takiego jak „wektor”. Termin ten odnosi się do uporządkowanego zestawu wartości od a1 do a . Nazywane są współrzędnymi przestrzeni wektorowej i są zapisywane jako kolumna. Istnieje również termin „wektor transponowany”. Jego elementy są ułożone w ciąg.
Wektory można nazwać macierzami:
- wektor kolumnowy to macierz zbudowana z jednej kolumny;
- Wektor wierszy to macierz, która zawiera tylko jeden wiersz.
Kiedy skończysznad macierzami operacji mnożenia należy pamiętać, że istnieje warunek istnienia iloczynu. Akcja obliczeniowa A × B może być wykonana tylko wtedy, gdy liczba kolumn w tabeli A jest równa liczbie wierszy w tabeli B. Macierz wynikowa z obliczeń zawsze zawiera liczbę wierszy w tabeli A oraz liczbę kolumn w tabeli B.
Podczas mnożenia nie zaleca się przestawiania macierzy (mnożników). Ich iloczyn zwykle nie odpowiada przemiennemu (przemieszczeniu) prawu mnożenia, tj. wynik operacji A × B nie jest równy wynikowi operacji B × A. Cecha ta nazywana jest nieprzemiennością iloczynu macierze. W niektórych przypadkach wynik mnożenia A × B jest równy wynikowi mnożenia B × A, tj. iloczyn jest przemienny. Macierze, dla których zachodzi równość A × B=B × A, nazywane są macierzami permutacji. Zobacz przykłady takich tabel poniżej.
Mnożenie przez wektor kolumnowy
Mnożąc macierz przez wektor kolumnowy, musimy uwzględnić warunek istnienia iloczynu. Liczba kolumn (n) w tabeli musi odpowiadać liczbie współrzędnych tworzących wektor. Wynikiem obliczeń jest przekształcony wektor. Jego liczba współrzędnych jest równa liczbie wierszy (m) z tabeli.
Jak obliczane są współrzędne wektora y, jeśli istnieje macierz A i wektor x? Do obliczeń utworzone formuły:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
gdzie x1, …, x to współrzędne z wektora x, m to liczba wierszy w macierzy i liczba współrzędnych w nowym wektorze y, n to liczba kolumn w macierzy i liczba współrzędnych w wektorze x, a11, a12, …, amn– elementy macierzy A.
Tak więc, aby otrzymać i-ty składnik nowego wektora, wykonywany jest iloczyn skalarny. Wektor i-tego wiersza jest pobierany z macierzy A i mnożony przez dostępny wektor x.
Rozwiążmy problem nr 2. Możesz znaleźć iloczyn macierzy i wektora, ponieważ A ma 3 kolumny, a x składa się z 3 współrzędnych. W rezultacie powinniśmy otrzymać wektor kolumnowy z 4 współrzędnymi. Użyjmy powyższych formuł:
- Oblicz y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Ostateczna wartość to 2.
- Oblicz y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Obliczając, otrzymujemy 0.
- Oblicz y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Suma iloczynów wskazanych czynników wynosi 6.
- Oblicz y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Współrzędna to -8.
Mnożenie macierzy wektorów wierszy
Nie można pomnożyć macierzy z wieloma kolumnami przez wektor wierszowy. W takich przypadkach warunek istnienia utworu nie jest spełniony. Ale możliwe jest mnożenie wektora wierszowego przez macierz. Tenoperacja obliczeniowa jest wykonywana, gdy liczba współrzędnych w wektorze i liczba wierszy w tabeli są zgodne. Wynikiem iloczynu wektora i macierzy jest nowy wektor wierszowy. Jego liczba współrzędnych musi być równa liczbie kolumn w macierzy.
