Wielościany przyciągały uwagę matematyków i naukowców nawet w starożytności. Egipcjanie zbudowali piramidy. A Grecy studiowali „zwykłe wielościany”. Są one czasami nazywane bryłami platońskimi. „Tradycyjne wielościany” składają się z płaskich ścian, prostych krawędzi i wierzchołków. Ale głównym pytaniem zawsze było to, jakie zasady muszą spełniać te oddzielne części, a także jakie dodatkowe warunki globalne muszą być spełnione, aby obiekt kwalifikował się jako wielościan. Odpowiedź na to pytanie zostanie przedstawiona w artykule.
Problemy w definicji
Z czego składa się ta figura? Wielościan to zamknięty kształt bryły, który ma płaskie powierzchnie i proste krawędzie. Dlatego pierwszy problem jego definicji można nazwać właśnie bokami figury. Nie wszystkie twarze leżące w płaszczyznach są zawsze znakiem wielościanu. Weźmy jako przykład „trójkątny cylinder”. Z czego to się składa? Część jego powierzchni trzy paramiprzecinające się płaszczyzny pionowe nie mogą być uważane za wielokąty. Powodem jest to, że nie ma wierzchołków. Powierzchnia takiej figury utworzona jest na podstawie trzech promieni, które spotykają się w jednym punkcie.
Jeszcze jeden problem - samoloty. W przypadku „trójkątnego cylindra” leży w ich nieograniczonych częściach. Figura jest uważana za wypukłą, jeśli znajduje się w niej również odcinek łączący dowolne dwa punkty w zbiorze. Przedstawmy jedną z ich ważnych właściwości. Dla zbiorów wypukłych jest to, że zbiór punktów wspólnych dla zbioru jest taki sam. Jest inny rodzaj postaci. Są to niewypukłe wielościany 2D, które mają wycięcia lub otwory.
Kształty, które nie są wielościanami
Płaski zbiór punktów może być różny (na przykład niewypukły) i nie spełniać zwykłej definicji wielościanu. Nawet przez nią jest ograniczony odcinkami linii. Linie wielościanu wypukłego składają się z wypukłych figur. Jednak takie podejście do definicji wyklucza figurę idącą w nieskończoność. Przykładem mogą być trzy promienie, które nie spotykają się w tym samym punkcie. Ale jednocześnie są połączone z wierzchołkami innej figury. Tradycyjnie dla wielościanu ważne było, aby składał się z płaskich powierzchni. Jednak z biegiem czasu koncepcja uległa rozszerzeniu, co doprowadziło do znacznej poprawy zrozumienia pierwotnej „węższej” klasy wielościanów, a także pojawienia się nowej, szerszej definicji.
Poprawnie
Wprowadźmy jeszcze jedną definicję. Wielościan foremny to taki, w którym każda ściana jest przystającą regularnąwypukłe wielokąty, a wszystkie wierzchołki są „takie same”. Oznacza to, że każdy wierzchołek ma taką samą liczbę regularnych wielokątów. Użyj tej definicji. Możesz więc znaleźć pięć regularnych wielościanów.
Pierwsze kroki do twierdzenia Eulera dla wielościanów
Grecy wiedzieli o wieloboku, który dziś nazywa się pentagramem. Ten wielokąt można nazwać regularnym, ponieważ wszystkie jego boki są równej długości. Jest jeszcze jedna ważna uwaga. Kąt między dwoma kolejnymi bokami jest zawsze taki sam. Jednak narysowany na płaszczyźnie nie określa zbioru wypukłego, a boki wielościanu przecinają się. Jednak nie zawsze tak było. Matematycy od dawna rozważali ideę „niewypukłych” wielościanów regularnych. Jednym z nich był pentagram. Dozwolone były również „wielokąty gwiaździste”. Odkryto kilka nowych przykładów „wielościanów regularnych”. Teraz nazywają się wielościanami Keplera-Poinsota. Później G. S. M. Coxeter i Branko Grünbaum rozszerzyli zasady i odkryli inne „zwykłe wielościany”.
Formuła wielościenna
Systematyczne badanie tych liczb rozpoczęło się stosunkowo wcześnie w historii matematyki. Leonhard Euler jako pierwszy zauważył, że wzór odnoszący się do liczby ich wierzchołków, ścian i krawędzi obowiązuje dla wypukłych wielościanów 3D.
Ona wygląda tak:
V + F - E=2, gdzie V to liczba wierzchołków wielościanu, F to liczba krawędzi wielościanu, a E to liczba ścian.
Leonhard Euler jest Szwajcaremmatematyk, który jest uważany za jednego z największych i najbardziej produktywnych naukowców wszechczasów. Przez większość życia był niewidomy, ale utrata wzroku dała mu powód, by stać się jeszcze bardziej produktywnym. Istnieje kilka wzorów nazwanych jego imieniem, a ta, na którą właśnie spojrzeliśmy, jest czasami nazywana formułą wielościanów Eulera.
