Matrix to specjalny obiekt w matematyce. Przedstawiony jest w formie prostokątnego lub kwadratowego stołu, złożonego z określonej liczby rzędów i kolumn. W matematyce istnieje wiele różnych typów macierzy, różniących się wielkością lub zawartością. Numery jego rzędów i kolumn nazywane są rozkazami. Obiekty te są używane w matematyce do organizowania pisania układów równań liniowych i wygodnego wyszukiwania ich wyników. Równania wykorzystujące macierz są rozwiązywane przy użyciu metody Carla Gaussa, Gabriela Cramera, molowych i dodatków algebraicznych oraz wielu innych sposobów. Podstawową umiejętnością pracy z matrycami jest doprowadzenie ich do standardowej postaci. Najpierw jednak zastanówmy się, jakie typy macierzy wyróżniają matematycy.
Typ pusty
Wszystkie składniki tego rodzaju macierzy są zerami. Tymczasem liczba jego wierszy i kolumn jest zupełnie inna.
Typ kwadratowy
Liczba kolumn i wierszy tego typu macierzy jest taka sama. Innymi słowy, jest to stół o kształcie „kwadratowym”. Liczba jego kolumn (lub wierszy) nazywana jest porządkiem. Szczególne przypadki to istnienie macierzy drugiego rzędu (matryca 2x2), czwartego rzędu (4x4), dziesiątego (10x10), siedemnastego (17x17) i tak dalej.
Wektor kolumnowy
Jest to jeden z najprostszych typów macierzy, zawierający tylko jedną kolumnę, która zawiera trzy wartości liczbowe. Reprezentuje szereg wyrazów wolnych (liczby niezależne od zmiennych) w układach równań liniowych.
Wektor wierszy
Wyświetl podobny do poprzedniego. Składa się z trzech elementów numerycznych, z kolei zorganizowanych w jednym wierszu.
Typ przekątnej
Tylko składowe głównej przekątnej (podświetlone na zielono) przyjmują wartości liczbowe w postaci diagonalnej macierzy. Główna przekątna zaczyna się od elementu w lewym górnym rogu i kończy się odpowiednio elementem w prawym dolnym rogu. Pozostałe składniki to zero. Typ diagonalny to tylko macierz kwadratowa pewnego rzędu. Wśród macierzy o postaci diagonalnej można wyróżnić skalarną. Wszystkie jego składniki przyjmują te same wartości.
Macierz tożsamości
A podgatunek macierzy diagonalnej. Wszystkie jego wartości liczbowe są jednostkami. Korzystając z jednego typu tabel macierzy, wykonaj jego podstawowe przekształcenia lub znajdź macierz odwrotną do oryginalnej.
Typ kanoniczny
Kanoniczna forma macierzy jest uważana za jedną z głównych; odlewanie do niego jest często potrzebne do pracy. Liczba wierszy i kolumn w macierzy kanonicznej jest inna, niekoniecznie należy do typu kwadratowego. Przypomina nieco macierz jednostkową, jednak w jej przypadku nie wszystkie składowe głównej przekątnej przyjmują wartość równą jedności. Mogą być dwie lub cztery główne jednostki przekątne (wszystko zależy od długości i szerokości matrycy). Lub może w ogóle nie być jednostek (wtedy uważa się, że jest to zero). Pozostałe składniki typu kanonicznego, a także elementy przekątnej i identyczności są równe zeru.
Typ trójkąta
Jeden z najważniejszych typów macierzy, używany podczas wyszukiwania jej wyznacznika i wykonywania prostych operacji. Typ trójkątny pochodzi od typu diagonalnego, więc matryca jest również kwadratowa. Trójkątny widok matrycy jest podzielony na trójkątny górny i trójkątny dolny.
W górnej trójkątnej macierzy (rys. 1) tylko elementy znajdujące się powyżej głównej przekątnej przyjmują wartość równą zero. Składowe samej przekątnej i znajdującej się pod nią części macierzy zawierają wartości liczbowe.
W dolnej trójkątnej matrycy (rys. 2) przeciwnie, elementy znajdujące się w dolnej części matrycy są równe zeru.
Macierz kroków
Widok jest niezbędny do znalezienia rangi macierzy, a także do podstawowych operacji na nich (wraz z typem trójkątnym). Macierz kroków jest tak nazwana, ponieważ zawiera charakterystyczne „kroki” zer (jak pokazano na rysunku). W typie schodkowym powstaje przekątna zer (niekoniecznie główna), a wszystkie elementy pod tą przekątną również mają wartości równe zeru. Warunek jest następujący: jeśli w macierzy kroków jest wiersz zero, to pozostałe wiersze poniżej również nie zawierają wartości liczbowych.
