Paradoks teorii wyboru publicznego został po raz pierwszy opisany przez markiza Condorcet w 1785 roku, który w latach 50. ubiegłego wieku został z powodzeniem uogólniony przez amerykańskiego ekonomistę K. Arrowa. Twierdzenie Arrowa odpowiada na bardzo proste pytanie w teorii kolektywnych decyzji. Powiedzmy, że istnieje wiele możliwości wyboru w polityce, projektach publicznych lub dystrybucji dochodów i są ludzie, których preferencje decydują o tych wyborach.
Pytanie brzmi, jakie istnieją procedury jakościowego określania wyboru. I jak dowiedzieć się o preferencjach, o zbiorowym lub społecznym uporządkowaniu alternatyw, od najlepszych do najgorszych. Odpowiedź Arrowa na to pytanie zaskoczyła wielu.
Twierdzenie Arrowa mówi, że takich procedur w ogóle nie ma - w każdym razie nie odpowiadają one pewnym i całkiem rozsądnym preferencjom ludzi. Ramy techniczne Arrowa, w których nadał jasne znaczenie problemowi kontraktacji społecznej, oraz jego rygorystyczna odpowiedź są obecnie szeroko wykorzystywane do badania problemów ekonomii społecznej. Samo twierdzenie stanowiło podstawę współczesnej teorii wyboru publicznego.
Teoria wyboru publicznego
Twierdzenie Arrowa pokazuje, że jeśli wyborcy mają co najmniej trzy alternatywy, to nie ma systemu wyborczego, który mógłby przekształcić wybór jednostek w opinię publiczną.
Szokujące stwierdzenie wyszło od ekonomisty i laureata Nagrody Nobla Kennetha Josepha Arrowa, który zademonstrował ten paradoks w swojej pracy doktorskiej i spopularyzował go w swojej książce z 1951 r. Wybór społeczny i wartości indywidualne. Tytuł oryginalnego artykułu to „Trudności w koncepcji zabezpieczenia społecznego”.
Twierdzenie Arrowa mówi, że niemożliwe jest zaprojektowanie systemu wyborczego w porządku, który zawsze spełniałby sprawiedliwe kryteria:
- Gdy wyborca wybierze alternatywę X nad Y, społeczność wyborców będzie preferować X nad Y. Jeśli wybory każdego z wyborców X i Y pozostaną niezmienione, wówczas wybór społeczeństwa X i Y będzie tak samo, nawet jeśli wyborcy wybiorą inne pary X i Z, Y i Z lub Z i W.
- Nie ma "dyktatora wyboru", ponieważ jeden wyborca nie może wpływać na wybór grupy.
- Istniejące systemy wyborcze nie spełniają wymaganych wymagań, ponieważ dostarczają więcej informacji niż liczba porządkowa.
Państwowe systemy zarządzania społecznego
Chociaż amerykański ekonomista Kenneth Arrow otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii, praca była bardziej użyteczna dla rozwoju nauk społecznych, ponieważ „Twierdzenie o niemożliwości” Arrowa zapoczątkowało zupełnie nowy kierunek w ekonomii – wybór społeczny. Branża ta stara się matematycznie analizować podejmowanie wspólnych decyzji, w szczególności w zakresie publicznych systemów zarządzania społecznego.
Wybór to demokracja w działaniu. Ludzie chodzą do sondaży i wyrażają swoje preferencje, a ostatecznie preferencje wielu osób muszą się połączyć, aby podjąć wspólną decyzję. Dlatego wybór metody głosowania jest bardzo ważny. Ale czy naprawdę istnieje idealny głos? Zgodnie z wynikami teorii Arrowa, uzyskanymi w 1950 r., odpowiedź brzmi nie. Jeśli „idealny” oznacza preferencyjną metodę głosowania, która spełnia kryteria zdefiniowane przez rozsądne metody głosowania.
Preferowaną metodą głosowania jest ranking, w którym wyborcy oceniają wszystkich kandydatów zgodnie ze swoimi preferencjami, a wynikiem tych ocen jest: kolejna lista wszystkich kandydatów do przedłożenia zgodnie ze wspólną wolą ludzi. Zgodnie z twierdzeniem o niemożliwości Arrowa można określić rozsądną metodę głosowania:
- Brak dyktatorów (ND) - wynik nie zawsze musi odpowiadać ocenie jednej konkretnej osoby.
