Geometria przestrzenna, której przebieg jest badany w klasach 10-11 szkoły, uwzględnia właściwości figur trójwymiarowych. Artykuł podaje geometryczną definicję cylindra, podaje wzór do obliczania jego objętości, a także rozwiązuje problem fizyczny, w którym ważna jest znajomość tej objętości.
Co to jest cylinder?
Z punktu widzenia stereometrii, definicję walca można określić następująco: jest to figura powstała w wyniku równoległego przemieszczenia odcinka prostego wzdłuż pewnej płaskiej krzywej zamkniętej. Nazwany segment nie może należeć do tej samej płaszczyzny co krzywa. Jeśli krzywa jest kołem, a odcinek jest do niej prostopadły, to uformowany w opisany sposób walec nazywa się prostym i okrągłym. Jest to pokazane na poniższym obrazku.
Nietrudno zgadnąć, że ten kształt można uzyskać, obracając prostokąt wokół któregoś z jego boków.
Walec ma dwie identyczne podstawy, którymi są koła i bokpowierzchnia cylindryczna. Okrąg podstawy nazywa się kierownicą, a prostopadły odcinek łączący okręgi o różnych podstawach jest generatorem figury.
Jak znaleźć objętość okrągłego prostego cylindra?
Po zapoznaniu się z definicją cylindra zastanówmy się, jakie parametry musisz znać, aby matematycznie opisać jego charakterystykę.
Odległość między dwiema podstawami to wysokość figury. Jest oczywiste, że jest równa długości generatora. Wysokość oznaczymy łacińską literą h. Promień okręgu u podstawy jest oznaczony literą r. Nazywany jest również promieniem cylindra. Wprowadzone dwa parametry wystarczą, aby jednoznacznie opisać wszystkie właściwości omawianej figury.
Biorąc pod uwagę geometryczną definicję walca, jego objętość można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
V=Sh
Tutaj S to obszar bazy. Zauważ, że dla każdego cylindra i dla każdego graniastosłupa obowiązuje napisany wzór. Niemniej jednak w przypadku okrągłego prostego cylindra jest dość wygodne w użyciu, ponieważ wysokość jest tworzącą, a obszar S podstawy można określić, pamiętając wzór na obszar koła:
S=pir2
W związku z tym wzór roboczy dla objętości V danej figury będzie zapisany jako:
V=pir2h
Siła wyporu
Każdy uczeń wie, że jeśli przedmiot zostanie zanurzony w wodzie, jego waga będzie mniejsza. Powód tego faktujest pojawienie się siły wyporu lub siły Archimedesa. Działa na każdy organizm, bez względu na jego kształt i materiał, z którego są wykonane. Siłę Archimedesa można określić wzorem:
FA=ρlgVl
Tutaj ρl i Vl to gęstość cieczy i jej objętość wyparta przez ciało. Ważne jest, aby nie mylić tej objętości z objętością ciała. Będą pasować tylko wtedy, gdy ciało będzie całkowicie zanurzone w płynie. W przypadku częściowego zanurzenia Vl jest zawsze mniejsze niż V ciała.
Siła wyporu FA jest nazywana, ponieważ jest skierowana pionowo w górę, czyli jest przeciwna do kierunku grawitacji. Różne kierunki wektorów sił prowadzą do tego, że ciężar ciała w dowolnej cieczy jest mniejszy niż w powietrzu. W uczciwy sposób zauważamy, że w powietrzu na wszystkie ciała oddziałuje również siła wyporu, jednak jest to znikome w porównaniu z siłą Archimedesa w wodzie (800 razy mniej).
Różnica masy ciał w cieczy iw powietrzu służy do wyznaczania gęstości substancji stałych i ciekłych. Ta metoda nazywana jest ważeniem hydrostatycznym. Według legendy po raz pierwszy użył go Archimedes do określenia gęstości metalu, z którego wykonano koronę.
Użyj powyższego wzoru, aby określić siłę wyporu działającą na mosiężny cylinder.
Problem obliczenia siły Archimedesa działającej na mosiężny cylinder
Wiadomo, że mosiężny cylinder ma wysokość 20 cm i średnicę 10 cm. Jaka będzie siła Archimedesa,która zacznie działać na niego, jeśli butla zostanie wrzucona do wody destylowanej.
Aby określić siłę wyporu na mosiężnym cylindrze, najpierw spójrz na gęstość mosiądzu w tabeli. Jest równa 8600 kg/m3 (jest to średnia wartość jego gęstości). Ponieważ ta wartość jest większa niż gęstość wody (1000 kg/m3), obiekt zatonie.
Aby wyznaczyć siłę Archimedesa, wystarczy znaleźć objętość cylindra, a następnie zastosować powyższy wzór dla FA. Mamy:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
Wstawiliśmy do wzoru wartość promienia 5 cm, ponieważ jest ona dwa razy mniejsza niż podana w przypadku problemu ze średnicą.
Dla siły wyporu otrzymujemy:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
Tutaj przekonwertowaliśmy objętość V na m3.
W ten sposób siła skierowana w górę 15,4 N będzie działać na mosiężny cylinder o znanych wymiarach, zanurzony w wodzie.
