Kółko to główna figura w geometrii, której właściwości są brane pod uwagę w szkole w 8 klasie. Jednym z typowych problemów związanych z kołem jest znalezienie obszaru jakiejś jego części, która nazywa się sektorem kołowym. W artykule podano wzory na pole powierzchni sektora i długość jego łuku, a także przykład ich wykorzystania do rozwiązania konkretnego problemu.
Pojęcie koła i koła
Przed podaniem wzoru na pole wycinka koła zastanówmy się, jaka jest wskazana liczba. Zgodnie z definicją matematyczną okrąg jest rozumiany jako taka figura na płaszczyźnie, której wszystkie punkty są równoodległe od jednego punktu (środka).
Rozważając okrąg, używana jest następująca terminologia:
- Promień - odcinek, który jest rysowany od punktu centralnego do krzywej okręgu. Jest zwykle oznaczany literą R.
- Średnica to odcinek, który łączy dwa punkty koła, ale także przechodzi przez środek figury. Jest zwykle oznaczany literą D.
- Łuk jest częścią zakrzywionego okręgu. Jest mierzony w jednostkach długości lub za pomocą kątów.
Koło to kolejna ważna figura geometryczna, jest to zbiór punktów ograniczonych zakrzywionym okręgiem.
Powierzchnia i obwód koła
Wartości podane w tytule pozycji są obliczane za pomocą dwóch prostych formuł. Są one wymienione poniżej:
- Obwód: L=2piR.
- Powierzchnia koła: S=piR2.
W tych wzorach pi jest pewną stałą zwaną Pi. Jest irracjonalny, to znaczy nie może być wyrażony dokładnie jako prosty ułamek. Pi wynosi około 3,1416.
Jak widać z powyższych wyrażeń, aby obliczyć pole i długość wystarczy znać tylko promień okręgu.
Powierzchnia sektora okręgu i długość jego łuku
Przed rozważeniem odpowiednich wzorów przypominamy, że kąt w geometrii jest zwykle wyrażany na dwa sposoby:
- w stopniach sześćdziesiętnych, a pełny obrót wokół własnej osi wynosi 360o;
- w radianach, wyrażone jako ułamki liczby pi i powiązane ze stopniami następującym równaniem: 2pi=360o.
Sektor koła to figura ograniczona trzema liniami: łukiem koła i dwoma promieniami znajdującymi się na końcach tego łuku. Przykład kołowego sektora pokazano na poniższym zdjęciu.
Zorientowanie się, czym jest sektor dla koła, jest łatwezrozumieć, jak obliczyć jego powierzchnię i długość odpowiedniego łuku. Na powyższym rysunku widać, że łuk sektora odpowiada kątowi θ. Wiemy, że pełne koło odpowiada 2pi radianom, więc wzór na pole wycinka koła będzie miał postać: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Tutaj kąt θ jest wyrażony w radianach. Podobny wzór dla obszaru sektora, jeśli kąt θ jest mierzony w stopniach, będzie wyglądał następująco: S1=piθR2 /360.
Długość łuku tworzącego sektor jest obliczana według wzoru: L1=θ2piR/(2pi)=θR. A jeśli θ jest znane w stopniach, to: L1=piθR/180.
Przykład rozwiązywania problemów
Posłużmy się przykładem prostego zadania, aby pokazać, jak używać wzorów na pole wycinka koła i długość jego łuku.
Wiadomo, że koło ma 12 szprych. Gdy koło wykona jeden pełny obrót, pokonuje dystans 1,5 metra. Jaki jest obszar zamknięty między dwiema sąsiednimi szprychami koła i jaka jest długość łuku między nimi?
Jak widać z odpowiednich wzorów, aby ich użyć, musisz znać dwie wielkości: promień okręgu i kąt łuku. Promień można obliczyć znając obwód koła, ponieważ odległość przebyta przez nie w jednym obrocie dokładnie mu odpowiada. Mamy: 2Rpi=1,5, skąd: R=1,5/(2pi)=0,2387 metra. Kąt między najbliższymi szprychami można określić, znając ich liczbę. Zakładając, że wszystkie 12 szprych dzieli okrąg równo na równe sektory, otrzymujemy 12 identycznych sektorów. W związku z tym miara kątowa łuku między dwoma szprychami wynosi: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radian.
Znaleźliśmy wszystkie niezbędne wartości, teraz można je podstawić do wzorów i obliczyć wartości wymagane przez stan problemu. Otrzymujemy: S1=0.5236(0.2387)2/2=0.0149 m2, lub 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m lub 12,5 cm.