W związku z tym rozważyliśmy najważniejsze rodzaje matryc potrzebnych do pracy z nimi. Zajmijmy się teraz zadaniem przekształcenia macierzy do wymaganej postaci.
Zredukuj do formy trójkątnej
Jak doprowadzić macierz do formy trójkąta? Najczęściej w przypisaniach trzeba przekonwertować macierz na formę trójkątną, aby znaleźć jej wyznacznik, inaczej zwaną wyznacznikiem. Podczas wykonywania tej procedury niezwykle ważne jest „zachowanie” głównej przekątnej macierzy, ponieważ wyznacznikiem macierzy trójkątnej jest właśnie iloczyn składowych jej głównej przekątnej. Przypomnę również alternatywne metody znajdowania wyznacznika. Wyznacznik typu kwadrat znajduje się za pomocą specjalnych formuł. Na przykład możesz użyć metody trójkąta. W przypadku innych macierzy stosowana jest metoda dekompozycji według wiersza, kolumny lub ich elementów. Możesz również zastosować metodę molowych i algebraicznych dopełnień macierzy.
SzczegółyPrzeanalizujmy proces doprowadzenia macierzy do postaci trójkąta na przykładach niektórych zadań.
Zadanie 1
Konieczne jest znalezienie wyznacznika prezentowanej macierzy, stosując metodę sprowadzenia jej do postaci trójkąta.
Dana nam macierz jest macierzą kwadratową trzeciego rzędu. Dlatego, aby przekształcić go w formę trójkątną, musimy zerować dwie składowe pierwszej kolumny i jedną składową drugiej.
Aby sprowadzić ją do postaci trójkąta, zacznij transformację od lewego dolnego rogu macierzy - od liczby 6. Aby wyzerować, pomnóż pierwszy wiersz przez trzy i odejmij go od ostatniego.
Ważne! Górna linia nie zmienia się, ale pozostaje taka sama jak w oryginalnej matrycy. Nie musisz pisać ciągu cztery razy od oryginalnego. Ale wartości ciągów, których składniki muszą być zerowane, ciągle się zmieniają.
Następnie zajmijmy się kolejną wartością - elementem drugiego rzędu pierwszej kolumny, liczbą 8. Pomnóż pierwszy rząd przez cztery i odejmij go od drugiego rzędu. Otrzymujemy zero.
Zostaje tylko ostatnia wartość - element trzeciego wiersza drugiej kolumny. To jest liczba (-1). Aby ustawić go na zero, odejmij sekundę od pierwszego wiersza.
Sprawdźmy:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Więc odpowiedź na zadanie to -22.
Zadanie 2
Musimy znaleźć wyznacznik macierzy, sprowadzając ją do postaci trójkąta.
Reprezentowana macierznależy do typu kwadratowego i jest macierzą czwartego rzędu. Oznacza to, że trzy składniki pierwszej kolumny, dwa składniki drugiej kolumny i jeden składnik trzeciej kolumny muszą być wyzerowane.
Zacznijmy jego redukowanie od elementu znajdującego się w lewym dolnym rogu - od liczby 4. Musimy sprowadzić tę liczbę do zera. Najprostszym sposobem na to jest pomnożenie górnego rzędu przez cztery, a następnie odjęcie go od czwartego rzędu. Zapiszmy wynik pierwszego etapu transformacji.
Więc składnik czwartej linii jest ustawiony na zero. Przejdźmy do pierwszego elementu trzeciego wiersza, do liczby 3. Podobną operację wykonujemy. Pomnóż przez trzy pierwszy wiersz, odejmij go od trzeciego wiersza i napisz wynik.
Następnie widzimy numer 2 w drugim wierszu. Powtarzamy operację: pomnóż górny rząd przez dwa i odejmij go od drugiego.
Udało nam się wyzerować wszystkie składniki pierwszej kolumny tej macierzy kwadratowej, z wyjątkiem liczby 1, elementu głównej przekątnej, który nie wymaga transformacji. Teraz ważne jest, aby zachować wynikowe zera, więc będziemy wykonywać przekształcenia wierszami, a nie kolumnami. Przejdźmy do drugiej kolumny prezentowanej macierzy.
Zacznijmy znowu od dołu - od elementu drugiej kolumny ostatniego rzędu. To jest liczba (-7). Jednak w tym przypadku wygodniej jest zacząć od liczby (-1) - elementu drugiej kolumny trzeciego rzędu. Aby ustawić go na zero, odejmij drugi rząd od trzeciego. Następnie mnożymy drugi rząd przez siedem i odejmujemy go od czwartego. Otrzymaliśmy zero zamiast elementu znajdującego się w czwartym rzędzie drugiej kolumny. Przejdźmy teraz do trzeciegokolumna.