Obliczanie pierwszej współrzędnej nowego wektora polega na pomnożeniu wektora wiersza i wektora pierwszej kolumny z tabeli. Druga współrzędna jest obliczana w podobny sposób, ale zamiast pierwszego wektora kolumnowego brany jest drugi wektor kolumnowy. Oto ogólny wzór na obliczanie współrzędnych:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, gdzie yk jest współrzędną z wektora y (k jest pomiędzy 1 a n), m jest liczbą wierszy w macierzy i liczbą współrzędnych w wektorze x, n to liczba kolumn w macierzy, a liczba współrzędnych w wektorze y, a z indeksami alfanumerycznymi to elementy macierzy A.
Produkt z prostokątnych matryc
To obliczenie może wydawać się skomplikowane. Jednak mnożenie jest łatwe. Zacznijmy od definicji. Iloczynem macierzy A z m wierszami i n kolumnami i macierzy B o n wierszami i p kolumnami jest macierz C z m wierszami i p kolumnami, w której element cij jest suma iloczynów elementów i-tego wiersza z tabeli A i j-tej kolumny z tabeli B. Mówiąc prościej, element cij jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza wektor z tabeli A i wektor j-tej kolumny z tabeli B.
Teraz zastanówmy się w praktyce, jak znaleźć iloczyn macierzy prostokątnych. Rozwiążmy w tym celu problem nr 3. Warunek istnienia produktu jest spełniony. Zacznijmy obliczanie elementów cij:
- Macierz C będzie miała 2 wiersze i 3 kolumny.
- Oblicz element c11. W tym celu wykonujemy iloczyn skalarny wiersza nr 1 z macierzy A i kolumny nr 1 z macierzy B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Następnie postępujemy w podobny sposób, zmieniając tylko wiersze, kolumny (w zależności od indeksu elementu).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementy są obliczane. Teraz pozostaje tylko zrobić prostokątny blok z otrzymanych liczb.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Mnożenie trzech macierzy: część teoretyczna
Czy możesz znaleźć iloczyn trzech macierzy? Ta operacja obliczeniowa jest wykonalna. Wynik można uzyskać na kilka sposobów. Na przykład istnieją 3 kwadratowe tabele (w tym samym porządku) - A, B i C. Aby obliczyć produkt, możesz:
- Najpierw pomnóż A i B. Następnie pomnóż wynik przez C.
- Najpierw znajdź iloczyn B i C. Następnie pomnóż macierz A przez wynik.
Jeśli chcesz pomnożyć macierze prostokątne, najpierw musisz się upewnić, że ta operacja obliczeniowa jest możliwa. Powinienistnieją produkty A × B i B × C.
Mnożenie przyrostowe nie jest błędem. Istnieje coś takiego jak „łączność mnożenia macierzy”. Termin ten odnosi się do równości (A × B) × C=A × (B × C).
Praktyka mnożenia trzech macierzy
Macierze kwadratowe
Zacznij od pomnożenia małych macierzy kwadratowych. Poniższy rysunek przedstawia problem numer 4, który musimy rozwiązać.
Będziemy używać właściwości asocjatywności. Najpierw mnożymy albo A i B, albo B i C. Pamiętamy tylko jedno: nie można zamienić współczynników, to znaczy nie można pomnożyć B × A lub C × B. Dzięki temu mnożeniu otrzymamy błędny wynik.
Postęp decyzji.
Krok pierwszy. Aby znaleźć wspólny iloczyn, najpierw mnożymy A przez B. Mnożąc dwie macierze, będziemy kierować się zasadami, które zostały nakreślone powyżej. Tak więc wynikiem mnożenia A i B będzie macierz D z 2 wierszami i 2 kolumnami, czyli tablica prostokątna będzie zawierała 4 elementy. Znajdźmy je, wykonując obliczenia:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Wynik pośredni gotowy.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Krok drugi. Teraz pomnóżmy macierz D przez macierz C. Wynik powinna być macierzą kwadratową G z 2 wierszami i 2 kolumnami. Oblicz elementy:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Zatem wynikiem iloczynu macierzy kwadratowych jest tablica G z elementami wyliczanymi.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Macierze prostokątne
Poniższy rysunek przedstawia problem numer 5. Należy pomnożyć macierze prostokątne i znaleźć rozwiązanie.
Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek istnienia iloczynów A × B i B × C. Rzędy wskazanych macierzy pozwalają na wykonanie mnożenia. Zacznijmy rozwiązywać problem.
Postęp decyzji.
Krok pierwszy. Pomnóż B przez C, aby otrzymać D. Macierz B ma 3 wiersze i 4 kolumny, a macierz C ma 4 wiersze i 2 kolumny. Oznacza to, że otrzymamy macierz D z 3 wierszami i 2 kolumnami. Obliczmy elementy. Oto 2 przykłady obliczeń:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Kontynuujemy rozwiązywanie problemu. W wyniku dalszych obliczeń znajdujemy wartości d21, d2 2, d31 i d32. Te elementy to odpowiednio 0, 19, 1 i 11. Zapiszmy znalezione wartości w prostokątnej tablicy.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Krok drugi. Pomnóż A przez D, aby otrzymać ostateczną macierz F. Będzie ona miała 2 wiersze i 2 kolumny. Oblicz elementy:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Utwórz prostokątną tablicę, która jest końcowym wynikiem mnożenia trzech macierzy.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Wprowadzenie do pracy bezpośredniej
Dość trudnym do zrozumienia materiałem jest iloczyn macierzy Kroneckera. Ma też dodatkową nazwę - praca bezpośrednia. Co oznacza ten termin? Powiedzmy, że mamy tablicę A rzędu m × n i tablicę B rzędu p × q. Iloczynem bezpośrednim macierzy A i macierzy B jest macierz rzędu mp × nq.
Mamy 2 macierze kwadratowe A, B, które są pokazane na rysunku. Pierwsza ma 2 kolumny i 2 rzędy, a druga 3 kolumny i 3 rzędy. Widzimy, że macierz wynikająca z iloczynu bezpośredniego składa się z 6 wierszy i dokładnie takiej samej liczby kolumn.
Jak obliczane są elementy nowej macierzy w produkcie bezpośrednim? Znalezienie odpowiedzi na to pytanie jest bardzo łatwe, jeśli przeanalizujesz obraz. Najpierw wypełnij pierwszą linię. Weź pierwszy element z górnego rzędu tabeli A i pomnóż kolejno przez elementy pierwszego rzęduz tabeli B. Następnie weź drugi element pierwszego wiersza tabeli A i kolejno pomnóż przez elementy pierwszego wiersza tabeli B. Aby wypełnić drugi wiersz, ponownie weź pierwszy element z pierwszego wiersza tabeli A i pomnóż to przez elementy drugiego rzędu tabeli B.
Ostateczna macierz uzyskana przez produkt bezpośredni nazywana jest macierzą blokową. Jeśli ponownie przeanalizujemy figurę, zobaczymy, że nasz wynik składa się z 4 bloków. Wszystkie zawierają elementy macierzy B. Dodatkowo element każdego bloku jest mnożony przez określony element macierzy A. W pierwszym bloku wszystkie elementy są mnożone przez a11, w drugi - przez a12, w trzecim - na a21, w czwartym - na a22.
Wyznacznik produktu
Rozważając temat mnożenia macierzy, warto rozważyć takie pojęcie jak „wyznacznik iloczynu macierzy”. Co jest wyznacznikiem? Jest to ważna cecha macierzy kwadratowej, pewna wartość przypisana do tej macierzy. Dosłowne oznaczenie wyznacznika to det.
Dla macierzy A składającej się z dwóch kolumn i dwóch wierszy wyznacznik jest łatwy do znalezienia. Istnieje mała formuła, która jest różnicą pomiędzy produktami poszczególnych pierwiastków:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Rozważmy przykład obliczania wyznacznika dla tabeli drugiego rzędu. Istnieje macierz A, w której a11=2, a12=3, a21=5 i a22=1. Aby obliczyć wyznacznik, użyj wzoru:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Dla macierzy 3 × 3 wyznacznik jest obliczany przy użyciu bardziej złożonego wzoru. Przedstawiono to poniżej dla macierzy A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Aby zapamiętać wzór, wymyśliliśmy zasadę trójkąta, która jest zilustrowana na rysunku. Najpierw mnoży się elementy głównej przekątnej. Do otrzymanej wartości dodawane są iloczyny tych elementów wskazanych przez kąty trójkątów o czerwonych bokach. Następnie odejmuje się iloczyn elementów przekątnej drugorzędnej i odejmuje się iloczyny elementów wskazanych przez narożniki trójkątów o niebieskich bokach.
