Przyspieszenie styczne lub styczne

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Wszystkie ciała, które nas otaczają, są w ciągłym ruchu. Ruch ciał w przestrzeni obserwowany jest na wszystkich poziomach skali, począwszy od ruchu cząstek elementarnych w atomach materii, a skończywszy na przyspieszonym ruchu galaktyk we Wszechświecie. W każdym razie proces ruchu następuje z przyspieszeniem. W tym artykule szczegółowo rozważymy pojęcie przyspieszenia stycznego i podamy wzór, za pomocą którego można je obliczyć.

Wielkości kinematyczne

Zanim zaczniemy mówić o przyspieszeniu stycznym, zastanówmy się, jakie wielkości zwyczajowo charakteryzuje dowolny mechaniczny ruch ciał w przestrzeni.

Po pierwsze, jest to ścieżka L. Pokazuje odległość w metrach, centymetrach, kilometrach i tak dalej, ciało przebyło przez pewien okres czasu.

Drugą ważną cechą kinematyki jest prędkość ciała. W przeciwieństwie do ścieżki jest wielkością wektorową i jest skierowana wzdłuż trajektoriiruchy ciała. Prędkość określa tempo zmian współrzędnych przestrzennych w czasie. Wzór na jego obliczenie to:

v¯=dL/dt

Prędkość jest pochodną czasu ścieżki.

Wreszcie, trzecią ważną cechą ruchu ciał jest przyspieszenie. Zgodnie z definicją w fizyce przyspieszenie to wielkość, która określa zmianę prędkości w czasie. Wzór na to można zapisać jako:

a¯=dv¯/dt

Przyspieszenie, podobnie jak prędkość, jest również wielkością wektorową, ale w przeciwieństwie do niej jest skierowane w kierunku zmiany prędkości. Kierunek przyspieszenia pokrywa się również z wektorem powstałej siły działającej na ciało.

Trajektoria i przyspieszenie

Wiele problemów fizyki jest rozważanych w ramach ruchu prostoliniowego. W tym przypadku z reguły nie mówią o przyspieszeniu stycznym punktu, ale pracują z przyspieszeniem liniowym. Jeśli jednak ruch ciała nie jest liniowy, to jego pełne przyspieszenie można rozłożyć na dwie składowe:

styczna;
normalne.

W przypadku ruchu liniowego składowa normalna wynosi zero, więc nie mówimy o rozszerzaniu wektorowym przyspieszenia.

Tak więc trajektoria ruchu w dużej mierze determinuje charakter i składowe pełnego przyspieszenia. Trajektoria ruchu jest rozumiana jako wyimaginowana linia w przestrzeni, po której porusza się ciało. Każdykrzywoliniowa trajektoria prowadzi do pojawienia się niezerowych składowych przyspieszenia, o których mowa powyżej.

Wyznaczanie przyspieszenia stycznego

Przyspieszenie styczne lub, jak to się nazywa, przyspieszenie styczne to składowa pełnego przyspieszenia, która jest skierowana stycznie do trajektorii ruchu. Ponieważ prędkość jest również skierowana wzdłuż trajektorii, wektor przyspieszenia stycznego pokrywa się z wektorem prędkości.

Koncepcję przyspieszenia jako miary zmiany prędkości podano powyżej. Ponieważ prędkość jest wektorem, można ją zmieniać modulo lub kierunkowo. Przyspieszenie styczne determinuje jedynie zmianę modułu prędkości.

Zauważ, że w przypadku ruchu prostoliniowego wektor prędkości nie zmienia swojego kierunku, dlatego zgodnie z powyższą definicją przyspieszenie styczne i przyspieszenie liniowe mają tę samą wartość.

Uzyskiwanie równania przyspieszenia stycznego

Załóżmy, że ciało porusza się po jakiejś zakrzywionej trajektorii. Wtedy jego prędkość v¯ w wybranym punkcie można przedstawić w następujący sposób:

v¯=vu_t¯

Tu v jest modułem wektora v¯, u_{t¯ jest wektorem prędkości jednostkowej skierowanym stycznie do trajektorii.}

Używając matematycznej definicji przyspieszenia, otrzymujemy:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

Przy znajdowaniu pochodnej wykorzystano tutaj własność iloczynu dwóch funkcji. Widzimy, że całkowite przyspieszenie a¯ w rozważanym punkcie odpowiada sumie dwóch wyrazów. Są to odpowiednio styczna i normalne przyspieszenie punktu.

Powiedzmy kilka słów o normalnym przyspieszeniu. Odpowiada za zmianę wektora prędkości, czyli zmianę kierunku ruchu ciała po krzywej. Jeśli jawnie obliczymy wartość drugiego składnika, otrzymamy wzór na przyspieszenie normalne:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ r}

Normalne przyspieszenie jest kierowane wzdłuż normalnej przywróconej do danego punktu krzywej. W przypadku ruchu okrężnego normalne przyspieszenie jest dośrodkowe.

