Badanie właściwości skupienia gazu jest jedną z ważnych dziedzin współczesnej fizyki. Rozpatrując gazy w skali mikroskopowej można uzyskać wszystkie parametry makroskopowe układu. Ten artykuł ujawni ważne zagadnienie molekularnej teorii kinetycznej gazów: jaki jest rozkład Maxwella cząsteczek pod względem prędkości.
Tło historyczne
Pomysł na gaz jako system mikroskopijnych poruszających się cząstek powstał w starożytnej Grecji. Opracowanie go zajęło nauce ponad 1700 lat.
Założyciel nowoczesnej teorii kinetyki molekularnej (MKT) gazu jest uczciwy, jeśli chodzi o Daniela Bernoulliego. W 1738 opublikował pracę pod tytułem „Hydrodynamika”. W nim Bernoulli przedstawił idee MKT, które są używane do dziś. Naukowiec uważał więc, że gazy składają się z cząstek, które poruszają się losowo we wszystkich kierunkach. Liczne kolizjecząstki ze ściankami naczynia są postrzegane jako obecność ciśnienia w gazach. Prędkości cząstek są ściśle związane z temperaturą układu. Społeczność naukowa nie zaakceptowała śmiałych pomysłów Bernoulliego, ponieważ prawo zachowania energii nie zostało jeszcze ustanowione.
Później wielu naukowców zajęło się budowaniem modelu kinetycznego gazów. Wśród nich na uwagę zasługuje Rudolf Clausius, który w 1857 roku stworzył prosty model gazowy. W nim naukowiec zwrócił szczególną uwagę na obecność translacyjnych, rotacyjnych i wibracyjnych stopni swobody w molekułach.
W 1859 roku, studiując pracę Clausiusa, James Maxwell sformułował tak zwany rozkład Maxwella względem prędkości molekularnych. W rzeczywistości Maxwell potwierdził idee MKT, popierając je aparatem matematycznym. Następnie Ludwig Boltzmann (1871) uogólnił wnioski z rozkładu Maxwella. Postulował bardziej ogólny rozkład statystyczny cząsteczek względem prędkości i energii. Obecnie jest znany jako rozkład Maxwella-Boltzmanna.
Gaz idealny. Podstawowe postulaty ILC
Aby zrozumieć, czym jest funkcja rozkładu Maxwella, musisz jasno zrozumieć systemy, dla których ta funkcja ma zastosowanie. Mówimy o gazie doskonałym. W fizyce pojęcie to jest rozumiane jako płynna substancja, która składa się z praktycznie bezwymiarowych cząstek, które nie mają energii potencjalnej. Cząstki te poruszają się z dużą prędkością, więc ich zachowanie jest całkowicie zdeterminowane energią kinetyczną. Co więcej, odległości między cząstkami są zbyt duże dlaw porównaniu do ich rozmiarów, więc te ostatnie są zaniedbywane.
Gazy idealne są opisane w MKT. Jej główne postulaty to:
- systemy gazowe składają się z ogromnej liczby wolnych cząstek;
- cząstki losowo poruszają się z różnymi prędkościami w różnych kierunkach po prostych trajektoriach;
- cząstki zderzają się sprężyście ze ściankami naczynia (prawdopodobieństwo zderzenia cząstek ze sobą jest niskie ze względu na ich małe rozmiary);
- Temperatura układu jest jednoznacznie określona przez średnią energię kinetyczną cząstek, która jest zachowywana w czasie, jeśli w układzie zostanie ustanowiona równowaga termodynamiczna.
Prawo dystrybucji Maxwella
Gdyby ktoś miał przyrząd, za pomocą którego można zmierzyć prędkość pojedynczej cząsteczki gazu, to po przeprowadzeniu odpowiedniego eksperymentu byłby zaskoczony. Eksperyment pokazałby, że każda cząsteczka dowolnego układu gazowego porusza się z całkowicie dowolną prędkością. W takim przypadku, w ramach jednego układu w równowadze termicznej z otoczeniem, wykrywane byłyby zarówno bardzo wolne, jak i bardzo szybkie cząsteczki.
Prawo rozkładu prędkości cząsteczek gazu Maxwella jest narzędziem, które pozwala określić prawdopodobieństwo wykrycia cząstek o określonej prędkości v w badanym układzie. Odpowiednia funkcja wygląda tak:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
W tym wyrażeniu m -masa cząstki (cząsteczki), k - stała Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna. Tak więc, jeśli znany jest charakter chemiczny cząstek (wartość m), to funkcja f(v) jest jednoznacznie określona przez temperaturę bezwzględną. Funkcja f(v) nazywana jest gęstością prawdopodobieństwa. Jeśli weźmiemy z niej całkę dla pewnego ograniczenia prędkości (v; v+dv), to otrzymamy liczbę cząstek Ni, które mają prędkości w określonym przedziale. W związku z tym, jeśli weźmiemy całkę z gęstości prawdopodobieństwa f(v) dla granic prędkości od 0 do ∞, to otrzymamy całkowitą liczbę cząsteczek N w układzie.
Graficzna reprezentacja gęstości prawdopodobieństwa f(v)
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma dość złożoną formę matematyczną, więc nie jest łatwo przedstawić jej zachowanie w danej temperaturze. Ten problem można rozwiązać, przedstawiając go na wykresie dwuwymiarowym. Schematyczny widok wykresu rozkładu Maxwella pokazano poniżej na rysunku.
