Rozwiązywanie równań w matematyce zajmuje szczególne miejsce. Proces ten poprzedzony jest wielogodzinną nauką teorii, podczas której student uczy się rozwiązywania równań, określania ich postaci i doprowadzenia umiejętności do pełnego automatyzmu. Jednak poszukiwanie korzeni nie zawsze ma sens, ponieważ mogą po prostu nie istnieć. Istnieją specjalne metody wyszukiwania korzeni. W tym artykule przeanalizujemy główne funkcje, ich zakresy, a także przypadki, w których nie ma ich korzeni.
Które równanie nie ma pierwiastków?
Równanie nie ma pierwiastków, jeśli nie ma takich rzeczywistych argumentów x, dla których równanie jest identycznie prawdziwe. Dla niespecjalisty to sformułowanie, podobnie jak większość twierdzeń i formuł matematycznych, wygląda bardzo niejasno i abstrakcyjnie, ale tak jest w teorii. W praktyce wszystko staje się niezwykle proste. Na przykład: równanie 0x=-53 nie ma rozwiązania, ponieważ nie ma takiej liczby x, której iloczyn z zerem dałby coś innego niż zero.
Teraz przyjrzymy się najbardziej podstawowym typom równań.
1. Równanie liniowe
Równanie nazywamy liniowym, jeśli jego prawa i lewa część są reprezentowane jako funkcje liniowe: ax + b=cx + d lub w postaci uogólnionej kx + b=0. Gdzie a, b, c, d są znane liczb, a x jest nieznaną wielkością. Które równanie nie ma pierwiastków? Przykłady równań liniowych pokazano na poniższej ilustracji.
Zasadniczo równania liniowe są rozwiązywane przez proste przeniesienie części liczbowej do jednej części i zawartości x do drugiej. Okazuje się, że równanie ma postać mx \u003d n, gdzie m i n są liczbami, a x jest niewiadomą. Aby znaleźć x, wystarczy podzielić obie części przez m. Wtedy x=n/m. Zasadniczo równania liniowe mają tylko jeden pierwiastek, ale zdarzają się przypadki, gdy pierwiastków jest nieskończenie wiele lub wcale. Gdy m=0 i n=0, równanie przyjmuje postać 0x=0. Absolutnie dowolna liczba będzie rozwiązaniem takiego równania.
Ale jakie równanie nie ma pierwiastków?
Gdy m=0 i n=0, równanie nie ma pierwiastków ze zbioru liczb rzeczywistych. 0x=-1; 0x=200 - te równania nie mają pierwiastków.
2. Równanie kwadratowe
Równanie kwadratowe ma postać ax2 + bx + c=0 dla a=0. Najczęstszym sposobem rozwiązania równania kwadratowego jest rozwiązanie go przez wyróżnik. Wzór na znalezienie wyróżnika równania kwadratowego: D=b2 - 4ac. Następnie są dwa pierwiastki x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Kiedy D > 0 równanie ma dwa pierwiastki, gdy D=0 - jeden pierwiastek. Ale jakie równanie kwadratowe nie ma pierwiastków?Najłatwiej zaobserwować liczbę pierwiastków równania kwadratowego na wykresie funkcji, która jest parabolą. W > 0 gałęzie są skierowane do góry, w 63223 0 gałęzie są opuszczone. Jeżeli dyskryminator jest ujemny, takie równanie kwadratowe nie ma pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych.
Możesz także wizualnie określić liczbę pierwiastków bez obliczania dyskryminatora. Aby to zrobić, musisz znaleźć szczyt paraboli i określić, w którym kierunku skierowane są gałęzie. Współrzędną x wierzchołka można określić za pomocą wzoru: x0 =-b / 2a. W tym przypadku współrzędną y wierzchołka można znaleźć, po prostu podstawiając wartość x0 do oryginalnego równania.