Równanie przyspieszenia stycznego a_{t¯ to:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

To wyrażenie mówi, że przyspieszenie styczne nie odpowiada zmianie kierunku, ale zmianie modułu prędkości v¯ w czasie. Ponieważ przyspieszenie styczne jest skierowane stycznie do rozważanego punktu trajektorii, jest ono zawsze prostopadłe do składowej normalnej.

Przyspieszenie styczne i całkowity moduł przyspieszenia

Wszystkie powyższe informacje zostały przedstawione, które pozwalają obliczyć całkowite przyspieszenie przez styczną i normalną. Rzeczywiście, ponieważ obie składowe są wzajemnie prostopadłe, ich wektory tworzą odnogi trójkąta prostokątnego,której przeciwprostokątna jest całkowitym wektorem przyspieszenia. Fakt ten pozwala nam napisać wzór na całkowity moduł przyspieszenia w postaci:

a=√(a² + a_t²⁾

Kąt θ między pełnym przyspieszeniem a przyspieszeniem stycznym można zdefiniować w następujący sposób:

θ=arccos(a_t/a)

Im większe przyspieszenie styczne, tym bliższe są kierunki przyspieszenia stycznego i pełnego.

Zależność między przyspieszeniem stycznym i kątowym

Typowa krzywoliniowa trajektoria, wzdłuż której ciała poruszają się w technologii i naturze, to koło. Rzeczywiście, ruch kół zębatych, ostrzy i planet wokół własnej osi lub wokół ich opraw odbywa się właśnie po okręgu. Ruch odpowiadający tej trajektorii nazywa się rotacją.

Kinematyka obrotu charakteryzuje się takimi samymi wartościami jak kinematyka ruchu po linii prostej, jednak ma charakter kątowy. Tak więc, aby opisać obrót, używa się centralnego kąta obrotu θ, prędkości kątowej ω i przyspieszenia α. Dla tych ilości obowiązują następujące wzory:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

Załóżmy, że ciało wykonało jeden obrót wokół osi obrotu w czasie t, wtedy dla prędkości kątowej możemy napisać:

ω=2pi/t

Prędkość liniowa w tym przypadku będzie równa:

v=2pir/t

Gdzie r jest promieniem trajektorii. Ostatnie dwa wyrażenia pozwalają nam pisaćwzór na połączenie dwóch prędkości:

v=ωr

Teraz obliczamy pochodną czasu lewej i prawej strony równania, otrzymujemy:

dv/dt=rdω/dt

Prawa strona równości jest iloczynem przyspieszenia kątowego i promienia okręgu. Lewa strona równania to zmiana modułu prędkości, czyli przyspieszenia stycznego.

Tak więc przyspieszenie styczne i podobna wartość kątowa są powiązane równością:

a_t=αr

Jeżeli założymy, że dysk się obraca, to przyspieszenie styczne punktu o stałej wartości α będzie rosło liniowo wraz ze wzrostem odległości od tego punktu do osi obrotu r.

Następnie rozwiążemy dwa problemy za pomocą powyższych wzorów.

Określanie przyspieszenia stycznego na podstawie znanej funkcji prędkości

Wiadomo, że prędkość ciała poruszającego się po pewnej zakrzywionej trajektorii jest opisana następującą funkcją czasu:

v=2t2+ 3t + 5

Konieczne jest wyznaczenie wzoru na przyspieszenie styczne i znalezienie jego wartości w czasie t=5 sekund.

Najpierw napiszmy wzór dla modułu przyspieszenia stycznego:

a_t=dv/dt

To znaczy, aby obliczyć funkcję a_{t(t), należy wyznaczyć pochodną prędkości względem czasu. Mamy:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

Podstawiając czas t=5 sekund do wynikowego wyrażenia, otrzymujemy odpowiedź: a_t=23 m/s^2.

Zauważ, że wykres prędkości w funkcji czasu w tym zadaniu jest parabolą, podczas gdy wykres przyspieszenia stycznego jest linią prostą.

Zadanie przyspieszenia stycznego

Wiadomo, że punkt materialny rozpoczął jednostajnie przyspieszony obrót od momentu zerowego czasu. 10 sekund po rozpoczęciu obrotu jego przyspieszenie dośrodkowe stało się równe 20 m/s2. Konieczne jest wyznaczenie przyspieszenia stycznego punktu po 10 sekundach, jeśli wiadomo, że promień obrotu wynosi 1 metr.

Najpierw zapisz wzór na przyspieszenie dośrodkowe lub normalne a_c: