Znalezienie wyznacznika macierzy jest ważnym działaniem nie tylko w przypadku algebry liniowej: na przykład w ekonomii za pomocą tego obliczenia rozwiązywane są układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi, które są szeroko stosowane w problemach ekonomicznych.
Pojęcie determinujące
Wyznacznik lub wyznacznik macierzy jest wartością równą objętości równoległościanu zbudowanego na jego wektorach wierszowych lub kolumnowych. Tę wartość można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej, która ma taką samą liczbę wierszy i kolumn. Jeżeli członkami macierzy są liczby, to wyznacznikiem będzie również liczba.
Obliczanie wyznaczników
Należy pamiętać, że istnieje kilka zasad, które mogą znacznie ułatwić takie obliczenia.
Więc wyznacznik macierzy składającej się z jednego elementu jest równy jej jedynemu elementowi. Obliczenie wyznacznika drugiego rzędu nie jest trudne, w tym celu wystarczy odjąć iloczyn elementów znajdujących się na przekątnej drugorzędnej od iloczynu elementów przekątnej głównej.
Obliczanie wyznacznika trzeciego rzędu jest najłatwiejsze do wykonaniazgodnie z zasadą trójkąta. Aby to zrobić, wykonaj następujące czynności:
- Znajdź iloczyn trzech elementów macierzy znajdujących się na jej głównym
- Pomnóż przez trzy wyrazy znajdujące się na trójkątach, których podstawy są równoległe do głównej przekątnej.
- Powtórz pierwszą i drugą czynność dla drugiej przekątnej.
- Znajdź sumę wszystkich wartości uzyskanych w poprzednich obliczeniach, podczas gdy liczby uzyskane w trzecim akapicie są przyjmowane ze znakiem minus.
przekątne.
Aby łatwo znaleźć wyznacznik macierzy czwartego rzędu, a także wyższych wymiarów, należy wziąć pod uwagę właściwości, które mają wszystkie wyznaczniki:
- Wartość wyznacznika nie zmienia się po transpozycji macierzy.
- Zmiana pozycji dwóch sąsiednich wierszy lub kolumn prowadzi do zmiany znaku wyznacznika.
- Jeżeli macierz ma dwa równe wiersze lub kolumny lub wszystkie elementy kolumny (wiersza) mają wartość zero, to jej wyznacznik jest równy zero.
- Mnożenie liczb w macierzy przez dowolną liczbę prowadzi do zwiększenia jej wyznacznika o tę samą liczbę razy.
Korzystanie z powyższych właściwości ułatwia znalezienie wyznacznika macierzy dowolnego rzędu. Na przykład, używając do tego metody redukcji rzędów, w której wyznacznik jest rozszerzony o elementy wiersza (kolumny) pomnożone przez uzupełnienie algebraiczne.
Inny sposób, który znacznie ułatwia znalezienie wyznacznika
matryca ma na celu doprowadzenie jej do formy trójkąta, gdy wszystkie elementy pod główną przekątną są równe zeru. W tym przypadku wyznacznik macierzy jest obliczany jako iloczyn liczb znajdujących się na tej przekątnej.
Na koniec chciałbym zauważyć, że obliczanie wyznaczników, choć składa się z pozornie prostych obliczeń matematycznych, wymaga jednak sporej staranności i wytrwałości.
