Aby określić równoległość i prostopadłość płaszczyzn, a także obliczyć odległości między tymi obiektami geometrycznymi, wygodnie jest użyć takiego lub innego rodzaju funkcji numerycznych. W przypadku jakich problemów wygodnie jest zastosować równanie płaszczyzny w odcinkach? W tym artykule przyjrzymy się, co to jest i jak wykorzystać go w praktycznych zadaniach.
Co to jest równanie w odcinkach liniowych?
Płaszczyzna może być zdefiniowana w przestrzeni 3D na kilka sposobów. W tym artykule niektóre z nich zostaną podane przy rozwiązywaniu różnego rodzaju problemów. Tutaj podajemy szczegółowy opis równania w segmentach samolotu. Zwykle ma następującą postać:
x/p + y/q + z/r=1.
Gdzie symbole p, q, r oznaczają określone liczby. To równanie można łatwo przełożyć na wyrażenie ogólne i na inne formy funkcji numerycznych dla płaszczyzny.
Wygoda pisania równania w odcinkach polega na tym, że zawiera ono wyraźne współrzędne przecięcia płaszczyzny z prostopadłymi osiami współrzędnych. Na osi Xw stosunku do początku płaszczyzna odcina odcinek o długości p, na osi y - równy q, na z - o długości r.
Jeżeli równanie nie zawiera żadnej z trzech zmiennych, oznacza to, że samolot nie przechodzi przez odpowiednią oś (matematycy twierdzą, że przecina się w nieskończoności).
Następnie oto kilka problemów, w których pokażemy, jak pracować z tym równaniem.
Komunikacja równań ogólnych i w odcinkach
Wiadomo, że samolot ma następującą równość:
2x - 3y + z - 6=0.
Konieczne jest zapisanie tego ogólnego równania płaszczyzny w segmentach.
Gdy pojawia się podobny problem, musisz zastosować następującą technikę: przenosimy wolny wyraz na prawą stronę równości. Następnie dzielimy całe równanie przez ten wyraz, starając się wyrazić je w postaci podanej w poprzednim akapicie. Mamy:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Uzyskaliśmy w segmentach równanie płaszczyzny podane początkowo w postaci ogólnej. Można zauważyć, że płaszczyzna odcina odcinki o długościach 3, 2 i 6 odpowiednio dla osi x, y i z. Oś y przecina płaszczyznę w obszarze ujemnych współrzędnych.
Podczas tworzenia równania w segmentach ważne jest, aby wszystkie zmienne były poprzedzone znakiem „+”. Tylko w tym przypadku liczba, przez którą ta zmienna jest dzielona, pokaże odciętą współrzędną na osi.
Wektor normalny i punkt na płaszczyźnie
Wiadomo, że niektóre samoloty mają wektor kierunku (3; 0; -1). Wiadomo też, że przechodzi przez punkt (1; 1; 1). Dla tej płaszczyzny napisz równanie w segmentach.
Aby rozwiązać ten problem, powinieneś najpierw użyć ogólnego kształtu tego dwuwymiarowego obiektu geometrycznego. Ogólna forma jest zapisana jako:
Ax + By + Cz + D=0.
Pierwsze trzy współczynniki to współrzędne wektora prowadzącego, który jest określony w opisie problemu, czyli:
A=3;
B=0;
C=-1.
Pozostaje znaleźć wolny termin D. Można go określić za pomocą następującego wzoru:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Gdzie wartości współrzędnych z indeksem 1 odpowiadają współrzędnym punktu należącego do płaszczyzny. Podstawiamy ich wartości od stanu problemu, otrzymujemy:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Teraz możesz napisać całe równanie:
3x - z - 2=0.
Technika przekształcania tego wyrażenia w równanie w segmentach płaszczyzny została już zademonstrowana powyżej. Zastosuj to:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Otrzymano odpowiedź na problem. Zauważ, że ta płaszczyzna przecina tylko osie x i z. Dla y jest równoległy.
Dwie proste linie definiujące płaszczyznę
Z kursu geometrii przestrzennej każdy student wie, że dwie dowolne linie jednoznacznie definiują płaszczyznę wtrójwymiarowa przestrzeń. Rozwiążmy podobny problem.
Znane są dwa równania linii:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Konieczne jest zapisanie równania płaszczyzny w odcinkach, przechodzących przez te linie.
Ponieważ obie linie muszą leżeć w płaszczyźnie, oznacza to, że ich wektory (prowadnice) muszą być prostopadłe do wektora (prowadnicy) płaszczyzny. Jednocześnie wiadomo, że iloczyn wektorowy dowolnych dwóch skierowanych segmentów daje wynik w postaci współrzędnych trzeciego, prostopadłego do dwóch pierwotnych. Mając tę właściwość, otrzymujemy współrzędne wektora normalnej do pożądanej płaszczyzny:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Ponieważ można go pomnożyć przez dowolną liczbę, tworzy to nowy odcinek skierowany równolegle do pierwotnego, możemy zastąpić znak otrzymanych współrzędnych znakiem przeciwnym (pomnożyć przez -1), otrzymujemy:
(1; 2; 1)).
Znamy wektor kierunku. Pozostaje wziąć dowolny punkt jednej z prostych i sporządzić ogólne równanie płaszczyzny:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Przekładając tę równość na wyrażenie w segmentach, otrzymujemy:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
W ten sposób płaszczyzna przecina wszystkie trzy osie w dodatnim obszarze układu współrzędnych.
Trzy punkty i samolot
Podobnie jak dwie proste linie, trzy punkty definiują płaszczyznę jednoznacznie w przestrzeni trójwymiarowej. Odpowiednie równanie zapisujemy w odcinkach, jeśli znane są następujące współrzędne punktów leżących na płaszczyźnie:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Zróbmy co następuje: oblicz współrzędne dwóch dowolnych wektorów łączących te punkty, a następnie znajdź wektor n¯ normalny do płaszczyzny przez obliczenie iloczynu znalezionych odcinków skierowanych. Otrzymujemy:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Weź punkt P jako przykład, ułóż równanie płaszczyzny:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 lub z=0.
Otrzymaliśmy proste wyrażenie, które odpowiada płaszczyźnie xy w danym prostokątnym układzie współrzędnych. Nie można go zapisać w odcinkach, ponieważ osie x i y należą do płaszczyzny, a długość odciętego odcinka na osi z wynosi zero (punkt (0; 0; 0) należy do płaszczyzny).
