Równania kwadratowe często pojawiają się w wielu problemach matematycznych i fizycznych, więc każdy uczeń powinien umieć je rozwiązać. W tym artykule szczegółowo opisano główne metody rozwiązywania równań kwadratowych, a także podano przykłady ich użycia.
Jakie równanie nazywa się kwadratowym
Przede wszystkim odpowiemy na pytanie tego akapitu, aby lepiej zrozumieć, o czym będzie artykuł. Zatem równanie kwadratowe ma następującą ogólną postać: c + bx+ax2=0, gdzie a, b, c to pewne liczby, które nazywamy współczynnikami. Tutaj a≠0 jest warunkiem obowiązkowym, w przeciwnym razie wskazane równanie przeradza się w liniowe. Pozostałe współczynniki (b, c) mogą przyjmować absolutnie dowolne wartości, w tym zero. Zatem wyrażenia takie jak ax2=0, gdzie b=0 i c=0, lub c+ax2=0, gdzie b=0 lub bx+ax2=0, gdzie c=0 są również równaniami kwadratowymi, które nazywane są niekompletnymi, ponieważ albo liniowy współczynnik b w nich wynosi zero albo zerojest wolnym terminem c, albo oba znikają.
Równanie, w którym a=1 jest nazywane zredukowanym, to znaczy ma postać: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Rozwiązaniem równania kwadratowego jest znalezienie takich wartości x, które spełniają jego równość. Te wartości nazywane są korzeniami. Ponieważ rozważane równanie jest wyrażeniem drugiego stopnia, oznacza to, że maksymalna liczba jego pierwiastków nie może przekroczyć dwóch.
Jakie metody rozwiązywania równań kwadratowych istnieją
Ogólnie istnieją 4 metody rozwiązania. Ich imiona są wymienione poniżej:
- Faktorowanie.
- Dodanie do kwadratu.
- Korzystanie ze znanego wzoru (poprzez wyróżnik).
- Metoda rozwiązania jest geometryczna.
Jak widać z powyższej listy, pierwsze trzy metody są algebraiczne, więc są używane częściej niż ostatnia, która polega na wykreśleniu funkcji.
Istnieje inny sposób rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Vieta. Może być umieszczony jako piąty na powyższej liście, jednak nie jest to zrobione, ponieważ twierdzenie Viety jest prostą konsekwencją trzeciej metody.
W dalszej części artykułu rozważymy bardziej szczegółowo wymienione metody rozwiązywania, a także podamy przykłady ich użycia do znalezienia pierwiastków określonych równań.
Metoda 1. Faktoring
Dla tej metody w matematyce równań kwadratowych jest pięknanazwa: faktoryzacja. Istota tej metody jest następująca: konieczne jest przedstawienie równania kwadratowego jako iloczynu dwóch wyrazów (wyrażeń), które muszą być równe zeru. Po takiej reprezentacji możesz użyć właściwości iloczynu, która będzie równa zeru tylko wtedy, gdy jeden lub więcej (wszystkie) jego elementy mają wartość zero.
Teraz rozważ kolejność określonych czynności, które należy wykonać, aby znaleźć pierwiastki równania:
- Przenieś wszystkich członków do jednej części wyrażenia (na przykład w lewo), tak aby w drugiej części (po prawej) pozostało tylko 0.
- Przedstaw sumę wyrazów w jednej części równania jako iloczyn dwóch równań liniowych.
- Ustaw każde z wyrażeń liniowych na zero i rozwiąż je.
Jak widać, algorytm faktoryzacji jest dość prosty, jednak większość uczniów ma trudności podczas realizacji drugiego punktu, więc wyjaśnimy go bardziej szczegółowo.
Aby zgadnąć, które 2 wyrażenia liniowe pomnożone przez siebie, dadzą pożądane równanie kwadratowe, musisz pamiętać o dwóch prostych zasadach:
- Współczynniki liniowe dwóch wyrażeń liniowych pomnożone przez siebie powinny dać pierwszy współczynnik równania kwadratowego, czyli liczbę a.
- Wyrażenia wolne wyrażeń liniowych, po pomnożeniu, powinny dać liczbę c żądanego równania.
Po wybraniu wszystkich liczb czynników należy je pomnożyć, a jeśli dają one pożądane równanie, przejdź do kroku 3 wpowyższy algorytm, w przeciwnym razie powinieneś zmienić mnożniki, ale musisz to zrobić, aby zawsze przestrzegać powyższych zasad.
Przykład rozwiązania metodą faktoryzacji
Pokażmy wyraźnie, jak algorytm rozwiązywania równania kwadratowego ma składać i znajdować nieznane pierwiastki. Niech zostanie podane dowolne wyrażenie, na przykład 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Przejdźmy do jego rozwiązania, obserwując ciąg punktów od 1 do 3, które zostały przedstawione w poprzednim akapicie artykułu.
