Sądząc po popularności żądania "Twierdzenie Fermata - krótki dowód", ten matematyczny problem jest naprawdę interesujący dla wielu. Twierdzenie to zostało po raz pierwszy sformułowane przez Pierre'a de Fermata w 1637 r. na krawędzi kopii Arytmetyki, gdzie twierdził, że ma rozwiązanie, które jest zbyt duże, aby zmieścić się na krawędzi.
Pierwszy udany dowód został opublikowany w 1995 roku - był to kompletny dowód twierdzenia Fermata autorstwa Andrew Wilesa. Został opisany jako „oszałamiający postęp” i doprowadził Wilesa do otrzymania nagrody Abla w 2016 roku. Chociaż opisano stosunkowo krótko, dowód twierdzenia Fermata dowiódł również wiele z twierdzenia o modułowości i otworzył nowe podejścia do wielu innych problemów i skutecznych metod podnoszenia modułowości. Te osiągnięcia przyczyniły się do rozwoju matematyki o 100 lat w przyszłość. Nie ma dowodu na dzisiejsze małe twierdzenie Fermatato coś niezwykłego.
Nierozwiązany problem stymulował rozwój algebraicznej teorii liczb w XIX wieku i poszukiwanie dowodu twierdzenia o modularności w XX wieku. Jest to jedno z najbardziej godnych uwagi twierdzeń w historii matematyki i aż do pełnego dowodu dzielenia Wielkiego Twierdzenia Fermata znajdowało się w Księdze Rekordów Guinnessa jako „najtrudniejszy problem matematyczny”, którego jedną z cech jest to, że ma największą liczbę nieudanych dowodów.
Tło historyczne
Równanie Pitagorasa x2 + y2=z2 ma nieskończoną liczbę dodatnich rozwiązania liczb całkowitych dla x, y i z. Rozwiązania te znane są jako trójce pitagorejskie. Około 1637 roku Fermat napisał na brzegu księgi, że bardziej ogólne równanie a + b =cnie ma rozwiązania w liczbach naturalnych, jeśli n jest liczbą całkowitą większą od 2. Chociaż sam Fermat twierdził, że ma rozwiązanie swojego problemu, nie zostawił żadnych szczegółów dotyczących jego dowodu. Podstawowym dowodem twierdzenia Fermata, przytaczanym przez jego twórcę, był raczej jego chełpliwy wynalazek. Księgę wielkiego francuskiego matematyka odkryto 30 lat po jego śmierci. To równanie, zwane Wielkim Twierdzeniem Fermata, pozostawało nierozwiązane w matematyce przez trzy i pół wieku.
Twierdzenie ostatecznie stało się jednym z najbardziej znaczących nierozwiązanych problemów w matematyce. Próby udowodnienia tego spowodowały znaczny rozwój teorii liczb, a wraz z przejściemczas, ostatnie twierdzenie Fermata stało się znane jako nierozwiązany problem w matematyce.
Krótka historia dowodów
Jeśli n=4, jak udowodnił sam Fermat, wystarczy udowodnić twierdzenie dla indeksów n, które są liczbami pierwszymi. W ciągu następnych dwóch stuleci (1637-1839) przypuszczenie zostało udowodnione tylko dla liczb pierwszych 3, 5 i 7, chociaż Sophie Germain zaktualizowała i udowodniła podejście, które ma zastosowanie do całej klasy liczb pierwszych. W połowie XIX wieku Ernst Kummer rozszerzył to i udowodnił twierdzenie dla wszystkich regularnych liczb pierwszych, w których nieregularne liczby pierwsze były analizowane indywidualnie. Bazując na pracy Kummera i wykorzystując zaawansowane badania komputerowe, inni matematycy byli w stanie rozszerzyć rozwiązanie twierdzenia, aby objąć wszystkie główne wykładniki do czterech milionów, ale dowód dla wszystkich wykładników nadal nie był dostępny (co oznacza, że matematycy zwykle uważali rozwiązanie twierdzenia za niemożliwe, niezwykle trudne lub nieosiągalne przy obecnej wiedzy).
Praca Shimury i Taniyamy
W 1955 roku japońscy matematycy Goro Shimura i Yutaka Taniyama podejrzewali, że istnieje związek między krzywymi eliptycznymi a formami modułowymi, dwiema bardzo różnymi gałęziami matematyki. Znane wówczas jako hipoteza Taniyamy-Shimury-Weyla i (ostatecznie) jako twierdzenie o modularności, istniało samodzielnie, bez widocznego związku z ostatnim twierdzeniem Fermata. Samo to było powszechnie uważane za ważne twierdzenie matematyczne, ale uważano je (podobnie jak twierdzenie Fermata) za niemożliwe do udowodnienia. W tymW tym samym czasie dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata (poprzez podzielenie i zastosowanie skomplikowanych wzorów matematycznych) został przeprowadzony dopiero pół wieku później.
