Metoda aksjomatyczna to sposób konstruowania teorii naukowych, które są już ustalone. Opiera się na argumentach, faktach, stwierdzeniach, które nie wymagają dowodu ani obalenia. W rzeczywistości ta wersja wiedzy jest przedstawiona w postaci struktury dedukcyjnej, która początkowo zawiera logiczne uzasadnienie treści z podstaw – aksjomaty.
Ta metoda nie może być odkryciem, a jedynie klasyfikującą koncepcją. Jest bardziej odpowiedni do nauczania. Podstawa zawiera wstępne postanowienia, a reszta informacji wynika z logicznej konsekwencji. Gdzie jest aksjomatyczna metoda konstruowania teorii? Leży u podstaw większości nowoczesnych i uznanych nauk.
Tworzenie i rozwój koncepcji metody aksjomatycznej, definicja słowa
Po pierwsze, koncepcja ta powstała w starożytnej Grecji dzięki Euklidesowi. Stał się twórcą metody aksjomatycznej w geometrii. Dziś jest powszechny we wszystkich naukach, ale przede wszystkim w matematyce. Metoda ta powstaje na podstawie ustalonych stwierdzeń, a kolejne teorie wyprowadzane są na podstawie konstrukcji logicznej.
Wyjaśniono to w następujący sposób: istnieją słowa i pojęcia, którezdefiniowane innymi terminami. W rezultacie badacze doszli do wniosku, że istnieją elementarne wnioski, które są uzasadnione i stałe - podstawowe, czyli aksjomaty. Na przykład, udowadniając twierdzenie, zwykle opierają się na faktach, które są już dobrze ugruntowane i nie wymagają obalenia.
Jednak wcześniej trzeba było je uzasadnić. W tym procesie okazuje się, że nieuzasadnione stwierdzenie jest traktowane jako aksjomat. Na podstawie zbioru stałych pojęć udowadnia się inne twierdzenia. Stanowią podstawę planimetrii i są logiczną strukturą geometrii. Ustalone aksjomaty w tej nauce są definiowane jako obiekty dowolnej natury. One z kolei mają właściwości określone w stałych pojęciach.
Dalsze badanie aksjomatów
Metodę uważano za idealną aż do XIX wieku. Logiczne sposoby poszukiwania podstawowych pojęć nie były w tamtych czasach badane, ale w systemie Euklidesa można zaobserwować strukturę uzyskiwania znaczących konsekwencji z metody aksjomatycznej. Badania naukowca pokazały pomysł, jak uzyskać kompletny system wiedzy geometrycznej oparty na ścieżce czysto dedukcyjnej. Zaoferowano im stosunkowo niewielką liczbę stwierdzonych aksjomatów, które są wyraźnie prawdziwe.
Zasługa starożytnych umysłów greckich
Euclid udowodnił wiele koncepcji, a niektóre z nich były uzasadnione. Jednak większość przypisuje te zasługi Pitagorasowi, Demokrytowi i Hipokratesowi. Ten ostatni opracował kompletny kurs geometrii. To prawda, później w Aleksandrii wyszłozbiór „Początek”, którego autorem był Euklides. Następnie zmieniono jej nazwę na „Elementarna geometria”. Po pewnym czasie zaczęli go krytykować z kilku powodów:
- wszystkie wartości zostały zbudowane tylko za pomocą linijki i cyrkla;
- geometria i arytmetyka zostały oddzielone i udowodnione prawidłowymi liczbami i pojęciami;
- aksjomaty, niektóre z nich, w szczególności postulat piąty, zostały zaproponowane do usunięcia z ogólnej listy.
W rezultacie geometria nieeuklidesowa pojawia się w XIX wieku, w którym nie ma obiektywnie prawdziwego postulatu. To działanie dało impuls do dalszego rozwoju układu geometrycznego. W ten sposób badacze matematyczni doszli do dedukcyjnych metod konstrukcji.
Rozwój wiedzy matematycznej w oparciu o aksjomaty
Kiedy zaczął się rozwijać nowy system geometrii, zmieniła się również metoda aksjomatyczna. W matematyce coraz częściej zaczęto zwracać się ku konstrukcji teorii czysto dedukcyjnej. W rezultacie we współczesnej logice numerycznej, która jest główną sekcją całej nauki, powstał cały system dowodów. W strukturze matematycznej zaczęto rozumieć potrzebę uzasadnienia.
