Leonhard Euler (1707-1783) - słynny szwajcarski i rosyjski matematyk, członek Petersburskiej Akademii Nauk, większość życia spędził w Rosji. Najbardziej znanym w analizie matematycznej, statystyce, informatyce i logice jest okrąg Eulera (diagram Eulera-Venna), używany do oznaczania zakresu pojęć i zbiorów elementów.
John Venn (1834-1923) - angielski filozof i logik, współautor diagramu Eulera-Venna.
Zgodne i niezgodne koncepcje
Pod pojęciem w logice rozumie się formę myślenia, która odzwierciedla podstawowe cechy klasy jednorodnych obiektów. Są one oznaczane jednym lub grupą słów: „mapa świata”, „dominujący akord piąto-septymowy”, „poniedziałek” itp.
W przypadku, gdy elementy zakresu jednego pojęcia całkowicie lub częściowo należą do zakresu innego, mówi się o pojęciach zgodnych. Jeśli jednak żaden element zakresu pewnego pojęcia nie należy do zakresu innego, mamy niezgodne pojęcia.
Z kolei każdy rodzaj koncepcji ma swój własny zestaw możliwych relacji. W przypadku zgodnych koncepcji są to:
- identyczność (równoważność) tomów;
- przejście (dopasowanie częściowe)tomy;
- podporządkowanie (podporządkowanie).
Dla niekompatybilności:
- podporządkowanie (koordynacja);
- przeciwieństwo (kontraralność);
- sprzeczność (sprzeczność).
Schematycznie, relacje między pojęciami w logice są zwykle oznaczane za pomocą kół Eulera-Venna.
Relacje równoważne
W tym przypadku pojęcia oznaczają ten sam temat. W związku z tym wolumeny tych koncepcji są całkowicie takie same. Na przykład:
A - Zygmunt Freud;
B jest założycielem psychoanalizy.
Lub:
A to kwadrat;
B jest prostokątem równobocznym;
C jest równokątnym rombem.
Całkowicie pokrywające się koła Eulera są używane do oznaczenia.
Skrzyżowanie (dopasowanie częściowe)
Ta kategoria obejmuje koncepcje, które mają wspólne elementy związane ze skrzyżowaniem. Oznacza to, że objętość jednego z pojęć jest częściowo zawarta w objętości drugiego:
A - nauczyciel;
B jest miłośnikiem muzyki.
Jak widać na tym przykładzie, tomy pojęć częściowo się pokrywają: pewna grupa nauczycieli może okazać się melomanami i odwrotnie – wśród melomanów mogą być przedstawiciele zawodu nauczycielskiego. Podobna postawa będzie w przypadku, gdy koncept A to np. „obywatel”, a B to „kierowca”.
Podporządkowanie (podporządkowanie)
Schematycznie oznaczone jako okręgi Eulera o różnych skalach. Relacjemiędzy pojęciami w tym przypadku charakteryzują się tym, że pojęcie podrzędne (mniejsze objętościowo) jest całkowicie zawarte w podrzędnym (większym objętościowo). Jednocześnie koncepcja podporządkowania nie wyczerpuje całkowicie podporządkowania.
Na przykład:
A - drzewo;
B - sosna.
Pojęcie B będzie podporządkowane pojęciu A. Ponieważ sosna należy do drzew, pojęcie A w tym przykładzie staje się podrzędne, "absorbując" zakres pojęcia B.
Koordynacja (koordynacja)
Relacja charakteryzuje dwa lub więcej pojęć, które się wykluczają, ale należą do pewnego wspólnego ogólnego kręgu. Na przykład:
A – klarnet;
B - gitara;
C - skrzypce;
D to instrument muzyczny.
Koncepcje A, B, C nie przecinają się ze sobą, jednak wszystkie należą do kategorii instrumentów muzycznych (koncepcja D).
Naprzeciwko (przeciwnie)
Odwrotne relacje między pojęciami oznaczają, że pojęcia te należą do tego samego rodzaju. Jednocześnie jedno z pojęć ma pewne właściwości (cechy), drugie zaś im zaprzecza, zastępując je przeciwstawnymi w naturze. Mamy więc do czynienia z antonimami. Na przykład:
A to karzeł;
B to gigant.
Kółko Eulera z przeciwstawnymi relacjami między pojęciamijest podzielony na trzy segmenty, z których pierwszy odpowiada pojęciu A, drugi pojęciu B, a trzeci wszystkim pozostałym możliwym pojęciom.
Sprzeczność (sprzeczność)
W tym przypadku oba pojęcia są gatunkami tego samego rodzaju. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, jedno z pojęć wskazuje na pewne cechy (cechy), drugie zaś im zaprzecza. Jednak w przeciwieństwie do relacji przeciwieństw, druga, przeciwstawna koncepcja nie zastępuje zaprzeczonych właściwości innymi, alternatywnymi. Na przykład:
A to trudne zadanie;
B to łatwe zadanie (nie-A).
Wyrażając objętość tego rodzaju pojęć, okrąg Eulera jest podzielony na dwie części – trzecie, pośrednie ogniwo w tym przypadku nie istnieje. Zatem pojęcia są również antonimami. Jednocześnie jedna z nich (A) staje się dodatnia (potwierdzająca jakąś cechę), a druga (B lub nie-A) staje się ujemna (negując odpowiednią cechę): „biała księga” - „nie biała księga”, „ historia narodowa” – „historia zagraniczna” itp.
Zatem stosunek objętości pojęć w stosunku do siebie jest kluczową cechą, która definiuje kręgi Eulera.
Relacje między zestawami
Konieczne jest również rozróżnienie pojęć elementów i zbiorów, których objętość jest pokazana przez koła Eulera. Pojęcie zbioru jest zapożyczone z nauk matematycznych i ma dość szerokie znaczenie. Przykłady w logice i matematyce przedstawiają to jako pewien zbiór obiektów. Same obiekty sąelementy tego zestawu. „Wiele to wiele myśli się jako jedno” (Georg Kantor, twórca teorii mnogości).
Zbiory są oznaczone dużymi literami: A, B, C, D… itd., elementy zestawów są oznaczone małymi literami: a, b, c, d… itd. Przykładami zestawu mogą być uczniowie, którzy są w jednej klasie, książki na określonej półce (lub np. wszystkie książki w określonej bibliotece), strony w pamiętniku, jagody na polanie itp.
Z kolei jeśli pewien zbiór nie zawiera ani jednego elementu, to nazywamy go pustym i oznaczamy znakiem Ø. Na przykład zbiór punktów przecięcia równoległych linii, zbiór rozwiązań równania x2=-5.
Rozwiązywanie problemów
Kręgi Eulera są aktywnie wykorzystywane do rozwiązywania wielu problemów. Przykłady w logice wyraźnie pokazują związek między operacjami logicznymi a teorią mnogości. W tym przypadku używane są tablice prawdy pojęć. Na przykład okrąg oznaczony literą A reprezentuje region prawdy. Tak więc obszar poza okręgiem będzie oznaczał fałsz. Aby określić obszar diagramu dla operacji logicznej, należy zacieniować obszary definiujące okrąg Eulera, w których jego wartości dla elementów A i B będą prawdziwe.
Korzystanie z kręgów Eulera znalazło szerokie praktyczne zastosowanie w różnych gałęziach przemysłu. Na przykład w sytuacji wyboru zawodowego. Jeśli podmiot jest zaniepokojony wyborem przyszłego zawodu, może kierować się następującymi kryteriami:
W – co lubię robić?
D – co ja robię?
P– jak mogę zarobić dobre pieniądze?
Narysujmy to jako diagram: Okręgi Eulera (przykłady w logice - relacja przecięcia):
Wynikiem będą te zawody, które będą na przecięciu wszystkich trzech kręgów.
Kółka Eulera-Venna zajmują osobne miejsce w matematyce (teorii mnogości) podczas obliczania kombinacji i własności. Koła Eulera zbioru elementów są zamknięte w obrazie prostokąta oznaczającego zbiór uniwersalny (U). Zamiast kółek można również użyć innych zamkniętych figur, ale istota tego się nie zmienia. Liczby przecinają się ze sobą, zgodnie z warunkami problemu (w najbardziej ogólnym przypadku). Również te liczby powinny być odpowiednio oznakowane. Elementami rozpatrywanych zbiorów mogą być punkty znajdujące się wewnątrz różnych segmentów diagramu. Na jego podstawie można zacieniać określone obszary, wyznaczając w ten sposób nowo powstałe zestawy.
Dzięki tym zbiorom możliwe jest wykonywanie podstawowych operacji matematycznych: dodawanie (suma zbiorów elementów), odejmowanie (różnica), mnożenie (iloczyn). Dodatkowo dzięki diagramom Eulera-Venna możliwe jest porównywanie zbiorów według ilości zawartych w nich elementów, nie licząc ich.
