Tak niesamowity i znajomy kwadrat. Jest symetryczna względem środka i osi narysowanych wzdłuż przekątnych i przez środki boków. A szukanie obszaru kwadratu lub jego objętości wcale nie jest trudne. Zwłaszcza jeśli znana jest długość jego boku.
Kilka słów o figurze i jej właściwościach
Pierwsze dwie właściwości są powiązane z definicją. Wszystkie boki figury są sobie równe. W końcu kwadrat jest regularnym czworobokiem. Ponadto musi mieć równe wszystkie boki, a kąty mają tę samą wartość, czyli 90 stopni. To jest druga właściwość.
Trzecia jest związana z długością przekątnych. Okazuje się również, że są sobie równe. Ponadto przecinają się pod kątem prostym i w punktach środkowych.
Formuła wykorzystująca tylko długość boku
Po pierwsze, o zapisie. Dla długości boku zwyczajowo wybiera się literę „a”. Następnie powierzchnia kwadratu jest obliczana według wzoru: S=a2.
Łatwo go uzyskać od tego znanego z prostokąta. W nim mnoży się długość i szerokość. Dla kwadratu te dwa elementy są równe. Dlatego w formulepojawi się kwadrat tej jednej wartości.
Wzór, w którym pojawia się długość przekątnej
Jest to przeciwprostokątna w trójkącie, której nogi są bokami figury. Dlatego możesz użyć wzoru z twierdzenia Pitagorasa i wyprowadzić równość, w której bok jest wyrażony przez przekątną.
Po takich prostych przekształceniach otrzymujemy, że powierzchnia kwadratu na przekątnej jest obliczana według następującego wzoru:
S=d2 / 2. Tutaj litera d oznacza przekątną kwadratu.
Wzór obwodu
W takiej sytuacji konieczne jest wyrażenie boku przez obwód i zastąpienie go wzorem pola. Ponieważ figura ma cztery identyczne boki, obwód będzie musiał zostać podzielony przez 4. Będzie to wartość boku, którą można następnie podstawić do początkowej i obliczyć pole kwadratu.
Ogólny wzór wygląda tak: S=(Р/4)2.
Problemy z obliczeniami
1. Jest kwadrat. Suma jego dwóch boków wynosi 12 cm. Oblicz powierzchnię kwadratu i jego obwód.
Decyzja. Ponieważ podana jest suma dwóch boków, musimy znaleźć długość jednego. Ponieważ są takie same, znaną liczbę wystarczy podzielić przez dwa. Oznacza to, że bok tej figury ma 6 cm.
Wtedy jego obwód i powierzchnię można łatwo obliczyć przy użyciu powyższych wzorów. Pierwsza ma 24 cm, a druga 36 cm2.
Odpowiedź. Obwód kwadratu wynosi 24 cm, a jego powierzchnia 36 cm2.
2. Znajdź obszar kwadratu o obwodzie 32 mm.
Decyzja. Wystarczy w powyższym wzorze podstawić wartość obwodu. Chociaż najpierw możesz poznać bok placu, a dopiero potem jego obszar.
W obu przypadkach działania będą najpierw obejmować dzielenie, a następnie potęgowanie. Proste obliczenia prowadzą do tego, że powierzchnia reprezentowanego kwadratu wynosi 64 mm2.
Odpowiedź. Żądany obszar to 64 mm2.
3. Bok kwadratu ma 4 dm. Rozmiary prostokątów: 2 i 6 dm. Która z dwóch postaci ma większą powierzchnię? Ile?
Decyzja. Niech bok kwadratu będzie oznaczony literą a1, następnie długość i szerokość prostokąta to a2 i 2 . Aby określić pole kwadratu, wartość a1 należy podnosić do kwadratu, a wartość prostokąta należy pomnożyć przez a2i 2 . To proste.
Okazuje się, że powierzchnia kwadratu to 16 dm2, a prostokąta to 12 dm2. Oczywiście pierwsza cyfra jest większa od drugiej. Dzieje się tak pomimo faktu, że są równe, to znaczy mają ten sam obwód. Aby to sprawdzić, możesz policzyć obwody. Na kwadracie bok należy pomnożyć przez 4, otrzymasz 16 dm. Dodaj boki prostokąta i pomnóż przez 2. Będzie to ta sama liczba.
W zadaniu musisz również odpowiedzieć, jak bardzo różnią się obszary. Aby to zrobić, odejmij mniejszą liczbę od większej. Różnica okazuje się wynosić 4 dm2.
Odpowiedź. Obszary to 16 dm2 i 12 dm2. Kwadrat ma 4 dm więcej2.
Problem z dowodem
Warunek. Na odnodze trójkąta równoramiennego zbudowany jest kwadrat. Do przeciwprostokątnej budowana jest wysokość, na której budowany jest kolejny kwadrat. Udowodnij, że powierzchnia pierwszego jest dwa razy większa od drugiego.
Decyzja. Wprowadźmy notację. Niech noga będzie równa a, a wysokość narysowana do przeciwprostokątnej będzie równa x. Obszar pierwszego kwadratu to S1, drugi kwadrat to S2.
Powierzchnia kwadratu zbudowanego na nodze jest łatwa do obliczenia. Okazuje się, że jest równy a2. Z drugą wartością sprawy nie są takie proste.
Najpierw musisz określić długość przeciwprostokątnej. W tym celu przydatna jest formuła twierdzenia Pitagorasa. Proste przekształcenia prowadzą do tego wyrażenia: a√2.
Ponieważ wysokość w trójkącie równoramiennym narysowanym do podstawy jest również medianą i wysokością, dzieli duży trójkąt na dwa równe równoramienne trójkąty prostokątne. Dlatego wysokość to połowa przeciwprostokątnej. To znaczy x \u003d (a √ 2) / 2. Stąd łatwo jest znaleźć obszar S2. Okazuje się, że jest równy a2/2.
Oczywiście zarejestrowane wartości różnią się dokładnie dwa razy. A drugi to znacznie mniej. Zgodnie z wymaganiami do udowodnienia.
Niezwykła łamigłówka - tangram
Jest zrobiony z kwadratu. Musi być pocięty na różne kształty zgodnie z określonymi zasadami. Suma części powinna wynosić 7.
Zasady zakładają, że podczas gry zostaną wykorzystane wszystkie powstałe części. Spośród nich musisz wykonać inne kształty geometryczne. Na przykład,prostokąt, trapez lub równoległobok.
Ale jest jeszcze ciekawiej, gdy kawałki zamieniają się w sylwetki zwierząt lub przedmiotów. Ponadto okazuje się, że powierzchnia wszystkich figur pochodnych jest równa powierzchni kwadratu początkowego.