W 1984 roku Gerhard Frey zauważył oczywisty związek między tymi dwoma wcześniej niepowiązanymi i nierozwiązanymi problemami. Pełne potwierdzenie, że te dwa twierdzenia są ze sobą ściśle powiązane, opublikował w 1986 roku Ken Ribet, opierając się na częściowym dowodzie Jean-Pierre'a Serry, który udowodnił tylko jedną część, znaną jako „hipoteza epsilon”. Mówiąc najprościej, te prace Freya, Serry i Ribe pokazały, że gdyby można było udowodnić twierdzenie o modularności, przynajmniej dla półstabilnej klasy krzywych eliptycznych, to prędzej czy później zostałby również odkryty dowód ostatniego twierdzenia Fermata. Każde rozwiązanie, które może zaprzeczyć ostatniemu twierdzeniu Fermata, może być również użyte do zaprzeczenia twierdzeniu o modularności. Zatem, jeśli twierdzenie o modularności okazało się prawdziwe, to z definicji nie może istnieć rozwiązanie sprzeczne z ostatnim twierdzeniem Fermata, co oznacza, że powinno zostać wkrótce udowodnione.
Chociaż oba twierdzenia były trudnymi problemami w matematyce, uważanymi za nierozwiązywalne, praca dwóch Japończyków była pierwszą sugestią, jak można rozszerzyć i udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata dla wszystkich liczb, a nie tylko niektórych. Istotny dla badaczy, którzy wybrali temat badań, był fakt, że w przeciwieństwie do ostatniego twierdzenia Fermata, twierdzenie o modularności było głównym aktywnym obszarem badań, dla któregoopracowano dowody, a nie tylko historyczną osobliwość, aby czas poświęcony na jej pracę mógł być uzasadniony z zawodowego punktu widzenia. Jednak ogólny konsensus był taki, że rozwiązanie hipotezy Taniyamy-Shimury okazało się niewłaściwe.
Ostatnie twierdzenie Farmy: dowód Wilesa
Dowiedziawszy się, że Ribet udowodnił słuszność teorii Freya, angielski matematyk Andrew Wiles, który od dzieciństwa interesował się ostatnim twierdzeniem Fermata i ma doświadczenie w pracy z krzywymi eliptycznymi i sąsiednimi domenami, postanowił spróbować udowodnić Taniyama-Shimura Przypuszczenie jako sposób na udowodnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata. W 1993 roku, sześć lat po ogłoszeniu celu, podczas potajemnej pracy nad rozwiązaniem twierdzenia, Wilesowi udało się udowodnić pokrewną hipotezę, która z kolei pomogła mu udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata. Dokument Wilesa miał ogromny rozmiar i zakres.
Błąd został odkryty w jednej części jego oryginalnego artykułu podczas recenzji naukowej i wymagał kolejnego roku współpracy z Richardem Taylorem, aby wspólnie rozwiązać twierdzenie. W rezultacie nie trzeba było długo czekać na ostateczny dowód Wilesa dotyczący Wielkiego Twierdzenia Fermata. W 1995 roku została opublikowana na znacznie mniejszą skalę niż poprzednia praca matematyczna Wilesa, co ilustruje, że nie mylił się we wcześniejszych wnioskach co do możliwości udowodnienia twierdzenia. Osiągnięcie Wilesa zostało szeroko nagłośnione w prasie popularnej oraz w książkach i programach telewizyjnych. Pozostałe części przypuszczenia Taniyamy-Shimura-Weila, które teraz zostały udowodnione iznane jako twierdzenie o modularności, zostały następnie udowodnione przez innych matematyków, którzy opierali się na pracy Wilesa w latach 1996-2001. Za swoje osiągnięcia Wiles został uhonorowany i otrzymał liczne nagrody, w tym nagrodę Abla 2016.
Dowód Wilesa na ostatnie twierdzenie Fermata jest szczególnym przypadkiem rozwiązywania twierdzenia o modularności dla krzywych eliptycznych. Jest to jednak najsłynniejszy przypadek tak wielkiej operacji matematycznej. Wraz z rozwiązaniem twierdzenia Ribe'a brytyjski matematyk uzyskał również dowód ostatniego twierdzenia Fermata. Ostatnie twierdzenie Fermata i twierdzenie o modułowości były niemal powszechnie uważane przez współczesnych matematyków za niemożliwe do udowodnienia, ale Andrew Wiles był w stanie udowodnić światu naukowemu, że nawet eksperci mogą się mylić.
