Typowe parametry liniowe dowolnej piramidy to długości boków jej podstawy, wysokość, krawędzie boczne i apotemy. Niemniej jednak istnieje inna cecha, która wiąże się z wymienionymi parametrami - jest to kąt dwuścienny. Zastanów się w artykule, co to jest i jak go znaleźć.
Przestrzenna piramida figur
Każdy uczeń dobrze wie, o co toczy się gra, gdy słyszy słowo „piramida”. Można go skonstruować geometrycznie w następujący sposób: wybierz określony wielokąt, a następnie ustal punkt w przestrzeni i połącz go z każdym rogiem wielokąta. Powstała trójwymiarowa figura będzie piramidą dowolnego typu. Wielokąt, który go tworzy, nazywa się podstawą, a punkt, z którym połączone są wszystkie jego rogi, jest wierzchołkiem figury. Poniższy rysunek przedstawia schematycznie pięciokątną piramidę.
Widać, że jej powierzchnię tworzy nie tylko pięciokąt, ale także pięć trójkątów. Ogólnie liczba tych trójkątów będzie równa liczbieboki podstawy wielokąta.
Kąty dwuścienne figury
Gdy rozważane są problemy geometryczne na płaszczyźnie, każdy kąt jest tworzony przez dwie przecinające się linie proste lub segmenty. W przestrzeni kąty dwuścienne są dodawane do tych kątów liniowych, utworzonych przez przecięcie dwóch płaszczyzn.
Jeśli zaznaczona definicja kąta w przestrzeni zostanie zastosowana do danej figury, to możemy powiedzieć, że istnieją dwa rodzaje kątów dwuściennych:
- U podstawy piramidy. Jest tworzony przez płaszczyznę podstawy i dowolną z bocznych ścian (trójkąt). Oznacza to, że kąty podstawy piramidy wynoszą n, gdzie n jest liczbą boków wielokąta.
- Między bokami (trójkąty). Liczba tych dwuściennych kątów również wynosi n sztuk.
Zauważ, że pierwszy typ rozpatrywanych kątowników jest zbudowany na krawędziach podstawy, drugi typ - na krawędziach bocznych.
Jak obliczyć kąty piramidy?
Kąt liniowy kąta dwuściennego jest miarą tego ostatniego. Nie jest to łatwe do obliczenia, ponieważ ściany piramidy, w przeciwieństwie do ścian pryzmatu, w ogólnym przypadku nie przecinają się pod kątem prostym. Najbardziej wiarygodne jest obliczenie wartości kątów dwuściennych za pomocą równań płaszczyzny w postaci ogólnej.
W przestrzeni trójwymiarowej płaszczyzna jest dana przez następujące wyrażenie:
Ax + By + Cz + D=0
Gdzie A, B, C, D są liczbami rzeczywistymi. Wygodą tego równania jest to, że pierwsze trzy zaznaczone liczby to współrzędne wektora,która jest prostopadła do danej płaszczyzny, tj.:
n¯=[A; B; C]
Jeżeli znane są współrzędne trzech punktów należących do płaszczyzny, to biorąc iloczyn wektorowy dwóch wektorów zbudowanych na tych punktach, można otrzymać współrzędne n¯. Wektor n¯ nazywamy przewodnikiem dla samolotu.
Zgodnie z definicją kąt dwuścienny utworzony przez przecięcie dwóch płaszczyzn jest równy kątowi liniowemu między ich wektorami kierunkowymi. Załóżmy, że mamy dwie płaszczyzny, których wektory normalne są równe:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Aby obliczyć kąt φ między nimi, możesz użyć właściwości iloczynu skalarnego, wtedy odpowiedni wzór staje się:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Lub w postaci współrzędnych:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Pokażmy, jak używać powyższej metody do obliczania kątów dwuściennych podczas rozwiązywania problemów geometrycznych.
Kąty regularnej piramidy czworokątnej
Załóżmy, że istnieje regularna piramida, u podstawy której znajduje się kwadrat o boku 10 cm. Wysokość figury wynosi12 cm Należy obliczyć, jakie są kąty dwuścienne u podstawy piramidy i dla jej boków.
Ponieważ liczba podana w warunku zadania jest poprawna, czyli ma dużą symetrię, to wszystkie kąty przy podstawie są sobie równe. Kąty utworzone przez powierzchnie boczne również są takie same. Aby obliczyć wymagane kąty dwuścienne, znajdujemy wektory kierunku dla podstawy i dwóch płaszczyzn bocznych. Oznacz długość boku podstawy literą a, a wysokość h.
Powyższy rysunek przedstawia czworokątną regularną piramidę. Wypiszmy współrzędne punktów A, B, C i D zgodnie z wprowadzonym układem współrzędnych:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Teraz znajdujemy wektory kierunkowe dla płaszczyzn bazowych ABC oraz dwóch boków ABD i BCD zgodnie z metodą opisaną w powyższym akapicie:
Dla ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Dla ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Dla BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Teraz pozostaje zastosować odpowiedni wzór dla kąta φ i zastąpić wartości boku i wysokości ze stwierdzenia problemu:
Kąt między ABC aABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4))))=arccos(a/(2√(h2 + a2) /4))))=67, 38o
Kąt między ABD i BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4))))=81, 49o
Obliczyliśmy wartości kątów, które należało znaleźć na podstawie stanu problemu. Wzory uzyskane w rozwiązywaniu problemu można wykorzystać do wyznaczenia kątów dwuściennych czworokątnych ostrosłupów regularnych o dowolnych wartościach a i h.
Kąty trójkątnej regularnej piramidy
Poniższy rysunek przedstawia piramidę, której podstawą jest regularny trójkąt. Wiadomo, że dwuścienny kąt między bokami jest właściwy. Konieczne jest obliczenie powierzchni podstawy, jeśli wiadomo, że wysokość figury wynosi 15 cm.
Kąt dwuścienny równy 90o jest oznaczony na rysunku jako ABC. Możesz rozwiązać problem za pomocą powyższej metody, ale w tym przypadku zrobimy to łatwiej. Oznaczmy bok trójkąta a, wysokość figury - h, apotemę - hb i bokżebro - b. Teraz możesz napisać następujące formuły:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Ponieważ dwa trójkąty boczne w piramidzie są takie same, boki AB i CB są równe i są ramionami trójkąta ABC. Oznaczmy ich długość przez x, wtedy:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Wypełniając pola bocznych trójkątów i podstawiając apotem do odpowiedniego wyrażenia, mamy:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Powierzchnia trójkąta równobocznego jest obliczana w następujący sposób:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Podstawiamy wartość wysokości z warunku problemu, otrzymujemy odpowiedź: S=584, 567 cm2.