W tej kolumnie musimy zwrócić do zera tylko jedną liczbę - 4. To proste: wystarczy dodać trzecią do ostatniej linii i zobaczyć zero, którego potrzebujemy.
Po wszystkich przekształceniach sprowadziliśmy proponowaną macierz do postaci trójkąta. Teraz, aby znaleźć jego wyznacznik, wystarczy pomnożyć otrzymane elementy głównej przekątnej. Otrzymujemy: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Zatem rozwiązaniem jest liczba 160.
Więc teraz kwestia sprowadzenia matrycy do formy trójkątnej nie sprawi Ci trudności.
Redukcja do formy schodkowej
W elementarnych operacjach na macierzach forma schodkowa jest mniej "wymagana" niż forma trójkątna. Najczęściej używa się go do określenia rangi macierzy (tj. liczby jej niezerowych wierszy) lub wyznaczenia wierszy zależnych i niezależnych liniowo. Jednak widok matrycy schodkowej jest bardziej wszechstronny, ponieważ jest odpowiedni nie tylko dla typu kwadratowego, ale dla wszystkich innych.
Aby zredukować macierz do postaci schodkowej, musisz najpierw znaleźć jej wyznacznik. W tym celu odpowiednie są powyższe metody. Celem znalezienia wyznacznika jest sprawdzenie, czy można go przekształcić w macierz schodkową. Jeśli wyznacznik jest większy lub mniejszy od zera, możesz bezpiecznie przejść do zadania. Jeśli jest równy zero, sprowadzenie macierzy do postaci schodkowej nie będzie działać. W takim przypadku należy sprawdzić, czy nie ma błędów w rekordzie lub w przekształceniach macierzy. Jeśli nie ma takich nieścisłości, zadanie nie może zostać rozwiązane.
Zobaczmy jaksprowadź macierz do postaci schodkowej, używając przykładów kilku zadań.
Zadanie 1. Znajdź rangę podanej tabeli macierzy.
Przed nami macierz kwadratowa trzeciego rzędu (3x3). Wiemy, że aby znaleźć rangę, należy ją zredukować do postaci schodkowej. Dlatego najpierw musimy znaleźć wyznacznik macierzy. Metodą trójkąta: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Wyznacznik=12. Jest większa od zera, co oznacza, że macierz można zredukować do postaci schodkowej. Zacznijmy jego przemiany.
Zacznijmy od elementu lewej kolumny trzeciego rzędu - liczby 2. Pomnóż górny rząd przez dwa i odejmij go od trzeciego. Dzięki tej operacji zarówno potrzebny nam element, jak i cyfra 4 - element drugiej kolumny trzeciego rzędu - zamieniły się w zero.
Następnie odwróć do zera element drugiego rzędu pierwszej kolumny - cyfrę 3. W tym celu pomnóż górny rząd przez trzy i odejmij go od drugiego.
Widzimy, że redukcja zaowocowała macierzą trójkątną. W naszym przypadku transformacja nie może być kontynuowana, ponieważ pozostałych składników nie można wyzerować.
Tak więc dochodzimy do wniosku, że liczba wierszy zawierających wartości liczbowe w tej macierzy (lub jej randze) wynosi 3. Odpowiedz na zadanie: 3.
Zadanie 2. Określ liczbę liniowo niezależnych wierszy tej macierzy.
Musimy znaleźć łańcuchy, których nie można odwrócić żadnymi przekształceniamido zera. W rzeczywistości musimy znaleźć liczbę niezerowych wierszy lub rząd reprezentowanej macierzy. Aby to zrobić, uprośćmy to.
Widzimy macierz, która nie należy do typu kwadratowego. Ma wymiary 3x4. Zacznijmy też rzut od elementu lewego dolnego rogu - cyfry (-1).
Dodaj pierwszą linię do trzeciej. Następnie odejmij od niego sekundę, aby zmienić liczbę 5 na zero.
Dalsze przekształcenia są niemożliwe. Dochodzimy więc do wniosku, że liczba w nim liniowo niezależnych linii i odpowiedź na zadanie to 3.
Teraz przywrócenie matrycy do postaci schodkowej nie jest dla Ciebie zadaniem niemożliwym.
Na przykładach tych zadań przeanalizowaliśmy redukcję macierzy do postaci trójkątnej i schodkowej. Aby zniwelować pożądane wartości tabel macierzowych, w niektórych przypadkach konieczne jest wykazanie się wyobraźnią i prawidłowe przekształcenie ich kolumn lub wierszy. Powodzenia w matematyce i pracy z macierzami!