Porozmawiajmy teraz o wyznaczniku iloczynu macierzy. Istnieje twierdzenie, które mówi, że wskaźnik ten jest równy iloczynowi wyznaczników tablic mnożników. Zweryfikujmy to na przykładzie. Mamy macierz A z wpisami a11=2, a12=3, a21=1 i a22=1 i macierz B z wpisami b11=4, b12=5, b 21 =1 i b22=2. Znajdź wyznaczniki macierzy A i B, iloczyn A × B i wyznacznik tego iloczynu.
Postęp decyzji.
Krok pierwszy. Oblicz wyznacznik dla A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Następnie oblicz wyznacznik dla B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Krok drugi. Znajdźmyiloczyn A × B. Oznacz nową macierz literą C. Oblicz jej elementy:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Krok trzeci. Oblicz wyznacznik dla C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Porównaj z wartością, którą można uzyskać, mnożąc wyznaczniki macierzy pierwotnych. Liczby są takie same. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe.
Pozycja produktu
Ranga macierzy jest cechą, która odzwierciedla maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy lub kolumn. W celu obliczenia rangi wykonuje się elementarne przekształcenia macierzy:
- przestawienie dwóch równoległych rzędów;
- mnożenie wszystkich elementów danego wiersza z tabeli przez liczbę niezerową;
- dodawanie do elementów jednego rzędu elementów z innego rzędu, pomnożone przez określoną liczbę.
Po elementarnych przekształceniach spójrz na liczbę niezerowych ciągów. Ich liczba to ranga macierzy. Rozważ poprzedni przykład. Przedstawił 2 macierze: A z elementami a11=2, a12=3, a21=1 i a22 =1 i B z elementami b11=4, b12=5, b21=1 i b22=2. Użyjemy również macierzy C otrzymanej w wyniku mnożenia. Jeśli wykonamy przekształcenia elementarne, to w uproszczonych macierzach nie będzie wierszy zerowych. Oznacza to, że zarówno ranga tabeli A, ranga tabeli B, jak i rangatabela C to 2.
Zwróćmy teraz szczególną uwagę na rangę iloczynu macierzy. Istnieje twierdzenie, które mówi, że ranga iloczynu tabel zawierających elementy liczbowe nie przekracza rangi żadnego z czynników. Można to udowodnić. Niech A będzie macierzą k × s, a B macierzą s × m. Iloczyn A i B jest równy C.
Przyjrzyjmy się powyższemu obrazkowi. Pokazuje pierwszą kolumnę macierzy C i jej uproszczoną notację. Kolumna ta jest kombinacją liniową kolumn zawartych w macierzy A. Podobnie można powiedzieć o dowolnej innej kolumnie z tablicy prostokątnej C. Zatem podprzestrzeń tworzona przez wektory kolumnowe tablicy C znajduje się w podprzestrzeni utworzonej przez wektory kolumnowe tablicy A. Tym samym wymiar podprzestrzeni nr 1 nie przekracza wymiaru podprzestrzeni nr 2. Oznacza to, że rząd w kolumnach tablicy C nie przekracza rzędu w kolumnach tablicy A, tj. r(C) r(A). Jeśli argumentujemy w podobny sposób, to możemy upewnić się, że wiersze macierzy C są liniowymi kombinacjami wierszy macierzy B. To implikuje nierówność r(C) ≦ r(B).
Jak znaleźć iloczyn macierzy to dość skomplikowany temat. Można go łatwo opanować, ale aby osiągnąć taki wynik, będziesz musiał poświęcić dużo czasu na zapamiętanie wszystkich istniejących reguł i twierdzeń.
