Wpisany czworokąt w okrąg. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Podział matematyki na algebrę i geometrię utrudnia materiał edukacyjny. Pojawiają się nowe postacie i ich szczególne przypadki. Aby dobrze zrozumieć materiał, konieczne jest przestudiowanie pojęć, właściwości obiektów i powiązanych twierdzeń.

Pojęcia ogólne

Cworokąt oznacza figurę geometryczną. Składa się z 4 punktów. Co więcej, 3 z nich nie znajdują się na tej samej linii prostej. Istnieją segmenty łączące określone punkty szeregowo.

Wszystkie czworoboki studiowane na szkolnym kursie geometrii są pokazane na poniższym diagramie. Wniosek: dowolny obiekt z przedstawionego rysunku ma właściwości poprzedniego rysunku.

Cworokąt może być jednego z następujących typów:

Równoległobok. Równoległość jego przeciwnych stron dowodzą odpowiednie twierdzenia.
Trapez. Czworobok o równoległych podstawach. Pozostałe dwie strony nie są.
Prostokąt. Figura, która ma wszystkie 4 rogi=90º.
Romb. Postać o równych wszystkich bokach.
Kwadrat. Łączy właściwości dwóch ostatnich cyfr. Ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty są proste.

Główną definicją tego tematu jest czworokąt wpisany w okrąg. Składa się z następujących. To jest figura, wokół której opisany jest okrąg. Musi przejść przez wszystkie wierzchołki. Kąty wewnętrzne czworoboku wpisanego w okrąg sumują się do 360º.

Nie każdy czworobok można wpisać. Wynika to z faktu, że prostopadłe dwusieczne 4 boków nie mogą przecinać się w jednym punkcie. Uniemożliwi to znalezienie środka okręgu opisującego czterokąt.

Przypadki specjalne

Istnieją wyjątki od każdej reguły. Tak więc w tym temacie są też szczególne przypadki:

Równoległobok jako taki nie może być wpisany w okrąg. Tylko jego szczególny przypadek. To jest prostokąt.
Jeśli wszystkie wierzchołki rombu leżą na linii opisującej, to jest to kwadrat.
Wszystkie wierzchołki trapezu znajdują się na granicy koła. W tym przypadku mówią o figurze równoramiennej.

Właściwości czworoboku wpisanego w okrąg

Zanim rozwiążesz proste i złożone problemy na dany temat, musisz zweryfikować swoją wiedzę. Bez przestudiowania materiału edukacyjnego niemożliwe jest rozwiązanie pojedynczego przykładu.

Twierdzenie 1

Suma przeciwnych kątów czworokąta wpisanego w okrąg wynosi 180º.

Dowód

Dane: czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Jego środek to punkt O. Musimy udowodnić, że _<A + _<C=180º i _< B + _<D=180º.

Należy wziąć pod uwagę przedstawione liczby.

_{<A jest wpisane w okrąg o środku w punkcie O. Jest mierzone przez ½ BCD (pół łuku).}

_{<C jest wpisany w ten sam okrąg. Jest mierzony przez ½ BAD (półłuku).}
BAD i BCD tworzą cały okrąg, tj. ich wielkość wynosi 360º.

_<A + _{<C są równe połowie sumy reprezentowanych łuków połówkowych.}

Stąd _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

W podobny sposób dowód na _<B i _{<D. Istnieje jednak drugie rozwiązanie problemu.}

Wiadomo, że suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360º.

Ponieważ _<A + _<C=180º. Odpowiednio, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Twierdzenie 2

(Często nazywa się to odwrotnością) Jeśli w czworoboku _<A + _<C=180º i _{<B +} <_{D=180º (jeśli są przeciwne), to wokół takiej figury można opisać okrąg.}

Dowód

Podana jest suma przeciwnych kątów czworoboku ABCD równa 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Musimy udowodnić, że okrąg można zakreślić wokół ABCD.}

Z kursu geometrii wiadomo, że okrąg można narysować przez 3 punkty czworoboku. Na przykład możesz użyć punktów A, B, C. Gdzie będzie zlokalizowany punkt D? Są 3 domysły:

Ona kończy w kręgu. W takim przypadku D nie dotyka linii.
Poza kręgiem. Wychodzi daleko poza zarysowaną linię.
Okazuje się na kręgu.