Jest jedno wyjaśnienie. Jednak wzór Eulera działa tylko w przypadku wielościanów, które przestrzegają pewnych zasad. Polegają na tym, że forma nie powinna mieć żadnych dziur. I niedopuszczalne jest, aby się krzyżowała. Wielościan nie może również składać się z dwóch połączonych ze sobą części, na przykład dwóch sześcianów o tym samym wierzchołku. Euler wspomniał o wyniku swoich badań w liście do Christiana Goldbacha z 1750 roku. Później opublikował dwa artykuły, w których opisał, jak próbował znaleźć dowód swojego nowego odkrycia. W rzeczywistości istnieją formy, które dają inną odpowiedź na V + F - E. Odpowiedź na sumę F + V - E=X nazywana jest charakterystyką Eulera. Ma inny aspekt. Niektóre kształty mogą mieć nawet ujemną charakterystykę Eulera
Teoria grafów
Czasami twierdzi się, że Kartezjusz wyprowadził twierdzenie Eulera wcześniej. Chociaż naukowiec ten odkrył fakty dotyczące wielościanów trójwymiarowych, które pozwoliłyby mu wyprowadzić pożądaną formułę, nie podjął tego dodatkowego kroku. Dziś Eulerowi przypisuje się „ojca” teorii grafów. Za pomocą swoich pomysłów rozwiązał problem mostu w Królewcu. Ale naukowiec nie patrzył na wielościan w kontekścieteoria grafów. Euler próbował dać dowód wzoru opartego na rozkładzie wielościanu na prostsze części. Ta próba nie spełnia współczesnych standardów dowodowych. Chociaż Euler nie podał pierwszego poprawnego uzasadnienia swojej formuły, nie można udowodnić przypuszczeń, które nie zostały postawione. Jednak wyniki, które zostały później uzasadnione, pozwalają na wykorzystanie twierdzenia Eulera również w chwili obecnej. Pierwszy dowód uzyskał matematyk Adrian Marie Legendre.
Dowód wzoru Eulera
Euler jako pierwszy sformułował wzór wielościenny jako twierdzenie o wielościanach. Dziś często traktuje się go w bardziej ogólnym kontekście połączonych wykresów. Na przykład jako struktury składające się z punktów i łączących je odcinków linii, które znajdują się w tej samej części. Augustin Louis Cauchy był pierwszą osobą, która znalazła to ważne powiązanie. Służył jako dowód twierdzenia Eulera. W istocie zauważył, że graf wielościanu wypukłego (lub tego, co dziś się tak nazywa) jest topologicznie homeomorficzny ze sferą, ma graf płaski. Co to jest? Wykres planarny to taki, który został narysowany w płaszczyźnie w taki sposób, że jego krawędzie spotykają się lub przecinają tylko w wierzchołku. W tym miejscu znaleziono związek między twierdzeniem Eulera a wykresami.
Jednym ze wskaźników wagi wyniku jest to, że David Epstein był w stanie zebrać siedemnaście różnych dowodów. Istnieje wiele sposobów uzasadnienia wzoru wielościennego Eulera. W pewnym sensie najbardziej oczywistymi dowodami są metody wykorzystujące indukcję matematyczną. Wynik można udowodnićrysując go wzdłuż liczby krawędzi, ścian lub wierzchołków wykresu.
Dowód Rademachera i Toeplitza
Szczególnie atrakcyjny jest następujący dowód Rademachera i Toeplitza, oparty na podejściu Von Staudta. Aby uzasadnić twierdzenie Eulera, załóżmy, że G jest grafem spójnym osadzonym w płaszczyźnie. Jeśli posiada schematy, możliwe jest wykluczenie jednej krawędzi z każdego z nich w taki sposób, aby zachować właściwość, że pozostaje połączona. Istnieje zależność jeden do jednego między usuniętymi częściami, aby przejść do połączonego grafu bez zamknięcia, a tymi, które nie są nieskończoną krawędzią. Badania te doprowadziły do klasyfikacji „powierzchni orientowalnych” pod kątem tzw. charakterystyki Eulera.
Krzywa Jordana. Twierdzenie
Główna teza, która jest bezpośrednio lub pośrednio wykorzystywana w dowodzie wzoru wielościanów twierdzenia Eulera dla grafów, zależy od krzywej Jordana. Ta idea wiąże się z uogólnieniem. Mówi, że każda prosta zamknięta krzywa dzieli płaszczyznę na trzy zestawy: punkty na niej, wewnątrz i na zewnątrz. W miarę rozwoju zainteresowania wielościenną formułą Eulera w XIX wieku podejmowano wiele prób jej uogólnienia. Badania te położyły podwaliny pod rozwój topologii algebraicznej i połączyły ją z algebrą i teorią liczb.
Grupa Moebiusa
Wkrótce odkryto, że niektóre powierzchnie mogą być "orientowane" w spójny sposób tylko lokalnie, a nie globalnie. Za ilustrację tego rodzaju służy znana grupa Möbiusapowierzchnie. Został odkryty nieco wcześniej przez Johanna Listinga. Pojęcie to zawiera pojęcie rodzaju grafu: najmniejsza liczba deskryptorów g. Musi być dodany do powierzchni kuli i może być osadzony na rozszerzonej powierzchni w taki sposób, że krawędzie spotykają się tylko na wierzchołkach. Okazuje się, że każdą orientowaną powierzchnię w przestrzeni euklidesowej można uznać za kulę z określoną liczbą uchwytów.
Schemat Eulera
Naukowiec dokonał kolejnego odkrycia, które jest używane do dziś. Ten tak zwany diagram Eulera jest graficzną reprezentacją okręgów, zwykle używaną do zilustrowania relacji między zestawami lub grupami. Wykresy zazwyczaj zawierają kolory, które mieszają się w obszarach, w których okręgi nakładają się na siebie. Zestawy są dokładnie reprezentowane przez koła lub owale, chociaż można do nich wykorzystać również inne figury. Włączenie jest reprezentowane przez nakładanie się elips zwanych okręgami Eulera.
Reprezentują zbiory i podzbiory. Wyjątkiem są nienakładające się kręgi. Diagramy Eulera są ściśle związane z innymi reprezentacjami graficznymi. Często są zdezorientowani. Ta graficzna reprezentacja nazywa się diagramami Venna. W zależności od zestawu, obie wersje mogą wyglądać tak samo. Jednak na diagramach Venna nakładające się okręgi niekoniecznie wskazują na podobieństwo między zestawami, a jedynie na możliwy logiczny związek, jeśli ich etykiety nie są wprzecinające się koło. Obie opcje zostały przyjęte do nauczania teorii mnogości w ramach nowego ruchu matematycznego lat 60.
Twierdzenie Fermata i Eulera
Euler pozostawił zauważalny ślad w naukach matematycznych. Teoria liczb algebraicznych została wzbogacona o twierdzenie nazwane jego imieniem. To także konsekwencja innego ważnego odkrycia. Jest to tak zwane ogólne twierdzenie algebraiczne Lagrange'a. Nazwisko Eulera jest również związane z małym twierdzeniem Fermata. Mówi, że jeśli p jest liczbą pierwszą, a a jest liczbą całkowitą niepodzielną przez p, to:
ap-1 - 1 jest podzielne przez p.
Czasami to samo odkrycie ma inną nazwę, najczęściej spotykaną w literaturze zagranicznej. Brzmi to jak bożonarodzeniowe twierdzenie Fermata. Rzecz w tym, że odkrycie stało się znane dzięki listowi naukowca wysłanego w przeddzień 25 grudnia 1640 r. Ale samo stwierdzenie było już wcześniej spotykane. Był używany przez innego naukowca o nazwisku Albert Girard. Fermat próbował jedynie udowodnić swoją teorię. Autor wskazuje w innym liście, że zainspirowała go metoda nieskończonego schodzenia. Ale nie przedstawił żadnych dowodów. Później Eider również sięgnął po tę samą metodę. A po nim - wielu innych znanych naukowców, w tym Lagrange, Gauss i Minkosky.
Cechy tożsamości
Małe Twierdzenie Fermata jest również nazywane przez Eulera szczególnym przypadkiem twierdzenia z teorii liczb. W tej teorii funkcja tożsamości Eulera liczy dodatnie liczby całkowite aż do danej liczby całkowitej n. Są względnie pierwsze w stosunku don. Twierdzenie Eulera w teorii liczb zapisane jest grecką literą φ i wygląda jak φ(n). Można go bardziej formalnie zdefiniować jako liczbę liczb całkowitych k z zakresu 1 ≦ k ≦ n, dla których największym wspólnym dzielnikiem gcd(n, k) jest 1. Zapis φ(n) można również nazwać funkcją phi Eulera. Liczby całkowite k tej postaci są czasami nazywane totalnymi. W sercu teorii liczb funkcja tożsamości Eulera jest multiplikatywna, co oznacza, że jeśli dwie liczby m i n są względnie pierwsze, to φ(mn)=φ(m)φ(n). Odgrywa również kluczową rolę w definiowaniu systemu szyfrowania RSA.
Funkcja Eulera została wprowadzona w 1763 roku. Jednak w tym czasie matematyk nie wybrał dla niej żadnego konkretnego symbolu. W publikacji z 1784 r. Euler zbadał tę funkcję bardziej szczegółowo i wybrał grecką literę π, aby ją przedstawić. James Sylvester ukuł termin „total” dla tej funkcji. Dlatego jest również określany jako suma Eulera. Całkowite φ(n) dodatniej liczby całkowitej n większej niż 1 to liczba dodatnich liczb całkowitych mniejszych niż n, które są względnie pierwsze do n.φ(1) jest zdefiniowane jako 1. Funkcja Eulera lub funkcja phi(φ) to bardzo ważna teoria liczb funkcja głęboko związana z liczbami pierwszymi i tak zwanym porządkiem liczb całkowitych.
