Problem Goldbacha jest jednym z najstarszych i najgłośniejszych problemów w historii matematyki.
Udowodniono, że ta hipoteza jest prawdziwa dla wszystkich liczb całkowitych mniejszych niż 4 × 1018, ale pozostaje niesprawdzona pomimo znacznych wysiłków matematyków.
Numer
Liczba Goldbacha jest dodatnią parzystą liczbą całkowitą, która jest sumą pary nieparzystych liczb pierwszych. Inną formą hipotezy Goldbacha jest to, że wszystkie liczby parzyste większe niż cztery są liczbami Goldbacha.
Rozdzielenie takich liczb nazywa się partycją (lub partycją) Goldbacha. Poniżej znajdują się przykłady podobnych sekcji dla niektórych liczb parzystych:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Odkrycie hipotezy
Goldbach miał kolegę o imieniu Euler, który lubił liczyć, pisać złożone formuły i wysuwać nierozwiązywalne teorie. W tym byli podobni do Goldbacha. Euler zrobił podobną zagadkę matematyczną jeszcze przed Goldbachem, z którymstała korespondencja. Następnie zaproponował drugą sugestię na marginesie swojego rękopisu, zgodnie z którą liczbę całkowitą większą niż 2 można zapisać jako sumę trzech liczb pierwszych. Uważał 1 za liczbę pierwszą.
Te dwie hipotezy są obecnie podobne, ale w tamtym czasie nie stanowiło to problemu. Współczesna wersja problemu Goldbacha mówi, że każdą liczbę całkowitą większą niż 5 można zapisać jako sumę trzech liczb pierwszych. Euler odpowiedział w liście z 30 czerwca 1742 r. i przypomniał Goldbachowi o wcześniejszej rozmowie, którą odbyli ("…więc mówimy o oryginalnej (i nie marginalnej) hipotezie wynikającej z poniższego oświadczenia").
Problem Eulera-Goldbacha
2 i jego liczby parzyste można zapisać jako sumę dwóch liczb pierwszych, co jest również przypuszczeniem Goldbacha. W liście z 30 czerwca 1742 Euler stwierdził, że każda parzysta liczba całkowita jest wynikiem dodania dwóch liczb pierwszych, które uważa za dobrze zdefiniowane twierdzenie, chociaż nie może tego udowodnić.
Trzecia wersja
Trzecia wersja problemu Goldbacha (odpowiednik dwóch pozostałych wersji) to forma, w jakiej przypuszczenia są dziś zwykle formułowane. Jest również znany jako „silna”, „parzysta” lub „binarna” hipoteza Goldbacha, aby odróżnić ją od słabszej hipotezy znanej dziś jako „słaba”, „nieparzysta” lub „trójargumentowa” hipoteza Goldbacha. Słabe przypuszczenie mówi, że wszystkie liczby nieparzyste większe niż 7 są sumą trzech nieparzystych liczb pierwszych. Słabe przypuszczenie zostało potwierdzone w 2013 roku. Słaba hipoteza to:konsekwencja silnej hipotezy. Odwrotny wniosek i silna hipoteza Goldbacha pozostają do dziś niesprawdzone.
Sprawdź
Dla małych wartości n można zweryfikować problem Goldbacha (a tym samym hipotezę Goldbacha). Na przykład Nils Pipping w 1938 r. dokładnie przetestował hipotezę do n ≦ 105. Wraz z pojawieniem się pierwszych komputerów obliczono znacznie więcej wartości n.
Oliveira Silva przeprowadziła rozproszone wyszukiwanie komputerowe, które potwierdziło hipotezę dla n ≦ 4 × 1018 (i dwukrotnie sprawdzone do 4 × 1017) od 2013 roku. Jeden wpis z tego wyszukiwania mówi, że 3,325,581,707,333,960,528 to najmniejsza liczba, która nie ma podziału Goldbacha z liczbą pierwszą poniżej 9781.
Heurystyka
Wersja mocnej formy hipotezy Goldbacha jest następująca: ponieważ ilość ma tendencję do nieskończoności wraz ze wzrostem n, oczekujemy, że każda duża parzysta liczba całkowita ma więcej niż jedną reprezentację jako sumę dwóch liczb pierwszych. Ale w rzeczywistości jest wiele takich przedstawień. Kto rozwiązał problem Goldbacha? Niestety, nadal nikt.
Ten argument heurystyczny jest w rzeczywistości nieco nieprecyzyjny, ponieważ zakłada, że m jest statystycznie niezależne od n. Na przykład, jeśli m jest nieparzyste, to n - m też jest nieparzyste, a jeśli m jest parzyste, to n - m jest parzyste, a jest to relacja nietrywialna (złożona), bo oprócz liczby 2 tylko nieparzysta liczby mogą być pierwsze. Podobnie, jeśli n jest podzielne przez 3, a m było już liczbą pierwszą inną niż 3, to n - m jest również wzajemnieliczba pierwsza z 3, więc bardziej prawdopodobne jest, że będzie liczbą pierwszą niż liczbą całkowitą. Przeprowadzając ten rodzaj analizy dokładniej, Hardy i Littlewood w 1923 r., w ramach słynnej hipotezy prostej krotki Hardy'ego-Littlewooda, dokonali powyższego udoskonalenia całej teorii. Ale jak dotąd nie pomogło to w rozwiązaniu problemu.
Silna hipoteza
Silna hipoteza Goldbacha jest znacznie bardziej skomplikowana niż słaba hipoteza Goldbacha. Shnirelman udowodnił później, że każdą liczbę naturalną większą niż 1 można zapisać jako sumę co najwyżej C liczb pierwszych, gdzie C jest efektywnie obliczalną stałą. Wielu matematyków próbowało go rozwiązać, licząc i mnożąc liczby, oferując złożone formuły itp. Ale im się to nie udało, bo hipoteza jest zbyt skomplikowana. Żadne formuły nie pomogły.
Ale warto odejść trochę od kwestii udowodnienia problemu Goldbacha. Stała Shnirelmana jest najmniejszą liczbą C z tą właściwością. Sam Shnirelman otrzymał C <800 000. Ten wynik został następnie uzupełniony przez wielu autorów, takich jak Olivier Ramaret, który wykazał w 1995 roku, że każda parzysta liczba n ≧ 4 jest w rzeczywistości sumą co najwyżej sześciu liczb pierwszych. Najsłynniejszy wynik związany obecnie z teorią Goldbacha autorstwa Haralda Helfgotta.
Dalszy rozwój
W 1924 Hardy i Littlewood założyli G. R. H. wykazali, że liczba liczb parzystych do X, naruszająca binarny problem Goldbacha, jest znacznie mniejsza niż dla małych c.
W 1973 Chen JingyunPróbowałem rozwiązać ten problem, ale to nie zadziałało. Był także matematykiem, więc bardzo lubił rozwiązywać zagadki i dowodzić twierdzeń.
W 1975 roku dwóch amerykańskich matematyków wykazało, że istnieją dodatnie stałe c i C - te, dla których N jest wystarczająco duże. W szczególności zbiór parzystych liczb całkowitych ma gęstość zerową. Wszystko to przydało się w pracach nad rozwiązaniem trójskładnikowego problemu Goldbacha, które będą miały miejsce w przyszłości.
W 1951 Linnik udowodnił istnienie stałej K takiej, że każda wystarczająco duża liczba parzysta jest wynikiem dodania do siebie jednej liczby pierwszej i drugiej liczby pierwszej. Roger Heath-Brown i Jan-Christoph Schlage-Puchta odkryli w 2002 roku, że K=13 działa. Jest to bardzo interesujące dla wszystkich, którzy lubią dodawać do siebie różne liczby i zobaczyć, co się stanie.
Rozwiązanie problemu Goldbacha
Podobnie jak w przypadku wielu dobrze znanych hipotez matematycznych, istnieje wiele rzekomych dowodów hipotezy Goldbacha, z których żaden nie jest akceptowany przez społeczność matematyczną.
Chociaż hipoteza Goldbacha sugeruje, że każda dodatnia liczba całkowita większa niż jeden może być zapisana jako suma co najwyżej trzech liczb pierwszych, nie zawsze jest możliwe znalezienie takiej sumy za pomocą zachłannego algorytmu, który używa największej możliwej liczby pierwszej na każdym kroku. Sekwencja Pillai śledzi liczby wymagające największej liczby liczb pierwszych w ich zachłannych reprezentacjach. Dlatego rozwiązanie problemu Goldbachawciąż kwestionowane. Niemniej jednak prędzej czy później najprawdopodobniej zostanie rozwiązany.
Istnieją teorie podobne do problemu Goldbacha, w których liczby pierwsze są zastępowane przez inne określone zestawy liczb, takie jak kwadraty.
Christian Goldbach
Christian Goldbach był niemieckim matematykiem, który również studiował prawo. Dziś jest pamiętany z powodu przypuszczenia Goldbacha.
Przez całe życie pracował jako matematyk - bardzo lubił dodawać liczby, wymyślać nowe formuły. Znał też kilka języków, w każdym z nich prowadził swój osobisty pamiętnik. Były to języki niemiecki, francuski, włoski i rosyjski. Ponadto, według niektórych źródeł, mówił po angielsku i łacinie. Za życia był znany jako dość znany matematyk. Goldbach był też dość blisko związany z Rosją, ponieważ miał wielu rosyjskich kolegów i osobistą przychylność rodziny królewskiej.
Kontynuował pracę w nowo otwartej Akademii Nauk w Petersburgu w 1725 roku jako profesor matematyki i historyk akademii. W 1728 roku, kiedy Piotr II został carem Rosji, Goldbach został jego mentorem. W 1742 wstąpił do rosyjskiego MSZ. Oznacza to, że faktycznie pracował w naszym kraju. W tym czasie do Rosji przybyło wielu naukowców, pisarzy, filozofów i wojskowych, ponieważ Rosja była wówczas krajem możliwości jak Ameryka. Wielu zrobiło tu karierę. A nasz bohater nie jest wyjątkiem.
Christian Goldbach był wielojęzyczny – pisał pamiętnik po niemiecku i łacinie, swoje listybyły pisane po niemiecku, łacinie, francusku i włosku, a w oficjalnych dokumentach używał rosyjskiego, niemieckiego i łaciny.
Zmarł 20 listopada 1764 roku w Moskwie w wieku 74 lat. Dzień, w którym problem Goldbacha zostanie rozwiązany, będzie stosownym hołdem dla jego pamięci.
Wniosek
Goldbach był wspaniałym matematykiem, który dał nam jedną z największych tajemnic tej nauki. Nie wiadomo, czy kiedykolwiek zostanie rozwiązany, czy nie. Wiemy tylko, że jego rzekome rozwiązanie, podobnie jak w przypadku twierdzenia Fermata, otworzy przed matematyką nowe perspektywy. Matematycy bardzo lubią je rozwiązywać i analizować. Jest to bardzo interesujące i ciekawe z heurystycznego punktu widzenia. Nawet studenci matematyki lubią rozwiązywać problem Goldbacha. Jak inaczej? W końcu młodych ludzi nieustannie pociąga wszystko, co jasne, ambitne i nierozwiązane, ponieważ pokonując trudności można się bronić. Miejmy nadzieję, że wkrótce ten problem rozwiążą młode, ambitne, dociekliwe umysły.
