Samolot w kosmosie. Lokalizacja samolotów w kosmosie

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Płaszczyzna to obiekt geometryczny, którego właściwości są wykorzystywane przy konstruowaniu rzutów punktów i prostych, a także przy obliczaniu odległości i kątów dwuściennych między elementami figur trójwymiarowych. Zastanówmy się w tym artykule, jakich równań można użyć do badania położenia płaszczyzn w przestrzeni.

Definicja samolotu

Każdy intuicyjnie wyobraża sobie, jaki przedmiot będzie omawiany. Z geometrycznego punktu widzenia płaszczyzna jest zbiorem punktów, pomiędzy którymi dowolne wektory muszą być prostopadłe do jakiegoś jednego wektora. Na przykład, jeśli w przestrzeni jest m różnych punktów, można z nich utworzyć m(m-1) / 2 różne wektory, łącząc punkty parami. Jeżeli wszystkie wektory są prostopadłe do jednego kierunku, to jest to wystarczający warunek, aby wszystkie punkty m należeć do tej samej płaszczyzny.

Równanie ogólne

W geometrii przestrzennej płaszczyzna jest opisana za pomocą równań, które zazwyczaj zawierają trzy nieznane współrzędne odpowiadające osiom x, y i z. W celupobierz równanie ogólne we współrzędnych płaszczyzny w przestrzeni, załóżmy, że istnieje wektor n¯(A; B; C) i punkt M(x₀; y₀; z_{0). Korzystając z tych dwóch obiektów, można jednoznacznie zdefiniować płaszczyznę.}

Załóżmy, że istnieje drugi punkt P(x; y; z), którego współrzędne są nieznane. Zgodnie z podaną powyżej definicją wektor MP¯ musi być prostopadły do n¯, to znaczy iloczyn skalarny dla nich jest równy zero. Następnie możemy napisać następujące wyrażenie:

(n¯MP¯)=0 lub

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Otwarcie nawiasów i wprowadzenie nowego współczynnika D, otrzymamy wyrażenie:

Ax + By + Cz + D=0 gdzie D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

To wyrażenie nazywa się ogólnym równaniem płaszczyzny. Należy pamiętać, że współczynniki przed x, y i z tworzą współrzędne wektora n¯(A; B; C) prostopadłego do płaszczyzny. Zbiega się z normalnym i jest przewodnikiem dla samolotu. Aby określić ogólne równanie, nie ma znaczenia, dokąd ten wektor jest skierowany. Oznacza to, że płaszczyzny zbudowane na wektorach n¯ i -n¯ będą takie same.

Powyższy rysunek przedstawia płaszczyznę, wektor normalny do niej oraz linię prostopadłą do płaszczyzny.

Segmenty odcięte przez płaszczyznę na osiach i odpowiadające równanie

Ogólne równanie pozwala za pomocą prostych operacji matematycznych określić, ww których punktach płaszczyzna przetnie osie współrzędnych. Ważne jest, aby znać te informacje, aby mieć wyobrażenie o położeniu samolotu w przestrzeni, a także podczas przedstawiania go na rysunkach.

Aby określić nazwane punkty przecięcia, używane jest równanie w segmentach. Nazywa się to tak, ponieważ wprost zawiera wartości długości odcinków odciętych przez płaszczyznę na osiach współrzędnych, licząc od punktu (0; 0; 0). Zróbmy to równanie.

Napisz wyrażenie ogólne dla samolotu w następujący sposób:

Ax + By + Cz=-D

Lewą i prawą część można podzielić przez -D bez naruszania równości. Mamy:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 lub

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Zaprojektuj mianowniki każdego terminu za pomocą nowego symbolu, otrzymamy:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C to

x/p + y/q + z/r=1

To jest równanie wymienione powyżej w segmentach. Wynika z tego, że wartość mianownika każdego wyrazu wskazuje współrzędną przecięcia z odpowiednią osią płaszczyzny. Na przykład przecina oś y w punkcie (0; q; 0). Łatwo to zrozumieć, jeśli w równaniu zastąpisz zerowe współrzędne x i z.

Zauważ, że jeśli w równaniu nie ma zmiennej w segmentach, oznacza to, że płaszczyzna nie przecina odpowiedniej osi. Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie:

x/p + y/q=1

Oznacza to, że płaszczyzna odetnie segmenty p i q odpowiednio na osiach x i y, ale będzie równoległa do osi z.

Wniosek na temat zachowania samolotu, gdybrak jakiejś zmiennej w jej równaniu jest również prawdziwy dla wyrażenia ogólnego typu, jak pokazano na poniższym rysunku.

Wektorowe równanie parametryczne

Istnieje trzeci rodzaj równania, które pozwala opisać płaszczyznę w przestrzeni. Nazywa się to wektorem parametrycznym, ponieważ wyznaczają go dwa wektory leżące w płaszczyźnie i dwa parametry, które mogą przyjmować dowolne, niezależne wartości. Pokażmy, jak można uzyskać to równanie.

Załóżmy, że istnieje kilka znanych wektorów u ¯(a₁; b₁; c₁) i v¯(a₂; b₂; c₂). Jeśli nie są równoległe, można ich użyć do ustawienia określonej płaszczyzny, ustalając początek jednego z tych wektorów w znanym punkcie M(x₀; y₀; z_{0). Jeżeli dowolny wektor MP¯ można przedstawić jako kombinację wektorów liniowych u¯ i v¯, to oznacza to, że punkt P(x; y; z) należy do tej samej płaszczyzny co u¯, v¯. W ten sposób możemy napisać równość:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Albo zapisując tę równość w kategoriach współrzędnych, otrzymujemy:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Prezentowana równość jest parametrycznym równaniem wektorowym dla płaszczyzny. Wprzestrzeń wektorów na płaszczyźnie u¯ i v¯ nazywamy generatorami.

Następnie, podczas rozwiązywania problemu, zostanie pokazane, jak to równanie można sprowadzić do postaci ogólnej dla płaszczyzny.

Kąt między płaszczyznami w przestrzeni

Intuicyjnie, płaszczyzny w przestrzeni 3D mogą się przecinać lub nie. W pierwszym przypadku interesujące jest znalezienie kąta między nimi. Obliczenie tego kąta jest trudniejsze niż kąta między liniami, ponieważ mówimy o dwuściennym obiekcie geometrycznym. Z pomocą przychodzi jednak wspomniany już wektor prowadzący dla samolotu.

Ustalono geometrycznie, że dwuścienny kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami jest dokładnie równy kątowi między ich wektorami prowadzącymi. Oznaczmy te wektory jako n₁¯(a₁; b₁; c_{1) i n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Cosinus kąta między nimi jest wyznaczany z iloczynu skalarnego. Oznacza to, że sam kąt w przestrzeni między płaszczyznami można obliczyć ze wzoru:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Tutaj moduł w mianowniku jest używany do odrzucenia wartości kąta rozwartego (między przecinającymi się płaszczyznami jest zawsze mniejszy lub równy 90o).

W postaci współrzędnych wyrażenie to można przepisać w następujący sposób:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Płaszczyzny prostopadłe i równoległe

Jeżeli płaszczyzny przecinają się i utworzony przez nie kąt dwuścienny wynosi 90o, to będą one prostopadłe. Przykładem takich płaszczyzn jest prostopadłościan lub sześcian. Te figury tworzą sześć płaszczyzn. Na każdym wierzchołku nazwanych figur znajdują się trzy płaszczyzny prostopadłe do siebie.

Aby dowiedzieć się, czy rozważane płaszczyzny są prostopadłe, wystarczy obliczyć iloczyn skalarny ich wektorów normalnych. Warunkiem wystarczającym prostopadłości w przestrzeni płaszczyzn jest zerowa wartość tego iloczynu.

Parallel nazywane są nieprzecinającymi się płaszczyznami. Czasami mówi się również, że równoległe płaszczyzny przecinają się w nieskończoności. Warunek równoległości w przestrzeni płaszczyzn pokrywa się z warunkiem dla wektorów kierunkowych n₁¯ i n_{2¯. Możesz to sprawdzić na dwa sposoby:}

Oblicz cosinus kąta dwuściennego (cos(φ)) używając iloczynu skalarnego. Jeśli płaszczyzny są równoległe, wartość wyniesie 1.

Spróbuj przedstawić jeden wektor przez drugi przez pomnożenie przez pewną liczbę, np. n₁¯=kn_{2¯. Jeśli można to zrobić, odpowiednie samoloty sąrównolegle.}

Rysunek przedstawia dwie równoległe płaszczyzny.

Teraz podajmy przykłady rozwiązania dwóch interesujących problemów z wykorzystaniem zdobytej wiedzy matematycznej.

Jak uzyskać ogólną postać z równania wektorowego?

To jest parametryczne wyrażenie wektorowe dla płaszczyzny. Aby ułatwić zrozumienie przebiegu operacji i stosowanych sztuczek matematycznych, rozważ konkretny przykład:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Rozwiń to wyrażenie i wyraż nieznane parametry:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Wtedy:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Otwarcie nawiasów w ostatnim wyrażeniu, otrzymamy:

z=2x-2 + 3y - 6 lub

2x + 3y - z - 8=0

Uzyskaliśmy ogólną postać równania dla płaszczyzny określonej w opisie problemu w postaci wektorowej

Jak zbudować samolot z trzech punktów?

Możliwe jest narysowanie pojedynczej płaszczyzny przez trzy punkty, jeśli te punkty nie należą do pojedynczej linii prostej. Algorytm rozwiązania tego problemu składa się z następującej sekwencji działań: