Wzory na pole powierzchni wycinka koła i długość jego łuku

Spisu treści:

Wzory na pole powierzchni wycinka koła i długość jego łuku
Wzory na pole powierzchni wycinka koła i długość jego łuku
Anonim

Kółko to główna figura w geometrii, której właściwości są brane pod uwagę w szkole w 8 klasie. Jednym z typowych problemów związanych z kołem jest znalezienie obszaru jakiejś jego części, która nazywa się sektorem kołowym. W artykule podano wzory na pole powierzchni sektora i długość jego łuku, a także przykład ich wykorzystania do rozwiązania konkretnego problemu.

Pojęcie koła i koła

Przed podaniem wzoru na pole wycinka koła zastanówmy się, jaka jest wskazana liczba. Zgodnie z definicją matematyczną okrąg jest rozumiany jako taka figura na płaszczyźnie, której wszystkie punkty są równoodległe od jednego punktu (środka).

Rozważając okrąg, używana jest następująca terminologia:

  • Promień - odcinek, który jest rysowany od punktu centralnego do krzywej okręgu. Jest zwykle oznaczany literą R.
  • Średnica to odcinek, który łączy dwa punkty koła, ale także przechodzi przez środek figury. Jest zwykle oznaczany literą D.
  • Łuk jest częścią zakrzywionego okręgu. Jest mierzony w jednostkach długości lub za pomocą kątów.

Koło to kolejna ważna figura geometryczna, jest to zbiór punktów ograniczonych zakrzywionym okręgiem.

Powierzchnia i obwód koła

Wartości podane w tytule pozycji są obliczane za pomocą dwóch prostych formuł. Są one wymienione poniżej:

  • Obwód: L=2piR.
  • Powierzchnia koła: S=piR2.

W tych wzorach pi jest pewną stałą zwaną Pi. Jest irracjonalny, to znaczy nie może być wyrażony dokładnie jako prosty ułamek. Pi wynosi około 3,1416.

Jak widać z powyższych wyrażeń, aby obliczyć pole i długość wystarczy znać tylko promień okręgu.

Powierzchnia sektora okręgu i długość jego łuku

Przed rozważeniem odpowiednich wzorów przypominamy, że kąt w geometrii jest zwykle wyrażany na dwa sposoby:

  • w stopniach sześćdziesiętnych, a pełny obrót wokół własnej osi wynosi 360o;
  • w radianach, wyrażone jako ułamki liczby pi i powiązane ze stopniami następującym równaniem: 2pi=360o.

Sektor koła to figura ograniczona trzema liniami: łukiem koła i dwoma promieniami znajdującymi się na końcach tego łuku. Przykład kołowego sektora pokazano na poniższym zdjęciu.

sektor okrężny
sektor okrężny

Zorientowanie się, czym jest sektor dla koła, jest łatwezrozumieć, jak obliczyć jego powierzchnię i długość odpowiedniego łuku. Na powyższym rysunku widać, że łuk sektora odpowiada kątowi θ. Wiemy, że pełne koło odpowiada 2pi radianom, więc wzór na pole wycinka koła będzie miał postać: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Tutaj kąt θ jest wyrażony w radianach. Podobny wzór dla obszaru sektora, jeśli kąt θ jest mierzony w stopniach, będzie wyglądał następująco: S1=piθR2 /360.

Długość łuku tworzącego sektor jest obliczana według wzoru: L1=θ2piR/(2pi)=θR. A jeśli θ jest znane w stopniach, to: L1=piθR/180.

Formuły dla sektora o obiegu zamkniętym
Formuły dla sektora o obiegu zamkniętym

Przykład rozwiązywania problemów

Posłużmy się przykładem prostego zadania, aby pokazać, jak używać wzorów na pole wycinka koła i długość jego łuku.

Wiadomo, że koło ma 12 szprych. Gdy koło wykona jeden pełny obrót, pokonuje dystans 1,5 metra. Jaki jest obszar zamknięty między dwiema sąsiednimi szprychami koła i jaka jest długość łuku między nimi?

Koło z 12 szprychami
Koło z 12 szprychami

Jak widać z odpowiednich wzorów, aby ich użyć, musisz znać dwie wielkości: promień okręgu i kąt łuku. Promień można obliczyć znając obwód koła, ponieważ odległość przebyta przez nie w jednym obrocie dokładnie mu odpowiada. Mamy: 2Rpi=1,5, skąd: R=1,5/(2pi)=0,2387 metra. Kąt między najbliższymi szprychami można określić, znając ich liczbę. Zakładając, że wszystkie 12 szprych dzieli okrąg równo na równe sektory, otrzymujemy 12 identycznych sektorów. W związku z tym miara kątowa łuku między dwoma szprychami wynosi: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radian.

Znaleźliśmy wszystkie niezbędne wartości, teraz można je podstawić do wzorów i obliczyć wartości wymagane przez stan problemu. Otrzymujemy: S1=0.5236(0.2387)2/2=0.0149 m2, lub 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m lub 12,5 cm.

Zalecana: