Nierówności algebraiczne lub ich układy ze współczynnikami wymiernymi, których rozwiązania poszukuje się w liczbach całkowitych lub całkowitych. Z reguły liczba niewiadomych w równaniach diofantycznych jest większa. W związku z tym określa się je również mianem nieokreślonych nierówności. We współczesnej matematyce powyższa koncepcja jest stosowana do równań algebraicznych, których rozwiązania poszukuje się w algebraicznych liczbach całkowitych pewnego rozszerzenia pola zmiennych Q-wymiernych, pola zmiennych p-adycznych itp.
Przyczyny tych nierówności
Badanie równań diofantycznych znajduje się na pograniczu teorii liczb i geometrii algebraicznej. Znajdowanie rozwiązań w zmiennych całkowitych jest jednym z najstarszych problemów matematycznych. Już na początku II tysiąclecia p.n.e. starożytnym Babilończykom udało się rozwiązać układy równań z dwiema niewiadomymi. Ta gałąź matematyki najbardziej rozkwitała w starożytnej Grecji. Arytmetyka Diofanta (ok. III wne) jest ważnym i głównym źródłem zawierającym różne typy i układy równań.
W tej książce Diophantus przewidział szereg metod badania nierówności drugiego i trzeciegostopnie, które zostały w pełni rozwinięte w XIX wieku. Stworzenie teorii liczb wymiernych przez tego badacza starożytnej Grecji doprowadziło do analizy logicznych rozwiązań systemów nieokreślonych, które są systematycznie realizowane w jego książce. Chociaż jego praca zawiera rozwiązania konkretnych równań diofantycznych, istnieją powody, by sądzić, że znał również kilka ogólnych metod.
Badanie tych nierówności wiąże się zwykle z poważnymi trudnościami. Ze względu na to, że zawierają wielomiany o współczynnikach całkowitych F (x, y1, …, y). Na tej podstawie wyciągnięto wnioski, że nie ma jednego algorytmu, którego można by użyć do określenia dla dowolnego zadanego x, czy równanie F (x, y1, …., y ). Sytuacja jest możliwa do rozwiązania dla y1, …, y . Przykłady takich wielomianów można zapisać.
Najprostsza nierówność
ax + by=1, gdzie a i b są względnie całkowitymi i pierwszymi liczbami, ma ogromną liczbę wykonań (jeśli x0, y0 powstaje wynik, a następnie para zmiennych x=x0 + b i y=y0-an, gdzie n jest dowolne, będzie również uważane za nierówność). Innym przykładem równań diofantycznych jest x2 + y2 =z2. Dodatnimi rozwiązaniami całkowymi tej nierówności są długości małych boków x, y i trójkątów prostokątnych oraz przeciwprostokątnej z o całkowitych wymiarach boków. Liczby te są znane jako liczby pitagorejskie. Wszystkie trojaczki w odniesieniu do liczby pierwszej wskazanepowyższe zmienne są podane przez x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, gdzie m i n są liczbami całkowitymi i pierwszymi (m>n>0).
Diophantus w swojej Arytmetyce poszukuje racjonalnych (niekoniecznie integralnych) rozwiązań szczególnych typów swoich nierówności. Ogólną teorię rozwiązywania równań diofantycznych pierwszego stopnia opracował C. G. Baschet w XVII wieku. Inni naukowcy na początku XIX wieku badali głównie podobne nierówności, takie jak ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, gdzie a, b, c, d, e i f są ogólne, niejednorodne, z dwiema niewiadomymi drugiego stopnia. Lagrange używał w swoim badaniu ułamków ciągłych. Gauss dla form kwadratowych opracował ogólną teorię leżącą u podstaw niektórych typów rozwiązań.
W badaniu nierówności drugiego stopnia znaczny postęp poczyniono dopiero w XX wieku. A. Thue stwierdził, że równanie diofantyczne a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, gdzie n≧3, a0, …, a , c to liczby całkowite, a a0tn + …+ a nie może mieć nieskończonej liczby rozwiązań liczb całkowitych. Jednak metoda Thue nie została odpowiednio opracowana. A. Baker stworzył efektywne twierdzenia, które dają oszacowanie wykonania niektórych równań tego rodzaju. BN Delaunay zaproponował inną metodę badania mającą zastosowanie do węższej klasy tych nierówności. W szczególności postać ax3 + y3 =1 jest całkowicie rozwiązywalna w ten sposób.