Pozycja 1. Przesuń wszystkie wyrazy na lewą stronę i ułóż je w klasycznej kolejności dla równania kwadratowego. Mamy następującą równość: 2x+(-8)+x2=0.
Pozycja 2. Rozbijamy to na iloczyn równań liniowych. Skoro a=1 i c=-8, to wybierzemy np. taki iloczyn (x-2)(x+4). Spełnia zasady znajdowania oczekiwanych czynników określone w powyższym akapicie. Jeśli otworzymy nawiasy, otrzymamy: -8+2x+x2, czyli otrzymamy dokładnie takie samo wyrażenie jak po lewej stronie równania. Oznacza to, że poprawnie odgadliśmy mnożniki i możemy przejść do 3 kroku algorytmu.
Pozycja 3. Przyrównaj każdy czynnik do zera, otrzymujemy: x=-4 i x=2.
Jeśli masz jakiekolwiek wątpliwości co do wyniku, zaleca się sprawdzenie, zastępując znalezione pierwiastki w oryginalnym równaniu. W tym przypadku mamy: 22+22-8=0 i 2(-4)+(-4)2 -8=0. Korzenie znalezione poprawnie.
Tak więc, używając metody faktoryzacji, odkryliśmy, że dane równanie ma dwa pierwiastki różnema: 2 i -4.
Metoda 2. Uzupełnij do pełnego kwadratu
W algebrze równań kwadratowych nie zawsze można zastosować metodę mnożnikową, ponieważ w przypadku ułamkowych wartości współczynników równania kwadratowego pojawiają się trudności w realizacji paragrafu 2 algorytmu.
Metoda pełnego kwadratu jest z kolei uniwersalna i może być stosowana do równań kwadratowych dowolnego typu. Jego istotą jest wykonanie następujących operacji:
- Części równania zawierające współczynniki a i b muszą zostać przeniesione do jednej części równania, a człon wolny c do drugiej.
- Następnie należy podzielić części równości (prawą i lewą) przez współczynnik a, czyli przedstawić równanie w postaci zredukowanej (a=1).
- Zsumuj wyrazy ze współczynnikami a i b, aby przedstawić je jako kwadrat równania liniowego. Ponieważ a \u003d 1, wówczas współczynnik liniowy będzie równy 1, tak jak w przypadku członu wolnego równania liniowego, wówczas powinien być równy połowie współczynnika liniowego zredukowanego równania kwadratowego. Po narysowaniu kwadratu wyrażenia liniowego konieczne jest dodanie odpowiedniej liczby po prawej stronie równości, gdzie znajduje się wyraz wolny, który uzyskuje się przez rozwinięcie kwadratu.
- Wyciągnij pierwiastek kwadratowy ze znakami "+" i "-" i rozwiąż już otrzymane równanie liniowe.
Opisany algorytm na pierwszy rzut oka może być postrzegany jako dość skomplikowany, jednak w praktyce jest łatwiejszy do wdrożenia niż metoda faktoryzacji.
Przykład rozwiązania wykorzystującego dopełnienie do pełnego kwadratu
Podajmy przykład równania kwadratowego do uczenia jego rozwiązania metodą opisaną w poprzednim akapicie. Niech zostanie podane równanie kwadratowe -10 - 6x+5x2=0. Rozpoczynamy je według opisanego wyżej algorytmu.
Pozycja 1. Używamy metody przenoszenia przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, otrzymujemy: - 6x+5x2=10.
Punkt 2. Formę zredukowaną tego równania otrzymuje się dzieląc przez liczbę 5 każdego z jego elementów (jeśli obie części zostaną podzielone lub pomnożone przez tę samą liczbę, wówczas równość zostanie zachowana). W wyniku przekształceń otrzymujemy: x2 - 6/5x=2.
Pozycja 3. Połowa współczynnika - 6/5 to -6/10=-3/5, użyj tej liczby do uzupełnienia kwadratu, otrzymujemy: (-3/5+x) 2 . Rozszerzamy go i otrzymany wyraz wolny należy odjąć od lewej strony równości, aby spełnić pierwotną postać równania kwadratowego, co jest równoznaczne z dodaniem go po prawej stronie. W rezultacie otrzymujemy: (-3/5+x)2=59/25.
Pozycja 4. Oblicz pierwiastek kwadratowy ze znakami dodatnimi i ujemnymi i znajdź pierwiastki: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dwa znalezione pierwiastki mają następujące wartości: x1=(√59+3)/5 i x1=(3-√59)/5.
Ponieważ wykonywane obliczenia dotyczą pierwiastków, istnieje duże prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Dlatego zaleca się sprawdzenie poprawności pierwiastków x2 i x1. Otrzymujemy x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Zastąp terazx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Zatem pokazaliśmy, że znalezione pierwiastki równania są prawdziwe.
Metoda 3. Zastosowanie znanej formuły
Ta metoda rozwiązywania równań kwadratowych jest prawdopodobnie najprostsza, ponieważ polega na podstawieniu współczynników do znanego wzoru. Aby z niego skorzystać, nie trzeba myśleć o kompilacji algorytmów rozwiązania, wystarczy zapamiętać tylko jedną formułę. Jest to pokazane na powyższym obrazku.
W tym wzorze wyrażenie radykalne (b2-4ac) nazywane jest wyróżnikiem (D). Od jego wartości zależy, jakie korzenie są uzyskiwane. Istnieją 3 przypadki:
- D>0, to pierwiastek dwa równania ma wartości rzeczywiste i różne.
- D=0, wtedy otrzymujemy pierwiastek, który można obliczyć z wyrażenia x=-b/(a2).
- D<0, to otrzymujesz dwa różne pierwiastki urojone, które są reprezentowane jako liczby zespolone. Na przykład liczba 3-5i jest zespolona, podczas gdy jednostka urojona i spełnia własność: i2=-1.
Przykład rozwiązania obliczającego dyskryminator
Podajmy przykład równania kwadratowego do przećwiczenia przy użyciu powyższego wzoru. Znajdź pierwiastki dla -3x2-6+3x+4x=0. Najpierw oblicz wartość dyskryminatora, otrzymujemy: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Ponieważ uzyskano D<0, oznacza to, że pierwiastki rozważanego równania są liczbami zespolonymi. Znajdźmy je, zastępując znalezioną wartość D formułą podaną w poprzednim akapicie (jest to również pokazane na powyższym zdjęciu). Otrzymujemy: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metoda 4. Korzystanie z wykresu funkcji
Nazywana jest również graficzną metodą rozwiązywania równań kwadratowych. Należy powiedzieć, że z reguły jest on używany nie do ilościowej, ale jakościowej analizy rozważanego równania.
Istotą metody jest wykreślenie funkcji kwadratowej y=f(x), która jest parabolą. Następnie należy określić, w jakich punktach parabola przecina oś x (X), będą to pierwiastki odpowiedniego równania.
Aby stwierdzić, czy parabola przetnie oś X, wystarczy znać pozycję jej minimum (maksimum) i kierunek jej rozgałęzień (mogą one rosnąć lub maleć). Należy pamiętać o dwóch właściwościach tej krzywej:
- Jeżeli a>0 - parabole gałęzi są skierowane w górę, a przeciwnie, jeśli a<0, to opadają.
- Minimalna (maksymalna) współrzędna paraboli to zawsze x=-b/(2a).
Na przykład musisz określić, czy równanie -4x+5x2+10=0 ma pierwiastki. Odpowiednia parabola będzie skierowana w górę, ponieważ=5>0. Jego ekstremum ma współrzędne: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Ponieważ minimum krzywej leży powyżej osi x (y=9, 2), to nie przecina tej ostatniej dla żadnegox wartości. Oznacza to, że podane równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Twierdzenie Viety
Jak wspomniano powyżej, twierdzenie to jest konsekwencją metody nr 3, która opiera się na zastosowaniu wzoru z wyróżnikiem. Istotą twierdzenia Vieta jest to, że pozwala ono połączyć współczynniki równania i jego pierwiastki w równość. Znajdźmy odpowiednie równości.
Użyjmy wzoru do obliczania pierwiastków przez dyskryminator. Dodaj dwa pierwiastki, otrzymujemy: x1+x2=-b/a. Teraz pomnóżmy pierwiastki przez siebie: x1x2, po serii uproszczeń otrzymamy liczbę c/a.
Tak więc, aby rozwiązać równania kwadratowe za pomocą twierdzenia Vieta, możesz użyć otrzymanych dwóch równości. Jeśli wszystkie trzy współczynniki równania są znane, to pierwiastki można znaleźć, rozwiązując odpowiedni układ tych dwóch równań.
Przykład użycia twierdzenia Viety
Musisz napisać równanie kwadratowe, jeśli wiesz, że ma ono postać x2+c=-bx, a jego pierwiastki to 3 i -4.
Ponieważ a=1 w rozważanym równaniu, wzory Vieta będą wyglądać następująco: x2+x1=-b i x2x1=str. Zastępując znane wartości pierwiastków, otrzymujemy: b=1 i c=-12. W rezultacie przywrócone równanie zredukowane kwadratowe będzie wyglądać następująco: x2-12=-1x. Możesz podstawić do niego wartość pierwiastków i upewnić się, że równość jest zachowana.
Odwrotne zastosowanie twierdzenia Vieta, czyli obliczenie pierwiastków przezznana postać równania, pozwala małym liczbom całkowitym a, b i c szybko (intuicyjnie) znaleźć rozwiązania.
