Matematyka nie jest nudną nauką, jak się czasem wydaje. Ma w sobie wiele ciekawych, choć czasem niezrozumiałych dla tych, którzy nie chcą go zrozumieć. Dziś porozmawiamy o jednym z najczęstszych i najprostszych tematów w matematyce, a raczej jego obszarze, który znajduje się na pograniczu algebry i geometrii. Porozmawiajmy o liniach i ich równaniach. Wydawałoby się, że jest to nudny temat szkolny, który nie obiecuje niczego ciekawego i nowego. Tak jednak nie jest i w tym artykule postaramy się udowodnić Ci nasz punkt widzenia. Zanim przejdziemy do najciekawszego i opiszemy równanie prostej przez dwa punkty, zwrócimy się do historii wszystkich tych pomiarów, a następnie dowiemy się, dlaczego to wszystko było konieczne i dlaczego teraz znajomość poniższych wzorów nie będzie boli.
Historia
Nawet w czasach starożytnych matematycy lubili konstrukcje geometryczne i wszelkiego rodzaju wykresy. Trudno dziś powiedzieć, kto jako pierwszy wymyślił równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Ale można założyć, że tą osobą był Euklides -starożytny grecki naukowiec i filozof. To on w swoim traktacie „Początki” dał początek podstawom przyszłej geometrii euklidesowej. Teraz ta sekcja matematyki jest uważana za podstawę geometrycznej reprezentacji świata i jest nauczana w szkole. Ale warto powiedzieć, że geometria euklidesowa działa tylko na poziomie makro w naszym trójwymiarowym wymiarze. Jeśli weźmiemy pod uwagę przestrzeń, to nie zawsze można za jej pomocą wyobrazić sobie wszystkie zjawiska, które tam zachodzą.
Po Euklidzie byli inni naukowcy. I udoskonalili i zrozumieli to, co odkrył i napisał. W końcu okazał się stabilny obszar geometrii, w którym nadal wszystko pozostaje niewzruszone. Od tysięcy lat zostało udowodnione, że równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty jest bardzo łatwe i proste do złożenia. Ale zanim zaczniemy wyjaśniać, jak to zrobić, omówmy trochę teorii.
Teoria
Linia prosta to odcinek nieskończony w obu kierunkach, który można podzielić na nieskończoną liczbę odcinków o dowolnej długości. W celu przedstawienia linii prostej najczęściej używa się wykresów. Co więcej, wykresy mogą być zarówno w dwuwymiarowym, jak i trójwymiarowym układzie współrzędnych. I są zbudowane według współrzędnych należących do nich punktów. W końcu, jeśli weźmiemy pod uwagę linię prostą, widzimy, że składa się ona z nieskończonej liczby punktów.
Jednak jest coś, w czym linia prosta bardzo różni się od innych rodzajów linii. To jest jej równanie. Ogólnie rzecz biorąc, jest to bardzo proste, w przeciwieństwie do, powiedzmy, równania koła. Na pewno każdy z nas przeszedł przez to w szkole. Aleniemniej jednak zapiszmy jego ogólną postać: y=kx+b. W następnej sekcji przeanalizujemy szczegółowo, co oznacza każda z tych liter i jak rozwiązać to proste równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.
Równanie linii
Równość przedstawiona powyżej jest równaniem linii prostej, którego potrzebujemy. Warto wyjaśnić, o co tu chodzi. Jak można się domyślić, y i x to współrzędne każdego punktu na linii. Ogólnie rzecz biorąc, to równanie istnieje tylko dlatego, że każdy punkt dowolnej linii prostej ma tendencję do pozostawania w połączeniu z innymi punktami, a zatem istnieje prawo, które wiąże jedną współrzędną z drugą. To prawo określa, jak wygląda równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty.
Dlaczego dokładnie dwie kropki? Wszystko to dlatego, że minimalna liczba punktów potrzebnych do skonstruowania linii prostej w przestrzeni dwuwymiarowej wynosi dwa. Jeśli weźmiemy przestrzeń trójwymiarową, to liczba punktów potrzebnych do zbudowania jednej prostej również będzie równa dwóm, ponieważ trzy punkty już tworzą płaszczyznę.
Istnieje również twierdzenie dowodzące, że można narysować jedną prostą przez dowolne dwa punkty. Fakt ten można sprawdzić w praktyce, łącząc za pomocą linijki dwa losowe punkty na wykresie.
Teraz spójrzmy na konkretny przykład i pokażmy, jak rozwiązać to znane równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty.
Przykład
Rozważ dwa punkty przezktóre musisz zbudować linię prostą. Ustawmy ich współrzędne, na przykład M1(2;1) i M2(3;2). Jak wiemy z kursu szkolnego, pierwsza współrzędna to wartość na osi OX, druga to wartość na osi OY. Powyżej podano równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty i aby znaleźć brakujące parametry k i b, musimy ułożyć układ dwóch równań. W rzeczywistości będzie on składał się z dwóch równań, z których każde będzie zawierało nasze dwie nieznane stałe:
1=2k+b
2=3k+b
Teraz pozostaje najważniejsza rzecz: rozwiązać ten system. Odbywa się to po prostu. Najpierw wyrażmy b z pierwszego równania: b=1-2k. Teraz musimy wstawić powstałą równość do drugiego równania. Odbywa się to poprzez zastąpienie b otrzymaną równością:
2=3k+1-2k
1=k;
Teraz, gdy wiemy już, jaka jest wartość współczynnika k, nadszedł czas, aby poznać wartość następnej stałej - b. Jest to jeszcze łatwiejsze. Ponieważ znamy zależność b od k, możemy podstawić wartość tego ostatniego do pierwszego równania i znaleźć nieznaną wartość:
b=1-21=-1.
Znając oba współczynniki, możemy je teraz podstawić do pierwotnego ogólnego równania prostej przechodzącej przez dwa punkty. Zatem dla naszego przykładu otrzymujemy następujące równanie: y=x-1. To jest pożądana równość, którą musieliśmy uzyskać.
Zanim przejdziemy do podsumowania, omówmy zastosowanie tej sekcji matematyki w życiu codziennym.
Aplikacja
W związku z tym równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty nie znajduje zastosowania. Ale to nie znaczy, że go nie potrzebujemy. W fizyce i matematycebardzo aktywnie wykorzystywane są równania linii i wynikające z nich właściwości. Możesz nawet tego nie zauważyć, ale matematyka jest wszędzie wokół nas. I nawet tak pozornie nijakie tematy, jak równanie prostej przez dwa punkty, okazują się bardzo przydatne i bardzo często stosowane na podstawowym poziomie. Jeśli na pierwszy rzut oka wydaje się, że to nigdzie nie może się przydać, to się mylisz. Matematyka rozwija logiczne myślenie, które nigdy nie będzie zbyteczne.
Wniosek
Teraz, gdy zorientowaliśmy się, jak rysować linie z dwóch podanych punktów, łatwo jest nam odpowiedzieć na każde pytanie z tym związane. Na przykład, jeśli nauczyciel powie ci: „Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty”, to nie będzie ci to trudne. Mamy nadzieję, że ten artykuł okazał się pomocny.