Równania diofantyczne: metody rozwiązywania
Teoria Diofantusa ma wiele kierunków. Tak więc dobrze znanym problemem w tym systemie jest hipoteza, że nie ma nietrywialnego rozwiązania równań diofantycznych xn + y =z n if n ≧ 3 (pytanie Fermata). Badanie całkowitych wypełnień nierówności jest naturalnym uogólnieniem problemu trójek pitagorejskich. Euler uzyskał pozytywne rozwiązanie problemu Fermata dla n=4. Na mocy tego wyniku odwołuje się do dowodu braku całkowitych, niezerowych badań równania, jeśli n jest nieparzystą liczbą pierwszą.
Badanie dotyczące decyzji nie zostało zakończone. Trudności z jego implementacją związane są z faktem, że prosta faktoryzacja w pierścieniu liczb całkowitych algebraicznych nie jest wyjątkowa. Teoria dzielników w tym układzie dla wielu klas wykładników pierwszych n pozwala potwierdzić słuszność twierdzenia Fermata. Zatem liniowe równanie diofantyczne z dwiema niewiadomymi jest spełniane przez istniejące metody i sposoby.
Rodzaje i rodzaje opisywanych zadań
Arytmetyka pierścieni algebraicznych liczb całkowitych jest również używana w wielu innych problemach i rozwiązaniach równań diofantycznych. Na przykład takie metody zastosowano przy wypełnianiu nierówności postaci N(a1 x1 +…+ a x)=m, gdzie N(a) jest normą a, a x1, …, xn Znaleziono całkowe zmienne wymierne. Ta klasa zawiera równanie Pella x2–dy2=1.
Wartości a1, …, a , te równania są podzielone na dwa typy. Pierwszy typ - tzw. formy pełne - obejmuje równania, w których wśród a występuje m liczb liniowo niezależnych nad ciałem zmiennych wymiernych Q, gdzie m=[Q(a1, …, a):Q], w którym istnieje stopień wykładników algebraicznych Q (a1, …, a ) nad Q. Gatunki niepełne to te w których maksymalna liczba a i jest mniejsza niż m.
Pełne formularze są prostsze, ich opracowanie jest kompletne, a wszystkie rozwiązania można opisać. Drugi typ, niekompletny gatunek, jest bardziej skomplikowany, a rozwój takiej teorii nie został jeszcze ukończony. Takie równania są badane przy użyciu przybliżeń diofantycznych, które obejmują nierówność F(x,y)=C, gdzie F(x,y) jest nieredukowalnym, jednorodnym wielomianem stopnia n≧3. Zatem możemy założyć, że yi→∞. W związku z tym, jeśli yi jest wystarczająco duże, to nierówność będzie sprzeczna z twierdzeniem Thue, Siegela i Rotha, z którego wynika, że F(x, y)=C, gdzie F jest forma trzeciego stopnia lub wyższej, nieredukowalna nie może mieć nieskończonej liczby rozwiązań.
Jak rozwiązać równanie diofantyczne?
Ten przykład jest raczej wąską klasą spośród wszystkich. Na przykład, pomimo ich prostoty, x3 + y3 + z3=N, a x2 +y 2 +z2 +u2 =N nie są ujęte w tej klasie. Badanie rozwiązań jest dość dokładnie przestudiowaną gałęzią równań diofantycznych, których podstawą jest reprezentacja liczb za pomocą kwadratowych form. Lagrangestworzył twierdzenie, które mówi, że spełnienie istnieje dla wszystkich naturalnych N. Dowolna liczba naturalna może być reprezentowana jako suma trzech kwadratów (tw. Gaussa), ale nie powinna mieć postaci 4a (8K- 1), gdzie a i k są nieujemnymi wykładnikami całkowitymi.
Rozwiązania racjonalne lub całkowe układu równania diofantycznego typu F (x1, …, x)=a, gdzie F (x 1, …, x) jest formą kwadratową ze współczynnikami całkowitymi. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Minkowskiego-Hasse, nierówność ∑aijxixj=b ijand b jest wymierne, ma rozwiązanie całkowe w liczbach rzeczywistych i p-adycznych dla każdej liczby pierwszej p tylko wtedy, gdy jest rozwiązane w tej strukturze.
Ze względu na nieodłączne trudności, badanie liczb z arbitralnymi formami trzeciego stopnia i wyższych zostało zbadane w mniejszym stopniu. Główną metodą realizacji jest metoda sum trygonometrycznych. W tym przypadku liczba rozwiązań równania jest wyraźnie zapisana jako całka Fouriera. Następnie metoda środowiskowa służy do wyrażenia liczby spełnienia nierówności odpowiednich kongruencji. Metoda sum trygonometrycznych zależy od algebraicznych cech nierówności. Istnieje wiele elementarnych metod rozwiązywania liniowych równań diofantycznych.
Analiza diofantyczna
Wydział matematyki, którego przedmiotem jest badanie całkowych i wymiernych rozwiązań układów równań algebry metodami geometrii, z tego samegokule. W drugiej połowie XIX wieku pojawienie się tej teorii liczb doprowadziło do badania równań diofantycznych z dowolnego pola ze współczynnikami, a rozwiązania rozważano albo w nim, albo w jego pierścieniach. System funkcji algebraicznych rozwijany równolegle z liczbami. Podstawowa analogia między nimi, którą podkreślał D. Hilbert, a w szczególności L. Kronecker, prowadziła do jednolitego konstruowania różnych pojęć arytmetycznych, które zwykle nazywa się globalnymi.
Jest to szczególnie zauważalne, jeśli badane funkcje algebraiczne nad skończonym ciałem stałych są jedną zmienną. Pojęcia takie jak klasowa teoria pola, dzielnik i rozgałęzienie oraz wyniki są dobrą ilustracją powyższego. Ten punkt widzenia został przyjęty w systemie nierówności diofantycznych dopiero później, a systematyczne badania nie tylko współczynnikami liczbowymi, ale także współczynnikami będącymi funkcjami rozpoczęły się dopiero w latach pięćdziesiątych. Jednym z decydujących czynników w tym podejściu był rozwój geometrii algebraicznej. Jednoczesne badanie pól liczb i funkcji, które powstają jako dwa równie ważne aspekty tego samego tematu, nie tylko dało eleganckie i przekonujące wyniki, ale doprowadziło do wzajemnego wzbogacenia się tych dwóch tematów.
W geometrii algebraicznej pojęcie rozmaitości jest zastępowane przez nieniezmienniczy zbiór nierówności nad danym ciałem K, a ich rozwiązania są zastępowane punktami wymiernymi o wartościach w K lub w jego skończonym rozszerzeniu. Można zatem powiedzieć, że podstawowym problemem geometrii diofantycznej jest badanie punktów wymiernychzbioru algebraicznego X(K), podczas gdy X są pewnymi liczbami w polu K. Wykonanie liczb całkowitych ma znaczenie geometryczne w liniowych równaniach diofantycznych.
Badania nierówności i opcje realizacji
Podczas badania punktów wymiernych (lub całkowych) na rozmaitościach algebraicznych pojawia się pierwszy problem, którym jest ich istnienie. Dziesiąty problem Hilberta jest sformułowany jako problem znalezienia ogólnej metody rozwiązania tego problemu. W trakcie tworzenia dokładnej definicji algorytmu i po tym, jak udowodniono, że nie ma takich wykonań dla dużej liczby problemów, problem uzyskał oczywisty wynik negatywny, a najciekawszym pytaniem jest definicja klas równań diofantycznych dla których istnieje powyższy system. Najbardziej naturalnym podejściem, z algebraicznego punktu widzenia, jest tak zwana zasada Hassego: początkowe ciało K jest badane wraz z jego uzupełnieniami Kv na wszystkich możliwych szacunkach. Ponieważ X(K)=X(Kv) są warunkiem koniecznym istnienia, a punkt K uwzględnia, że zbiór X(Kv) nie jest pusty dla wszystkich v.
Ważność polega na tym, że łączy dwa problemy. Drugi jest znacznie prostszy, można go rozwiązać znanym algorytmem. W szczególnym przypadku, gdy odmiana X jest rzutowa, lemat Hansla i jego uogólnienia umożliwiają dalszą redukcję: problem można sprowadzić do badania punktów wymiernych nad ciałem skończonym. Następnie postanawia zbudować koncepcję poprzez konsekwentne badania lub bardziej efektywne metody.
Ostatniaważną kwestią jest to, że zbiory X(Kv) są niepuste dla wszystkich oprócz skończonej liczby v, więc liczba warunków jest zawsze skończona i można je skutecznie przetestować. Jednak zasada Hassego nie dotyczy krzywych stopni. Na przykład 3x3 + 4y3=5 ma punkty we wszystkich polach liczb p-adycznych i w systemie liczb rzeczywistych, ale nie ma punktów wymiernych.
Ta metoda posłużyła jako punkt wyjścia do skonstruowania koncepcji opisującej klasy głównych jednorodnych przestrzeni odmian abelowych w celu wykonania „odstępstwa” od zasady Hassego. Opisuje się ją za pomocą specjalnej struktury, którą można powiązać z każdą rozmaitością (grupa Tate-Shafarevich). Główna trudność teorii polega na tym, że metody obliczania grup są trudne do uzyskania. Ta koncepcja została również rozszerzona na inne klasy rozmaitości algebraicznych.
