Trójkąt to najprostsza figura zamknięta na płaszczyźnie, składająca się tylko z trzech połączonych ze sobą segmentów. W problemach z geometrią często konieczne jest określenie obszaru tej figury. Co musisz o tym wiedzieć? W artykule odpowiemy na pytanie, jak znaleźć obszar trójkąta z trzech stron.
Ogólna formuła
Każdy uczeń wie, że pole trójkąta oblicza się jako iloczyn długości któregoś z jego boków – a przez połowę wysokości – h, obniżoną na wybrany bok. Poniżej znajduje się odpowiedni wzór: S=ah/2.
Tego wyrażenia można użyć, jeśli znane są co najmniej dwie strony i wartość kąta między nimi. W takim przypadku wysokość h można łatwo obliczyć za pomocą funkcji trygonometrycznych, takich jak sinus. Ale nie każdy wie, jak znaleźć obszar z trzech stron trójkąta.
Formuła czapli
Ta formuła jest odpowiedzią na pytanie jaktrzy boki znajdują obszar trójkąta. Zanim to zapiszemy, oznaczmy długości odcinków dowolnej figury jako a, b i c. Wzór Herona jest zapisany w następujący sposób: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Gdzie p to połowa obwodu figury, tj.: p=(a+b+c)/2.
Pomimo pozornej uciążliwości powyższe wyrażenie dla obszaru S jest łatwe do zapamiętania. Aby to zrobić, musisz najpierw obliczyć półobwód trójkąta, a następnie odjąć od niego jedną długość boku figury, pomnożyć wszystkie uzyskane różnice i sam półobwód. Na koniec wyciągnij pierwiastek kwadratowy z produktu.
Ta formuła została nazwana na cześć Czapli z Aleksandrii, która żyła na początku naszej ery. Historia współczesna uważa, że to właśnie ten filozof jako pierwszy zastosował to wyrażenie do wykonania odpowiednich obliczeń. Ta formuła jest opublikowana w jego Metrica, która pochodzi z 60 AD. Zauważ, że niektóre dzieła Archimedesa, który żył dwa wieki wcześniej niż Heron, zawierają znaki, że grecki filozof znał już formułę. Ponadto starożytni Chińczycy również wiedzieli, jak znaleźć obszar trójkąta, znając trzy boki.
Ważne jest, aby pamiętać, że problem można rozwiązać bez znajomości formuły Herona. Aby to zrobić, narysuj kilka wysokości w trójkącie i użyj ogólnego wzoru z poprzedniego akapitu, kompilując odpowiedni układ równań.
Wyrażenia Czapli można użyć do obliczenia powierzchni dowolnych wielokątów, po podzieleniu ich natrójkąty i obliczanie długości powstałych przekątnych.
Przykład rozwiązywania problemów
Wiedząc, jak znaleźć obszar trójkąta z trzech stron, skonsolidujmy naszą wiedzę, rozwiązując następujący problem. Niech boki figury mają 5 cm, 4 cm i 3 cm Znajdź obszar.
Znane są trzy boki trójkąta, więc możesz użyć wzoru Herona. Obliczamy półobwód i niezbędne różnice, mamy:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Wtedy otrzymujemy pole: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trójkąt podany w warunku zadania jest prostokątny, co można łatwo sprawdzić za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Ponieważ powierzchnia takiego trójkąta jest połową iloczynu nóg, otrzymujemy: S=43/2=6 cm2.
Wynikowa wartość jest taka sama jak dla wzoru Herona, co potwierdza słuszność tego ostatniego.