Widzimy, że zaczyna się od zera, ponieważ prędkość v cząsteczek nie może mieć wartości ujemnych. Wykres kończy się gdzieś w rejonie dużych prędkości, płynnie spadając do zera (f(∞)->0). Uderza również następująca cecha: gładka krzywa jest asymetryczna, zmniejsza się ona gwałtowniej dla małych prędkości.
Ważną cechą zachowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(v) jest obecność na niej jednego wyraźnego maksimum. Zgodnie z fizycznym znaczeniem funkcji, to maksimum odpowiada najbardziej prawdopodobnej wartości prędkości cząsteczek w gaziesystem.
Ważne prędkości dla funkcji f(v)
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(v) i jej graficzna reprezentacja pozwalają nam zdefiniować trzy ważne typy prędkości.
Pierwszym oczywistym rodzajem prędkości, o którym wspomniano powyżej, jest najbardziej prawdopodobna prędkość v1. Na wykresie jego wartość odpowiada maksimum funkcji f(v). To właśnie ta prędkość i zbliżone do niej wartości będą miały większość cząstek układu. Obliczenie tego nie jest trudne, wystarczy wziąć pierwszą pochodną względem prędkości funkcji f(v) i przyrównać ją do zera. W wyniku tych matematycznych operacji otrzymujemy końcowy wynik:
v1=√(2RT/M).
Tutaj R jest uniwersalną stałą gazową, M jest masą molową cząsteczek.
Drugi rodzaj prędkości to jej średnia wartość dla wszystkich cząstek N. Oznaczmy to v2. Można go obliczyć całkując funkcję vf(v) po wszystkich prędkościach. Wynikiem odnotowanej integracji będzie następująca formuła:
v2=√(8RT/(piM)).
Ponieważ stosunek wynosi 8/pi>2, średnia prędkość jest zawsze nieco wyższa niż najbardziej prawdopodobna.
Każda osoba, która choć trochę zna się na fizyce, rozumie, że średnia prędkość v2 cząsteczek musi mieć ogromne znaczenie w układzie gazowym. Jest to jednak błędne założenie. O wiele ważniejsza jest prędkość RMS. Oznaczmy tov3.
Zgodnie z definicją, prędkość średnia kwadratowa jest sumą kwadratów poszczególnych prędkości wszystkich cząstek podzieloną przez liczbę tych cząstek i wziętą jako pierwiastek kwadratowy. Można go obliczyć dla rozkładu Maxwella, jeśli zdefiniujemy całkę po wszystkich prędkościach funkcji v2f(v). Wzór na średnią prędkość kwadratową przyjmie postać:
v3=√(3RT/M).
Równość pokazuje, że ta prędkość jest większa niż v2 i v1 dla dowolnego systemu gazowego.
Zatem wszystkie rozważane typy prędkości na wykresie rozkładu Maxwella leżą albo na ekstremum, albo po jego prawej stronie.
Ważność wersji 3
Powyżej zauważono, że średnia prędkość kwadratowa jest ważniejsza dla zrozumienia procesów fizycznych i właściwości systemu gazowego niż prosta średnia prędkość v2. To prawda, ponieważ energia kinetyczna gazu doskonałego zależy dokładnie od v3, a nie od v2.
Jeśli weźmiemy pod uwagę jednoatomowy gaz doskonały, prawdziwe jest dla niego następujące wyrażenie:
mv32/2=3/2kT.
Tutaj każda część równania reprezentuje energię kinetyczną jednej cząstki o masie m. Dlaczego wyrażenie zawiera dokładnie wartość v3, a nie średnią prędkość v2? Bardzo proste: przy określaniu energii kinetycznej każdej cząstki, jej indywidualna prędkość v jest kwadratem, a następnie wszystkie prędkościsą dodawane i dzielone przez liczbę cząstek N. Oznacza to, że sama procedura wyznaczania energii kinetycznej prowadzi do wartości średniej kwadratowej prędkości.
Zależność funkcji f(v) od temperatury
Powyżej ustaliliśmy, że gęstość prawdopodobieństwa prędkości molekularnych jednoznacznie zależy od temperatury. Jak zmieni się funkcja, jeśli T zostanie zwiększone lub zmniejszone? Poniższy wykres pomoże odpowiedzieć na to pytanie.
Widać, że nagrzewanie się układu zamkniętego prowadzi do zamazania piku i jego przesunięcia w kierunku wyższych prędkości. Wzrost temperatury prowadzi do wzrostu wszystkich rodzajów prędkości i zmniejszenia gęstości prawdopodobieństwa każdej z nich. Wartość szczytowa maleje ze względu na zachowanie liczby cząstek N w układzie zamkniętym.
Następnie rozwiążemy kilka problemów, aby utrwalić otrzymany materiał teoretyczny.
Problem z cząsteczkami azotu w powietrzu
Konieczne jest obliczenie prędkości v1, v2 i v3 dla azotu w powietrzu w temperaturze 300 K (około 27 oC).
Masa molowa azotu N2 wynosi 28 g/mol. Korzystając z powyższych wzorów otrzymujemy:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problem ze zbiornikiem tlenu
Tlen w butli miał określoną temperaturę T1. Następnie balon został umieszczony w chłodniejszym pomieszczeniu. Jak zmieni się wykres rozkładu prędkości Maxwella dla cząsteczek tlenu, gdy układ dojdzie do równowagi termodynamicznej?
Pamiętając teorię, na pytanie problemu możemy odpowiedzieć w ten sposób: wartości wszystkich typów prędkości cząsteczek zmniejszą się, pik funkcji f(v) przesunie się w lewo, stają się węższe i wyższe.