Wyszukaj algorytm wypełniania nierówności
Kolejną koncepcją heurystyczną wykorzystywaną w badaniu równań diofantycznych jest to, że jeśli liczba zmiennych wchodzących w skład zbioru nierówności jest duża, to system zwykle ma rozwiązanie. Jest to jednak bardzo trudne do udowodnienia w konkretnym przypadku. Ogólne podejście do tego typu problemów wykorzystuje analityczną teorię liczb i opiera się na estymacji sum trygonometrycznych. Ta metoda była pierwotnie stosowana do specjalnych rodzajów równań.
Jednak później udowodniono za jego pomocą, że jeśli formą nieparzystego stopnia jest F, w di n zmiennych i przy wymiernych współczynnikach, to n jest wystarczająco duże w porównaniu do d, więc rzutowa hiperpowierzchnia F=0 ma punkt wymierny. Zgodnie z przypuszczeniem Artina, ten wynik jest prawdziwy, nawet jeśli n > d2. Udowodniono to tylko dla form kwadratowych. Podobne problemy można zadać również w innych dziedzinach. Centralnym problemem geometrii diofantycznej jest struktura zbioru punktów całkowitych lub wymiernych i ich badanie, a pierwszym pytaniem, które należy wyjaśnić, jest to, czy zbiór ten jest skończony. W tym problemie sytuacja ma zwykle skończoną liczbę wykonań, jeśli stopień systemu jest znacznie większy niż liczba zmiennych. To jest podstawowe założenie.
Nierówności na liniach i krzywych
Grupa X(K) może być reprezentowana jako bezpośrednia suma wolnej struktury rzędu r i skończonej grupy rzędu n. Od lat trzydziestych badano, czy liczby te są ograniczone na zbiorze wszystkich krzywych eliptycznych nad danym ciałem K. Ograniczenie skręcania n wykazano w latach siedemdziesiątych. W przypadku funkcjonalnym występują krzywe o dowolnie wysokiej randze. W przypadku liczbowym nadal nie ma odpowiedzi na to pytanie.
Na koniec przypuszczenie Mordella mówi, że liczba punktów całkowych jest skończona dla krzywej rodzaju g>1. W przypadku funkcjonalnym koncepcja ta została zademonstrowana przez Yu I. Manina w 1963 roku. Głównym narzędziem używanym do dowodzenia twierdzeń o skończoności w geometrii diofantycznej jest wysokość. Spośród rozmaitości algebraicznych wymiary powyżej jednego są abelowerozmaitości, które są wielowymiarowymi odpowiednikami krzywych eliptycznych, zostały najdokładniej zbadane.
A. Weil uogólnił twierdzenie o skończoności liczby generatorów grupy wymiernych punktów na rozmaitości abelowe dowolnego wymiaru (koncepcja Mordella-Weila), rozszerzając je. W latach sześćdziesiątych pojawiło się przypuszczenie Bircha i Swinnertona-Dyera, poprawiające to oraz funkcje grupowe i zeta rozmaitości. Dowody liczbowe potwierdzają tę hipotezę.
Problem z rozwiązywalnością
Problem ze znalezieniem algorytmu, którego można użyć do określenia, czy jakiekolwiek równanie diofantyczne ma rozwiązanie. Istotną cechą postawionego problemu jest poszukiwanie uniwersalnej metody, która byłaby odpowiednia dla każdej nierówności. Taka metoda pozwoliłaby również rozwiązać powyższe układy, ponieważ jest równoważna P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 lub p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problem znalezienia tak uniwersalnego sposobu znajdowania rozwiązań nierówności liniowych w liczbach całkowitych postawił D. Gilbert.
We wczesnych latach pięćdziesiątych pojawiły się pierwsze badania mające na celu udowodnienie nieistnienia algorytmu rozwiązywania równań diofantycznych. W tym czasie pojawiła się hipoteza Davisa, która mówi, że każdy przeliczalny zestaw również należy do greckiego naukowca. Ponieważ przykłady zbiorów algorytmicznie nierozstrzygalnych są znane, ale są rekurencyjnie przeliczalne. Wynika z tego, że hipoteza Davisa jest prawdziwa, a problem rozwiązywania tych równańma negatywne wykonanie.
Po tym, dla przypuszczenia Davisa, pozostaje udowodnić, że istnieje metoda przekształcania nierówności, która również (lub nie) jednocześnie ma rozwiązanie. Wykazano, że taka zmiana równania diofantycznego jest możliwa, jeśli ma dwie powyższe właściwości: 1) w dowolnym rozwiązaniu tego typu v ≦ uu; 2) dla dowolnego k jest wykonanie z wykładniczym wzrostem.
Przykład liniowego równania diofantycznego tej klasy uzupełnia dowód. Problem istnienia algorytmu rozwiązywania i rozpoznawania tych nierówności w liczbach wymiernych jest nadal uważany za ważne i otwarte pytanie, które nie zostało dostatecznie zbadane.