Równanie kwadratowe x2 – 8x + 72=0 nie ma pierwiastków, ponieważ ma ujemny dyskryminator D=(–8)2 - 4172=-224. Oznacza to, że parabola nie dotyka osi x, a funkcja nigdy nie przyjmuje wartości 0, stąd równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
3. Równania trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne są uwzględniane na okręgu trygonometrycznym, ale mogą być również reprezentowane w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym artykule przyjrzymy się dwóm podstawowym funkcjom trygonometrycznym i ich równaniom: sinx i cosx. Ponieważ te funkcje tworzą okrąg trygonometryczny o promieniu 1, |sinx| i |cosx| nie może być większa niż 1. Więc które równanie sinx nie ma pierwiastków? Rozważmy wykres funkcji sinx przedstawiony na rysunkuponiżej.
Widzimy, że funkcja jest symetryczna i ma okres powtarzania 2pi. Na tej podstawie możemy powiedzieć, że maksymalna wartość tej funkcji może wynosić 1, a minimalna -1. Na przykład wyrażenie cosx=5 nie będzie miało pierwiastków, ponieważ jego modulo jest większe niż jeden.
To jest najprostszy przykład równań trygonometrycznych. W rzeczywistości ich rozwiązanie może zająć wiele stron, na końcu których zdajesz sobie sprawę, że użyłeś niewłaściwej formuły i musisz zacząć wszystko od nowa. Czasami nawet przy prawidłowym znalezieniu pierwiastków można zapomnieć o uwzględnieniu ograniczeń na ODZ, dlatego w odpowiedzi pojawia się dodatkowy pierwiastek lub interwał, a cała odpowiedź zamienia się w błędną. Dlatego ściśle przestrzegaj wszystkich ograniczeń, ponieważ nie wszystkie pierwiastki pasują do zakresu zadania.
4. Układy równań
Układ równań to zbiór równań połączonych nawiasami klamrowymi lub kwadratowymi. Nawiasy klamrowe oznaczają wspólne wykonanie wszystkich równań. Oznacza to, że jeśli przynajmniej jedno z równań nie ma pierwiastków lub jest sprzeczne z drugim, cały układ nie ma rozwiązania. Nawiasy kwadratowe oznaczają słowo „lub”. Oznacza to, że jeśli przynajmniej jedno z równań układu ma rozwiązanie, to cały układ ma rozwiązanie.
Odpowiedzią systemu z nawiasami kwadratowymi jest suma wszystkich pierwiastków poszczególnych równań. A systemy z nawiasami klamrowymi mają tylko wspólne korzenie. Układy równań mogą zawierać zupełnie różne funkcje, więc ta złożoność nie jestpozwala natychmiast stwierdzić, które równanie nie ma pierwiastków.
Uogólnienie i wskazówki dotyczące znajdowania pierwiastków równania
W książkach problemowych i podręcznikach są różne typy równań: te, które mają pierwiastki i te, które ich nie mają. Po pierwsze, jeśli nie możesz znaleźć korzeni, nie myśl, że w ogóle nie istnieją. Być może popełniłeś gdzieś błąd, więc po prostu sprawdź swoje rozwiązanie.
Omówiliśmy najbardziej podstawowe równania i ich typy. Teraz możesz stwierdzić, które równanie nie ma pierwiastków. W większości przypadków nie jest to wcale trudne. Aby osiągnąć sukces w rozwiązywaniu równań, wymagana jest tylko uwaga i koncentracja. Ćwicz więcej, pomoże ci to znacznie lepiej i szybciej poruszać się po materiale.
Więc równanie nie ma pierwiastków, jeśli:
- w równaniu liniowym mx=n wartość m=0 i n=0;
- w równaniu kwadratowym, jeśli dyskryminacja jest mniejsza od zera;
- w równaniu trygonometrycznym postaci cosx=m / sinx=n, jeśli |m| > 0, |n| > 0;
- w układzie równań z nawiasami klamrowymi, jeśli co najmniej jedno równanie nie ma pierwiastków, oraz z nawiasami kwadratowymi, jeśli wszystkie równania nie mają pierwiastków.
