Często w fizyce trzeba rozwiązywać problemy obliczania równowagi w złożonych układach, które mają wiele działających sił, dźwigni i osi obrotu. W tym przypadku najłatwiej jest użyć pojęcia momentu siły. Ten artykuł zawiera wszystkie niezbędne formuły wraz ze szczegółowymi objaśnieniami, które należy wykorzystać do rozwiązywania problemów określonego typu.
O czym będziemy rozmawiać?
Wiele osób prawdopodobnie zauważyło, że jeśli działasz z jakąkolwiek siłą na obiekt zamocowany w pewnym punkcie, zaczyna się on obracać. Uderzającym przykładem są drzwi do domu lub do pokoju. Jeśli weźmiesz go za uchwyt i popchniesz (przyłożysz siłę), zacznie się otwierać (włącz zawiasy). Proces ten jest przejawem w życiu codziennym działania wielkości fizycznej, którą nazywamy momentem siły.
Z opisanego przykładu z drzwiami wynika, że wartość, o której mowa, wskazuje na zdolność siły do obracania się, co jest jej fizycznym znaczeniem. Również ta wartośćnazywa się momentem skręcania.
Określenie momentu siły
Przed określeniem rozważanej wielkości zróbmy proste zdjęcie.
Tak więc, rysunek pokazuje dźwignię (niebieska), która jest zamocowana na osi (zielona). Ta dźwignia ma długość d, a do jej końca przyłożona jest siła F. Co w tym przypadku stanie się z systemem? Zgadza się, dźwignia zacznie się obracać w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, patrząc z góry (zauważ, że jeśli trochę rozciągniesz wyobraźnię i wyobrazisz sobie, że widok jest skierowany od dołu do dźwigni, wtedy będzie się obracać zgodnie z ruchem wskazówek zegara).
Niech punkt zaczepienia osi zostanie nazwany O, a punkt przyłożenia siły - P. Następnie możemy zapisać następujące wyrażenie matematyczne:
OP¯ F¯=M¯FO.
Gdzie OP¯ jest wektorem skierowanym od osi do końca dźwigni, jest on również nazywany dźwignią siły, F¯to wektor siły przyłożonej do punktu P, a M¯FO to moment siły wokół punktu O (osi). Ten wzór jest matematyczną definicją danej wielkości fizycznej.
Kierunek momentu i reguła prawej ręki
Powyższe wyrażenie jest iloczynem krzyżowym. Jak wiecie, jego wynikiem jest również wektor prostopadły do płaszczyzny przechodzącej przez odpowiednie wektory mnożnikowe. Warunek ten spełniają dwa kierunki wartości M¯FO (w dół i w górę).
Do wyjątkowodo ustalenia należy posłużyć się tzw. regułą prawej ręki. Można to sformułować w ten sposób: jeśli zginiesz cztery palce prawej ręki w półłuku i skierujesz ten półłuk tak, aby szedł wzdłuż pierwszego wektora (pierwszego czynnika we wzorze) i szedł do końca drugi, to kciuk wystający do góry wskaże kierunek momentu skręcania. Zauważ też, że przed użyciem tej reguły musisz ustawić pomnożone wektory tak, aby wychodziły z tego samego punktu (ich początki muszą się zgadzać).
W przypadku figury w poprzednim akapicie możemy powiedzieć, stosując zasadę prawej ręki, że moment siły względem osi będzie skierowany do góry, czyli do nas.
Oprócz zaznaczonej metody wyznaczania kierunku wektora M¯FO są jeszcze dwie. Oto one:
- Moment skręcania będzie skierowany w taki sposób, że patrząc na obracającą się dźwignię od końca jej wektora, ten ostatni porusza się w kierunku przeciwnym do zegara. Powszechnie przyjmuje się, że ten kierunek chwili jest pozytywny przy rozwiązywaniu różnego rodzaju problemów.
- Jeśli przekręcisz świder w prawo, moment obrotowy zostanie skierowany w kierunku ruchu (pogłębienia) świdra.
Wszystkie powyższe definicje są równoważne, więc każdy może wybrać tę, która jest dla niego wygodna.
Stwierdzono zatem, że kierunek momentu siły jest równoległy do osi, wokół której obraca się odpowiednia dźwignia.
Siła pod kątem
Rozważ zdjęcie poniżej.
Tutaj również widzimy dźwignię o długości L zamocowaną w punkcie (wskazanym przez strzałkę). Działa na nią siła F, jednak skierowana jest pod pewnym kątem Φ (phi) do dźwigni poziomej. Kierunek momentu M¯FO w tym przypadku będzie taki sam jak na poprzednim rysunku (na nas). Aby obliczyć wartość bezwzględną lub moduł tej ilości, musisz użyć właściwości krzyżowej. Według niego dla rozważanego przykładu można zapisać wyrażenie: MFO=LFsin(180 o -Φ) lub używając właściwości sinus przepisujemy:
MFO=LFsin(Φ).
Rysunek przedstawia również wypełniony trójkąt prostokątny, którego boki to sama dźwignia (przeciwprostokątna), linia działania siły (noga) i bok długości d (druga noga). Biorąc pod uwagę, że sin(Φ)=d/L, wzór ten przyjmie postać: MFO=dF. Widać, że odległość d jest odległością od punktu zaczepienia dźwigni do linii działania siły, czyli d jest dźwignią siły.
Oba formuły rozważane w tym akapicie, które wynikają bezpośrednio z definicji momentu skręcania, są przydatne w rozwiązywaniu praktycznych problemów.
Jednostki momentu obrotowego
Korzystając z definicji można ustalić, że wartość MFOpowinna być mierzona w niutonach na metr (Nm). Rzeczywiście, w postaci tych jednostek, jest używany w SI.
Zauważ, że Nm to jednostka pracy wyrażona w dżulach, podobnie jak energia. Niemniej jednak dżule nie są używane dla pojęcia momentu siły, ponieważ wartość ta odzwierciedla dokładnie możliwość realizacji tego ostatniego. Istnieje jednak związek z jednostką pracy: jeżeli w wyniku działania siły F dźwignia zostanie całkowicie obrócona wokół punktu obrotu O, to wykonana praca będzie równa A=MF O 2pi (2pi to kąt w radianach odpowiadający 360o). W tym przypadku jednostkę momentu obrotowego MFO można wyrazić w dżulach na radian (J/rad). Ten ostatni, wraz z Hm, jest również używany w układzie SI.
Twierdzenie Varignona
Pod koniec XVII wieku francuski matematyk Pierre Varignon, badając równowagę systemów z dźwigniami, jako pierwszy sformułował twierdzenie, które teraz nosi jego nazwisko. Jest on sformułowany w następujący sposób: całkowity moment kilku sił jest równy momentowi powstałej jednej siły, która jest przyłożona do pewnego punktu względem tej samej osi obrotu. Matematycznie można to zapisać w następujący sposób:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
To twierdzenie jest wygodne w użyciu do obliczania momentów skręcających w układach z wieloma siłami działającymi.
Następnie podajemy przykład wykorzystania powyższych wzorów do rozwiązywania problemów z fizyki.
Problem z kluczem
Jeden zUderzającym przykładem zademonstrowania wagi uwzględnienia momentu siły jest proces odkręcania nakrętek kluczem. Aby odkręcić nakrętkę, należy zastosować pewien moment obrotowy. Należy obliczyć, jaka siła powinna być przyłożona w punkcie A, aby rozpocząć odkręcanie nakrętki, jeśli siła w punkcie B wynosi 300 N (patrz rysunek poniżej).
Z powyższego rysunku wynikają dwie ważne rzeczy: po pierwsze, odległość OB jest dwa razy większa niż OA; po drugie, siły FA i FBsą skierowane prostopadle do odpowiedniej dźwigni z osią obrotu pokrywającą się ze środkiem nakrętki (punkt O).
Moment momentu obrotowego dla tego przypadku można zapisać w postaci skalarnej w następujący sposób: M=OBFB=OAFA. Ponieważ OB/OA=2, ta równość będzie obowiązywać tylko wtedy, gdy FA jest 2 razy większe niż FB. Z warunku problemu otrzymujemy, że FA=2300=600 N. Czyli im dłuższy klucz, tym łatwiej odkręcić nakrętkę.
Problem z dwiema kulami o różnych masach
Poniższy rysunek przedstawia system, który jest w równowadze. Konieczne jest znalezienie pozycji punktu podparcia, jeśli długość deski wynosi 3 metry.
Ponieważ układ jest w równowadze, suma momentów wszystkich sił jest równa zeru. Na płytę działają trzy siły (ciężar dwóch kulek i siła reakcji podpory). Ponieważ siła podporowa nie wytwarza momentu skręcającego (długość dźwigni wynosi zero), istnieją tylko dwa momenty spowodowane ciężarem kulek.
Niech punkt równowagi będzie w odległości x odkrawędź zawierająca 100 kg kulkę. Następnie możemy zapisać równość: M1-M2=0. Ponieważ ciężar ciała określa wzór mg, wtedy mamy: m 1gx - m2g(3-x)=0. Zmniejszamy g i podstawiamy dane, otrzymujemy: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m lub 14,3 cm.
Dlatego, aby system był w równowadze, konieczne jest ustalenie punktu odniesienia w odległości 14,3 cm od krawędzi, na której będzie leżała kula o masie 100 kg.