W ten sposób pod koniec stulecia powstały jasne zadania i konstruowanie złożonych pojęć, które ze złożonego twierdzenia zostały zredukowane do najprostszego logicznego stwierdzenia. Geometria nieeuklidesowa stworzyła zatem solidne podstawy do dalszego istnienia metody aksjomatycznej, a także do rozwiązywania problemów natury ogólnej.konstrukcje matematyczne:
- spójność;
- pełnia;
- niezależność.
W trakcie tego procesu pojawiła się i została pomyślnie opracowana metoda interpretacji. Metoda ta jest opisana w następujący sposób: dla każdej koncepcji wyjścia w teorii ustalany jest obiekt matematyczny, którego całość nazywa się polem. Oświadczenie o określonych elementach może być fałszywe lub prawdziwe. W efekcie stwierdzenia są nazwane w zależności od wniosków.
Cechy teorii interpretacji
Z reguły pole i właściwości są również uwzględniane w systemie matematycznym, a to z kolei może stać się aksjomatyczne. Interpretacja dowodzi stwierdzeń, w których istnieje względna spójność. Dodatkową opcją jest szereg faktów, w których teoria staje się sprzeczna.
W niektórych przypadkach warunek jest spełniony. W rezultacie okazuje się, że jeśli w stwierdzeniach jednego ze stwierdzeń występują dwa fałszywe lub prawdziwe pojęcia, to jest ono uważane za negatywne lub pozytywne. Metoda ta została wykorzystana do udowodnienia spójności geometrii Euklidesa. Stosując metodę interpretacyjną można rozwiązać kwestię niezależności systemów aksjomatów. Jeśli trzeba obalić jakąkolwiek teorię, wystarczy udowodnić, że jedno z pojęć nie jest wyprowadzone z drugiego i jest błędne.
Jednak oprócz udanych stwierdzeń metoda ma również słabe punkty. Spójność i niezależność systemów aksjomatów są rozwiązywane jako pytania, których wyniki są względne. Jedynym ważnym osiągnięciem interpretacji jest:odkrycie roli arytmetyki jako struktury, w której kwestia spójności zostaje zredukowana do szeregu innych nauk.
Współczesny rozwój matematyki aksjomatycznej
Metoda aksjomatyczna zaczęła się rozwijać w pracach Gilberta. W jego szkole doprecyzowano samo pojęcie teorii i systemu formalnego. W rezultacie powstał ogólny system, a obiekty matematyczne stały się precyzyjne. Ponadto stało się możliwe rozwiązanie kwestii uzasadnienia. Tak więc system formalny jest tworzony przez dokładną klasę, która zawiera podsystemy formuł i twierdzeń.
Aby zbudować tę strukturę, wystarczy kierować się wygodą techniczną, ponieważ nie mają one obciążenia semantycznego. Można je opisywać znakami, symbolami. Oznacza to, że w rzeczywistości sam system jest zbudowany w taki sposób, aby teoria formalna mogła być odpowiednio i w pełni zastosowana.
W rezultacie do teorii opartej na faktach lub rozumowaniu dedukcyjnym wlewa się określony cel lub zadanie matematyczne. Język nauk numerycznych zostaje przeniesiony do systemu formalnego, przy czym każde konkretne i sensowne wyrażenie jest określane przez formułę.
Metoda formalizacji
W naturalnym stanie rzeczy taka metoda będzie w stanie rozwiązać takie globalne problemy jak spójność, a także zbudować pozytywną esencję teorii matematycznych według wyprowadzonych wzorów. I w zasadzie wszystko to rozwiąże formalny system oparty na sprawdzonych twierdzeniach. Teorie matematyczne były nieustannie komplikowane przez uzasadnienia iGilbert zaproponował zbadanie tej struktury metodami skończonymi. Ale ten program się nie powiódł. Wyniki Gödla już w XX wieku doprowadziły do następujących wniosków:
- naturalna spójność jest niemożliwa ze względu na fakt, że sformalizowana arytmetyka lub inna podobna nauka z tego systemu będzie niekompletna;
- pojawiły się formuły nierozwiązywalne;
- roszczenia są nie do udowodnienia.
Prawdziwe osądy i rozsądne skończone wykończenie są uważane za możliwe do sformalizowania. Mając to na uwadze, metoda aksjomatyczna ma pewne i jasne granice i możliwości w ramach tej teorii.
Wyniki rozwoju aksjomatów w pracach matematyków
Pomimo tego, że niektóre sądy zostały obalone i nie zostały odpowiednio rozwinięte, metoda stałych pojęć odgrywa znaczącą rolę w kształtowaniu podstaw matematyki. Ponadto interpretacja i metoda aksjomatyczna w nauce ujawniły fundamentalne wyniki spójności, niezależności stwierdzeń wyboru i hipotez w teorii wielorakiej.
W rozwiązywaniu problemu spójności najważniejsze jest stosowanie nie tylko ustalonych koncepcji. Trzeba je również uzupełnić pomysłami, koncepcjami i środkami skończonego wykończenia. W tym przypadku rozważane są różne poglądy, metody, teorie, które powinny uwzględniać logiczne znaczenie i uzasadnienie.
Spójność systemu formalnego wskazuje na podobne zakończenie arytmetyki, które opiera się na indukcji, liczeniu, liczbie nadskończonej. W dziedzinie naukowej najważniejsza jest aksjomatyzacjanarzędzie, które ma niepodważalne koncepcje i stwierdzenia, które są traktowane jako podstawa.
Istota wstępnych stwierdzeń i ich rola w teoriach
Ocena metody aksjomatycznej wskazuje, że pewna struktura tkwi w jej istocie. System ten jest zbudowany z identyfikacji podstawowej koncepcji i podstawowych stwierdzeń, które są niezdefiniowane. To samo dzieje się z twierdzeniami, które są uważane za oryginalne i są akceptowane bez dowodu. W naukach przyrodniczych takie stwierdzenia są poparte regułami, założeniami, prawami.
Następuje proces utrwalania ustalonych podstaw rozumowania. Z reguły natychmiast wskazuje się, że z jednej pozycji wyprowadza się inną, a w trakcie wychodzą pozostałe, które w istocie pokrywają się z metodą dedukcyjną.
Cechy systemu w czasach współczesnych
System aksjomatyczny obejmuje:
- logiczne wnioski;
- terminy i definicje;
- częściowo niepoprawne stwierdzenia i koncepcje.
We współczesnej nauce ta metoda straciła swoją abstrakcyjność. Aksjomatyzacja geometrii euklidesowej opierała się na twierdzeniach intuicyjnych i prawdziwych. A teoria została zinterpretowana w wyjątkowy, naturalny sposób. Dziś aksjomat jest postanowieniem samym w sobie oczywistym, a umowa, jakakolwiek umowa, może pełnić rolę początkowej koncepcji, która nie wymaga uzasadnienia. W rezultacie oryginalne wartości mogą być dalekie od opisowego. Ta metoda wymaga kreatywności, znajomości relacji i leżącej u ich podstaw teorii.
Podstawowe zasady wyciągania wniosków
Metoda aksjomatyczna dedukcyjnie to wiedza naukowa, zbudowana według pewnego schematu, który opiera się na poprawnie zrealizowanych hipotezach, wyprowadzających twierdzenia o faktach empirycznych. Taki wniosek budowany jest na podstawie struktur logicznych, poprzez twarde wyprowadzenie. Aksjomaty są początkowo niepodważalnymi stwierdzeniami, które nie wymagają dowodu.
Podczas odliczenia pewne wymagania są stosowane do początkowych pojęć: spójność, kompletność, niezależność. Jak pokazuje praktyka, pierwszy warunek opiera się na formalnej wiedzy logicznej. Oznacza to, że teoria nie powinna mieć znaczeń prawdy i fałszu, ponieważ nie będzie już miała znaczenia i wartości.
Jeżeli ten warunek nie jest spełniony, jest on uważany za niekompatybilny i traci się w nim jakiekolwiek znaczenie, ponieważ traci się ładunek semantyczny między prawdą a fałszem. Dedukcyjnie metoda aksjomatyczna jest sposobem konstruowania i uzasadniania wiedzy naukowej.
Praktyczne zastosowanie metody
Aksjomatyczna metoda konstruowania wiedzy naukowej ma praktyczne zastosowanie. W rzeczywistości w ten sposób wpływa i ma globalne znaczenie dla matematyki, chociaż wiedza ta osiągnęła już swój szczyt. Przykłady metody aksjomatycznej są następujące:
- płaszczyzny afiniczne mają trzy stwierdzenia i definicję;
- Teoria równoważności ma trzy dowody;
- relacje binarne są podzielone na system definicji, pojęć i dodatkowych ćwiczeń.
Jeśli chcesz sformułować pierwotne znaczenie, musisz znać naturę zestawów i elementów. W istocie metoda aksjomatyczna stanowiła podstawę różnych dziedzin nauki.