Wyles po raz pierwszy ogłosił swoje odkrycie w środę 23 czerwca 1993 r. na wykładzie w Cambridge zatytułowanym "Formy modułowe, krzywe eliptyczne i reprezentacje Galois". Jednak we wrześniu 1993 roku okazało się, że jego obliczenia zawierały błąd. Rok później, 19 września 1994 roku, w „najważniejszym momencie swojego życia zawodowego”, Wiles natknął się na rewelację, która pozwoliła mu naprawić rozwiązanie problemu na tyle, by zadowolić matematyczne społeczność.
Opis pracy
Dowód twierdzenia Fermata autorstwa Andrew Wilesa wykorzystuje wiele metod z geometrii algebraicznej i teorii liczb i ma wiele konsekwencji w tychobszary matematyki. Posługuje się również standardowymi konstrukcjami współczesnej geometrii algebraicznej, takimi jak kategoria schematów i teoria Iwasawy, a także innymi metodami XX wieku, które nie były dostępne dla Pierre'a de Fermata.
Dwa artykuły zawierające dowody mają 129 stron i zostały napisane w ciągu siedmiu lat. John Coates opisał to odkrycie jako jedno z największych osiągnięć teorii liczb, a John Conway nazwał je głównym osiągnięciem matematycznym XX wieku. Wiles, aby udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata poprzez udowodnienie twierdzenia o modułowości dla szczególnego przypadku półstabilnych krzywych eliptycznych, opracował potężne metody podnoszenia modułowości i otworzył nowe podejścia do wielu innych problemów. Za rozwiązanie ostatniego twierdzenia Fermata został pasowany na rycerza i otrzymał inne nagrody. Kiedy okazało się, że Wiles zdobył Nagrodę Abela, Norweska Akademia Nauk określiła jego osiągnięcie jako „cudowny i elementarny dowód ostatniego twierdzenia Fermata”.
Jak było
Jedną z osób, które przejrzały oryginalny rękopis Wilesa z rozwiązaniem twierdzenia, był Nick Katz. W trakcie swojej recenzji zadał Brytyjczykowi szereg wyjaśniających pytań, które skłoniły Wilesa do przyznania, że jego praca wyraźnie zawiera lukę. W jednej krytycznej części dowodu popełniono błąd, który dał oszacowanie rzędu określonej grupy: system Eulera użyty do rozszerzenia metody Kolyvagina i Flacha był niekompletny. Pomyłka nie sprawiła jednak, że jego praca była bezużyteczna - każda praca Wilesa była sama w sobie bardzo znacząca i innowacyjna, podobnie jak wielurozwoju i metod, które stworzył w trakcie swojej pracy i które dotyczyły tylko jednej części rękopisu. Jednak ta oryginalna praca, opublikowana w 1993 roku, tak naprawdę nie miała dowodu na ostatnie twierdzenie Fermata.
Wyles spędził prawie rok, próbując ponownie odkryć rozwiązanie twierdzenia, najpierw sam, a potem we współpracy ze swoim byłym uczniem Richardem Taylorem, ale wszystko wydawało się na próżno. Pod koniec 1993 roku krążyły plotki, że dowód Wilesa zawiódł w testach, ale nie wiadomo, jak poważny był ten błąd. Matematycy zaczęli wywierać presję na Wilesa, aby ujawnił szczegóły jego pracy, niezależnie od tego, czy została wykonana, czy nie, aby szersza społeczność matematyków mogła zbadać i wykorzystać wszystko, co udało mu się osiągnąć. Zamiast szybko naprawić swój błąd, Wiles odkrył tylko dodatkowe trudne aspekty w dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata iw końcu zdał sobie sprawę, jak to było trudne.
Wyles twierdzi, że rankiem 19 września 1994 r. był bliski poddania się i poddania, i był prawie zrezygnowany porażką. Był gotów opublikować swoje niedokończone dzieło, aby inni mogli na nim budować i znaleźć, gdzie się mylił. Angielski matematyk postanowił dać sobie ostatnią szansę i po raz ostatni przeanalizował twierdzenie, aby spróbować zrozumieć główne powody, dla których jego podejście nie zadziałało, kiedy nagle zdał sobie sprawę, że podejście Kolyvagin-Flac nie zadziała, dopóki nieuwzględni również teorię Iwasawy w procesie sprawdzania, dzięki czemu będzie działać.
6 października Wiles poprosił trzech kolegów (w tym F altinsa) o zrecenzowanie swojej nowej pracy, a 24 października 1994 roku przedłożył dwa manuskrypty - "Modularne krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata" oraz "Teoretyczne własności pierścień niektórych algebr Heckego”, z których druga Wiles napisał wspólnie z Taylorem i udowodniła, że spełnione zostały pewne warunki uzasadniające skorygowany krok w głównym artykule.
Te dwa artykuły zostały zrecenzowane i ostatecznie opublikowane jako pełne wydanie tekstowe w maju 1995 Annals of Mathematics. Nowe obliczenia Andrew zostały szeroko przeanalizowane i ostatecznie zaakceptowane przez społeczność naukową. W tych artykułach ustalono twierdzenie o modularności dla semistabilnych krzywych eliptycznych - ostatni krok w kierunku udowodnienia ostatniego twierdzenia Fermata, 358 lat po jego utworzeniu.
Historia Wielkiego Problemu
Rozwiązanie tego twierdzenia było od wieków uważane za największy problem w matematyce. W 1816 i 1850 roku Francuska Akademia Nauk przyznała nagrodę za ogólny dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata. W 1857 Akademia przyznała Kummerowi 3000 franków i złoty medal za badania nad liczbami idealnymi, chociaż nie ubiegał się o nagrodę. Kolejną nagrodę przyznała mu w 1883 roku Akademia Brukselska.
Nagroda Wolfskella
W 1908 r. niemiecki przemysłowiec i matematyk-amator Paul Wolfskel zapisał 100 000 marek w złocie (duża kwota jak na tamte czasy)Akademii Nauk w Getyndze, aby te pieniądze stały się nagrodą za kompletny dowód ostatniego twierdzenia Fermata. 27 czerwca 1908 Akademia opublikowała dziewięć regulaminów nagród. Przepisy te wymagały między innymi opublikowania dowodu w recenzowanym czasopiśmie. Nagroda miała być przyznana dopiero dwa lata po publikacji. Konkurs miał wygasnąć 13 września 2007 r. - mniej więcej sto lat po jego rozpoczęciu. 27 czerwca 1997 r. Wiles otrzymał nagrodę pieniężną Wolfschela, a następnie kolejne 50 000 dolarów. W marcu 2016 roku otrzymał od rządu norweskiego 600 000 euro w ramach nagrody Abela za „niesamowity dowód ostatniego twierdzenia Fermata z pomocą hipotezy modularności dla półstabilnych krzywych eliptycznych, otwierając nową erę w teorii liczb”. To był światowy triumf skromnego Anglika.
Przed dowodem Wilesa twierdzenie Fermata, jak wspomniano wcześniej, przez wieki było uważane za absolutnie nierozwiązywalne. Tysiące nieprawdziwych dowodów w różnych momentach zostało przedstawionych komisji Wolfskella, w sumie około 10 stóp (3 metry) korespondencji. Tylko w pierwszym roku istnienia nagrody (1907-1908) wpłynęło 621 wniosków o rozwiązanie twierdzenia, choć w latach 70. ich liczba spadła do około 3-4 wniosków miesięcznie. Według F. Schlichtinga, recenzenta Wolfschela, większość dowodów opierała się na elementarnych metodach nauczanych w szkołach i często była przedstawiana jako „ludzie z wykształceniem technicznym, ale nieudane kariery”. Według historyka matematyki Howarda Avesa, ostatniTwierdzenie Fermata ustanowiło swego rodzaju rekord - jest to twierdzenie z największą liczbą niepoprawnych dowodów.
Laury Farmy powędrowały do Japończyków
Jak wspomniano wcześniej, około 1955 roku japońscy matematycy Goro Shimura i Yutaka Taniyama odkryli możliwy związek między dwiema pozornie zupełnie różnymi gałęziami matematyki - krzywymi eliptycznymi i formami modułowymi. Wynikające z tego twierdzenie o modularności (znane wówczas jako hipoteza Taniyamy-Shimury) stwierdza, że każda krzywa eliptyczna jest modularna, co oznacza, że może być powiązana z unikalną formą modularną.
Teoria ta została początkowo odrzucona jako mało prawdopodobna lub wysoce spekulacyjna, ale potraktowano ją poważniej, gdy teoretyk liczb André Weil znalazł dowody na poparcie japońskich wniosków. W rezultacie hipoteza ta często była nazywana hipotezą Taniyamy-Shimury-Weila. Stała się częścią programu Langlands, który jest listą ważnych hipotez, które należy udowodnić w przyszłości.
Nawet po dokładnej analizie hipoteza została uznana przez współczesnych matematyków za niezwykle trudną lub być może niedostępną do udowodnienia. Teraz to konkretne twierdzenie czeka na swojego Andrew Wilesa, który swoim rozwiązaniem może zaskoczyć cały świat.
Twierdzenie Fermata: dowód Perelmana
Pomimo popularnego mitu rosyjski matematyk Grigorij Perelman, mimo całego swojego geniuszu, nie ma nic wspólnego z twierdzeniem Fermata. Co jednak w żaden sposób jej nie umniejsza.liczne wkłady do społeczności naukowej.