- Pareto Efficiency (PE) - jeśli każdy wyborca woli kandydata A od kandydata B, to wynik powinien wskazywaćkandydat A nad kandydatem B.
- Niezależność niezgodnych alternatyw (IIA) to względny wynik kandydatów A, B i nie powinien się zmieniać, jeśli wyborcy zmienią wynik innych kandydatów, ale nie zmienią ich względnych wyników A i B.
Zgodnie z twierdzeniem Arrowa okazuje się, że w przypadku wyborów z trzema lub więcej kryteriami nie ma funkcji wyboru społecznego, które byłyby jednocześnie odpowiednie dla ND, PE i IIA.
Racjonalny system selekcji
Potrzeba agregacji preferencji przejawia się w wielu obszarach ludzkiego życia:
- Ekonomia dobrobytu wykorzystuje metody mikroekonomiczne do pomiaru dobrobytu na zagregowanym poziomie ekonomicznym. Typowa metodologia zaczyna się od wyprowadzenia lub wywnioskowania funkcji dobrobytu, która może być następnie wykorzystana do uszeregowania ekonomicznie uzasadnionych alokacji zasobów pod kątem dobrobytu. W tym przypadku państwa próbują znaleźć ekonomicznie opłacalny i trwały wynik.
- W teorii decyzji, gdy osoba musi dokonać racjonalnego wyboru w oparciu o kilka kryteriów.
- W systemach wyborczych, które są mechanizmami znajdowania jednego rozwiązania spośród preferencji wielu wyborców.
W warunkach twierdzenia Arrowa rozróżniana jest kolejność preferencji dla danego zestawu parametrów (wyników). Każda jednostka w społeczeństwie lub każde kryterium decyzyjne przypisuje pewną kolejność preferencji w odniesieniu do zestawu wyników. Społeczeństwo szuka systemugłosowanie rankingowe, zwane funkcją dobrobytu.
Ta reguła agregacji preferencji przekształca ustawiony profil preferencji w jeden globalny porządek publiczny. Oświadczenie Arrowa stwierdza, że jeśli organ zarządzający ma co najmniej dwóch wyborców i trzy kryteria wyboru, niemożliwe jest stworzenie funkcji dobrobytu, która spełniałaby wszystkie te warunki jednocześnie.
Dla każdego zestawu indywidualnych preferencji wyborców funkcja opieki społecznej musi wykonać unikalny i kompleksowy wskaźnik selekcji publicznej:
- Należy to zrobić w taki sposób, aby wynikiem była pełna ocena preferencji odbiorców.
- Powinna deterministycznie dać ten sam wynik, gdy preferencje wyborców wydają się być takie same.
Niezależność od nieistotnych alternatyw (IIA)
Wybór między X i Y jest związany wyłącznie z preferencjami jednostki między X i Y - jest to niezależność w parach (niezależność parami), zgodnie z twierdzeniem Arrowa "Niemożliwość demokracji". Jednocześnie zmiana oceny przez osobę nieistotnych alternatyw znajdujących się poza takimi grupami nie wpływa na ocenę społeczną tego podzbioru. Na przykład zgłoszenie trzeciego kandydata w dwukandydatowych wyborach nie ma wpływu na wynik wyborów, chyba że trzeci kandydat wygra.
Społeczeństwo charakteryzuje się monotonią i pozytywną kombinacją wartości społecznych i indywidualnych. Jeśli dana osoba zmieni swoją kolejność preferencji, promując określoną opcję, to kolejnośćpreferencje społeczeństwa powinny odpowiadać tej samej opcji bez zmian. Osoba nie powinna być w stanie skrzywdzić opcji, wyceniając ją wyżej.
W twierdzeniu o niemożliwości skuteczność i sprawiedliwość w społeczeństwie są zapewnione dzięki suwerenności obywatela. Każdy możliwy społeczny porządek preferencji musi być osiągalny za pomocą pewnego zestawu indywidualnych porządków preferencji. Oznacza to, że funkcja dobrobytu jest surjektywna – ma nieograniczoną przestrzeń docelową. Późniejsza (1963) wersja twierdzenia Arrowa zastąpiła kryteria monotoniczności i braku nakładania się.
Pareto. Wydajność czy jednomyślność?
Jeśli każda osoba woli jedną opcję od innej, to kolejność preferencji społecznych również powinna to robić. Istotne jest, aby funkcja dobrobytu była minimalnie wrażliwa na profil preferencji. Ta nowsza wersja jest bardziej ogólna i ma nieco słabsze warunki. Aksjomaty jednolitości, brak nakładania się, wraz z IIA, oznaczają efektywność Pareto. Jednocześnie nie oznacza to nakładania się IIA i nie oznacza monotoniczności.
IIA ma trzy cele:
- Standard. Nieistotne alternatywy nie powinny mieć znaczenia.
- Praktyczne. Wykorzystanie minimalnych informacji.
- Strategiczne. Zapewnienie odpowiednich bodźców do prawdziwego rozpoznania indywidualnych preferencji. Chociaż cel strategiczny różni się koncepcyjnie od IIA, są one ze sobą ściśle powiązane.
Efektywność Pareto, nazwana na cześć włoskiego ekonomisty i politologa Vilfredo Pareto (1848-1923), jest używana w ekonomii neoklasycznej wraz z teoretyczną koncepcją doskonałej konkurencji jako punkt odniesienia do oceny efektywności rzeczywistych rynków. Należy zauważyć, że żaden z wyników nie jest osiągany poza teorią ekonomii. Hipotetycznie, gdyby istniała doskonała konkurencja, a zasoby byłyby wykorzystywane jak najefektywniej, to każdy miałby najwyższy standard życia, czyli efektywność Pareto.
W praktyce niemożliwe jest podjęcie jakichkolwiek działań społecznych, takich jak zmiana polityki gospodarczej, bez pogorszenia sytuacji przynajmniej jednej osoby, dlatego koncepcja poprawy Pareto znalazła szersze zastosowanie w ekonomii. Poprawa Pareto ma miejsce, gdy zmiana dystrybucji nikomu nie szkodzi i pomaga przynajmniej jednej osobie, biorąc pod uwagę początkową dystrybucję towarów do grupy osób. Teoria sugeruje, że ulepszenia Pareto będą nadal zwiększać wartość gospodarki, dopóki nie zostanie osiągnięta równowaga Pareto, kiedy nie można już dokonać żadnych ulepszeń.
Formalne stwierdzenie twierdzenia
Niech A będzie zbiorem wyników, N liczbą głosujących lub kryteriami decyzyjnymi. Oznacz zbiór wszystkich kompletnych uporządkowań liniowych od A do L (A). Ścisła funkcja zabezpieczenia społecznego (reguła agregacji preferencji) to funkcja, która agreguje preferencje wyborców w jednorazowym porządku preferencji wedługA.
N - krotka (R 1, …, R N) ∈ L (A) N preferencji wyborców nazywa się profilem preferencji. W swojej najsilniejszej i najprostszej formie twierdzenie Arrowa o niemożliwości mówi, że ilekroć zbiór możliwych alternatyw A ma więcej niż 2 elementy, następujące trzy warunki stają się niespójne:
- Jednomyślność lub słaba skuteczność Pareto. Jeśli alternatywa A plasuje się ściśle powyżej B dla wszystkich rzędów R 1, …, R N, to A plasuje się ściśle powyżej B na F (R 1, R 2, …, R N). Jednocześnie jednomyślność oznacza brak nakazu.
- Brak dyktatury. Nie ma indywidualnego „ja”, którego surowe preferencje zawsze przeważają. Oznacza to, że nie ma I ∈ {1, …, N }, które dla wszystkich (R 1, …, R N) ∈ L (A) N ranguje ściśle wyżej niż B od R. „I” jest ściśle wyższe niż B nad F (R 1, R 2, …, R N), dla wszystkich A i B.
- Niezależność od nieistotnych alternatyw. Dla dwóch profili preferencji (R 1, …, R N) i (S 1, …, S N) takich, że dla wszystkich indywiduów I, alternatywy A i B mają taką samą kolejność w R i jak w S i, alternatywy A i B mają ta sama kolejność w F (R 1, R 2, …, R N) jak w F (S 1, S2, …, S N).
Interpretacja twierdzenia
Chociaż twierdzenie o niemożliwości jest matematycznie udowodnione, często wyraża się je w sposób niematematyczny, ze stwierdzeniem, że żadna metoda głosowania nie jest sprawiedliwa, każda metoda głosowania rankingowego ma wady lub jedyną metodą głosowania, która nie jest zła jest dyktatura. Te stwierdzenia są uproszczeniemWynik Arrowa, który nie zawsze jest uważany za prawidłowy. Twierdzenie Arrowa mówi, że deterministyczny preferencyjny mechanizm głosowania, tj. taki, w którym kolejność preferencji jest jedyną informacją w głosowaniu, a każdy możliwy zestaw głosów daje unikalny wynik, nie może jednocześnie spełnić wszystkich powyższych warunków.
Różni teoretycy sugerowali złagodzenie kryterium IIA jako wyjście z paradoksu. Zwolennicy metod ratingowych argumentują, że PMI jest niepotrzebnie silnym kryterium, które jest łamane w większości użytecznych systemów wyborczych. Zwolennicy tego stanowiska wskazują, że niespełnienie standardowego kryterium IIA jest banalnie implikowane przez możliwość wystąpienia preferencji cyklicznych. Jeśli wyborcy głosują w ten sposób:
- 1 głos na A> B> C;
- 1 głos na B> C> A;
- 1 głos na C> A> B.
Wtedy większość podwaja preferencje grupowe jest taka, że A wygrywa z B, B wygrywa z C, a C z A, co skutkuje preferencją nożyce-kamień-nożyczki dla dowolnego porównania par.
W tym przypadku każda reguła agregacji, która spełnia podstawowy wymóg większości, zgodnie z którym kandydat z największą liczbą głosów musi wygrać wybory, nie spełni kryterium IIA, jeśli preferencje społeczne muszą być przechodnie lub acykliczne. Aby to zobaczyć, zakłada się, że taka zasada spełnia IIA. Ponieważ preferencje większościobserwuje się, że społeczeństwo faworyzuje A - B (dwa głosy za A> B i jeden za B> A), B - C i C - A. W ten sposób powstaje cykl, który jest sprzeczny z założeniem, że preferencje społeczne są przechodnie.
Tak więc twierdzenie Arrowa rzeczywiście pokazuje, że każdy system wyborczy z największą liczbą wygranych jest grą nietrywialną i że teoria gier powinna być używana do przewidywania wyniku większości mechanizmów głosowania. Można to postrzegać jako zniechęcający wynik, ponieważ gra nie powinna mieć efektywnej równowagi, na przykład głosowanie może prowadzić do alternatywy, której nikt tak naprawdę nie chciał, ale wszyscy głosowali.
Wybór społeczny zamiast preferencji
Racjonalny zbiorowy wybór mechanizmu głosowania według twierdzenia Arrowa nie jest celem podejmowania decyzji społecznych. Często wystarczy znaleźć jakąś alternatywę. Alternatywne podejście skoncentrowane na wyborze bada albo funkcje wyboru społecznego, które mapują każdy profil preferencji, albo reguły wyboru społecznego, funkcje, które mapują każdy profil preferencji na podzbiór alternatyw.
Jeśli chodzi o funkcje wyboru społecznego, dobrze znane jest twierdzenie Gibbarda-Satterthwaite'a, które mówi, że jeśli funkcja wyboru społecznego, której zakres zawiera co najmniej trzy alternatywy, jest strategicznie stabilna, to jest dyktatorska. Biorąc pod uwagę zasady wyboru społecznego, uważają, że stoją za nimi preferencje społeczne.
Oznacza to, że uważają tę zasadę za wybórmaksimum elementów - najlepsza alternatywa dla wszelkich preferencji społecznych. Zbiór maksymalnych elementów preferencji społecznych nazywany jest rdzeniem. Warunki istnienia alternatywy w rdzeniu badano w dwóch podejściach. Pierwsze podejście zakłada, że preferencje są co najmniej acykliczne, co jest konieczne i wystarczające, aby preferencje miały element maksymalny w dowolnym skończonym podzbiorze.
Z tego powodu jest to ściśle związane z rozluźnianiem przechodniości. Drugie podejście odrzuca założenie acyklicznych preferencji. Takie podejście przyjęli Kuumabe i Mihara. Przyjęli bardziej konsekwentne założenie, że indywidualne preferencje mają największe znaczenie.
Względna awersja do ryzyka
Istnieje kilka wskaźników awersji do ryzyka wyrażonych przez funkcję użyteczności w twierdzeniu Arrowa Pratta. Bezwzględna awersja do ryzyka – im większa krzywizna u(c), tym większa awersja do ryzyka. Ponieważ jednak oczekiwane funkcje użyteczności nie są jednoznacznie zdefiniowane, niezbędna miara pozostaje stała w odniesieniu do tych przekształceń. Jedną z takich miar jest miara Arrowa-Pratta bezwzględnej awersji do ryzyka (ARA), po tym, jak ekonomiści Kenneth Arrow i John W. Pratt zdefiniowali bezwzględny współczynnik awersji do ryzyka jako
A (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, gdzie: u '(c) i u '' (c) oznaczają pierwszą i drugą pochodną względem "c" lub "u (c)".
Dane eksperymentalne i empiryczne są ogólnie zgodne ze spadkiem bezwzględnej awersji do ryzyka. miara względnaArrow Pratt Risk Aversion (ACR) lub Względny Współczynnik Awersji do Ryzyka jest zdefiniowany przez:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Podobnie jak w przypadku bezwzględnej awersji do ryzyka, stosowane są odpowiednie terminy: stała względna awersja do ryzyka (CRRA) i malejąca/rosnąca względna awersja do ryzyka (DRRA/IRRA). Zaletą tej wartości jest to, że jest ona nadal ważną miarą awersji do ryzyka, nawet jeśli funkcja użyteczności zmienia się w zależności od skłonności do ryzyka, tj. użyteczność nie jest ściśle wypukła/wklęsła w całym „c”. Stała RRA oznacza zmniejszenie ARA teorii Arrowa Pratta, ale nie zawsze jest odwrotnie. Jako konkretny przykład stałej względnej awersji do ryzyka, funkcja użyteczności: u(c)=log(c), implikuje RRA=1.
Lewy wykres: funkcja użyteczności unikania ryzyka jest wklęsła od dołu, a funkcja awersji do ryzyka jest wypukła. Wykres środkowy – w przestrzeni oczekiwanych wartości odchylenia standardowego krzywe obojętności na ryzyko nachylają się w górę. Wykres prawy - przy ustalonych prawdopodobieństwach dwóch alternatywnych stanów 1 i 2, krzywe obojętności wobec ryzyka w stosunku do par wyników zależnych od stanu są wypukłe.
Nominalny system wyborczy
Początkowo Arrow odrzucił kardynalną użyteczność jako ważne narzędzie wyrażania dobrobytu społecznego, więc skoncentrował swoje twierdzenia na preferencjach rankingowych, ale późniejdoszli do wniosku, że system ocen kardynalnych z trzema lub czterema klasami jest prawdopodobnie najlepszy. Zgodnie z twierdzeniem o niemożliwości wybór publiczny zakłada uporządkowanie preferencji indywidualnych i społecznych, czyli zadowolenie z kompletności i przechodniości w różnych alternatywach. Oznacza to, że jeśli preferencje są reprezentowane przez funkcję użyteczności, jej wartość jest użyteczna w tym sensie, że ma sens, ponieważ wyższa wartość oznacza lepszą alternatywę.
Praktyczne zastosowania twierdzenia służą do oceny szerokich kategorii systemów głosowania. Główny argument Arrowa polega na tym, że systemy głosowania porządkowego muszą zawsze naruszać przynajmniej jedno z nakreślonych przez niego kryteriów uczciwości. Praktyczną konsekwencją tego jest to, że systemy głosowania, które nie są potrzebne, muszą być badane. Na przykład ranking systemów głosowania, w których głosujący przyznają każdemu kandydatowi punkty, może spełnić wszystkie kryteria Arrow.
W rzeczywistości mechanizm głosowania, racjonalny zbiorowy wybór twierdzenia Arrowa i następujący po nim dialog, był niesamowicie mylący w dziedzinie głosowania. Studenci i niespecjaliści często uważają, że żaden system głosowania nie może spełnić kryteriów uczciwości Arrow, podczas gdy w rzeczywistości systemy oceny mogą i spełniają wszystkie kryteria Arrow.