Należy założyć, że D jest wewnątrz okręgu. Miejsce wskazanego wierzchołka zajmuje D´. Okazuje się, że czworokąt ABCD´.

Wynik to:_<B + _<D´=2d.

Jeżeli kontynuujemy AD´ do przecięcia z istniejącym okręgiem wyśrodkowanym w punkcie E i połączymy E i C, otrzymamy wpisany czworokąt ABCE. Z pierwszego twierdzenia wynika równość:

Zgodnie z prawami geometrii wyrażenie nie jest poprawne, ponieważ _<D´ jest zewnętrznym rogiem trójkąta CD´E. W związku z tym powinno być więcej niż _{<E. Z tego możemy wywnioskować, że D musi być albo na kole, albo poza nim.}

Podobnie, trzecie założenie może okazać się błędne, gdy D´´ wykracza poza granicę opisanej figury.

Z dwóch hipotez wynika jedyna poprawna. Wierzchołek D znajduje się na linii okręgu. Innymi słowy, D pokrywa się z E. Wynika z tego, że wszystkie punkty czworoboku znajdują się na opisanej linii.

Od tychdwa twierdzenia, z których następują następstwa:

Każdy prostokąt można wpisać w okrąg. Jest jeszcze jedna konsekwencja. Okrąg można zakreślić wokół dowolnego prostokąta

Trapez z równymi biodrami można wpisać w okrąg. Innymi słowy, brzmi to tak: koło można opisać wokół trapezu o równych krawędziach

Kilka przykładów

Problem 1. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Musisz znaleźć _{<ABD. Odpowiedź musi być napisana w stopniach.}

Decyzja. Na początku znalezienie odpowiedzi może wydawać się trudne.

1. Musisz zapamiętać właściwości z tego tematu. Mianowicie: suma przeciwnych kątów=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

W geometrii lepiej trzymać się zasady: znajdź wszystko, co możesz. Przydatne później.

2. Następny krok: użyj twierdzenia o sumie trójkątów.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD i _{<ACD są wpisane. Warunkowo polegają na jednym łuku. W związku z tym mają równe wartości:}

_<ABD=_<ACD=70º

Odpowiedź: _<ABD=70º.

Problem 2. BCDE to czworokąt wpisany w okrąg. _<B=69º, _<C=84º. Środek okręgu to punkt E. Znajdź - _<E.

Decyzja.

Musisz znaleźć _{<E według twierdzenia 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Odpowiedź: _{< E=96º.}

Problem 3. Podano czworobok wpisany w okrąg. Dane przedstawiono na rysunku. Konieczne jest znalezienie nieznanych wartości x, y, z.

Rozwiązanie:

z=180º – 93º=87º (według twierdzenia 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (według twierdzenia 1)

Odpowiedź: z=87º, x=82º, y=98º.

Problem 4. W okrąg wpisany jest czworobok. Wartości są pokazane na rysunku. Znajdź x, y.

Rozwiązanie:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Odpowiedź: x=100º, y=109º.

Problemy z niezależnym rozwiązaniem

Przykład 1. Dany krąg. Jego środek to punkt O. AC i BD to średnice. _<ACB=38º. Musisz znaleźć _{<AOD. Odpowiedź należy podać w stopniach.}

Przykład 2. Dany czworokąt ABCD i okrąg otoczony wokół niego. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Znajdź _{<CAD. Napisz swoją odpowiedź w stopniach.}

Przykład 3. Dany okrąg i wpisany czworokąt ABCD. Jego dwa kąty to 82º i58º. Musisz znaleźć największy z pozostałych kątów i zapisać odpowiedź w stopniach.

Przykład 4. Podano czworokątny ABCD. Kąty A, B, C podane są w stosunku 1:2:3. Konieczne jest znalezienie kąta D, jeśli określony czworokąt można wpisać w okrąg. Odpowiedź należy podać w stopniach.

Przykład 5. Podano czworokątny ABCD. Jego boki układają się w łuki koła opisanego. Wartości stopni AB, BC, CD i AD to odpowiednio: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Powinieneś znaleźć _{<z podanego czworoboku i zapisać odpowiedź w stopniach.}