Jedną z najtrudniejszych rzeczy do zrozumienia dla ucznia są różne działania z prostymi ułamkami. Wynika to z faktu, że dzieciom nadal trudno jest myśleć abstrakcyjnie, a ułamki w rzeczywistości tak właśnie dla nich wyglądają. Dlatego przy prezentowaniu materiału nauczyciele często uciekają się do analogii i wyjaśniają odejmowanie i dodawanie ułamków dosłownie na palcach. Chociaż żadna lekcja szkolnej matematyki nie może obejść się bez zasad i definicji.
Podstawowe koncepcje
Zanim zaczniesz jakiekolwiek działania z ułamkami, dobrze jest nauczyć się kilku podstawowych definicji i zasad. Na początku ważne jest, aby zrozumieć, czym jest ułamek. Rozumie się przez to liczbę reprezentującą jeden lub więcej ułamków jednostki. Na przykład, jeśli pokroisz bochenek na 8 części i położysz 3 plasterki na talerzu, to 3/8 będzie ułamkiem. Co więcej, w tym piśmie będzie to ułamek prosty, w którym liczba nad linią jest licznikiem, a poniżej mianownikiem. Ale jeśli zostanie zapisany jako 0,375, będzie to już ułamek dziesiętny.
Ponadto proste ułamki dzielą się na właściwe, niewłaściwe i mieszane. Te pierwsze obejmują wszystkie te, których licznik jest mniejszy niżmianownik. Jeśli wręcz przeciwnie, mianownik jest mniejszy niż licznik, będzie to już ułamek niewłaściwy. Jeśli przed prawidłową znajduje się liczba całkowita, mówią o liczbach mieszanych. Tak więc ułamek 1/2 jest poprawny, ale 7/2 nie. A jeśli napiszesz to w tej formie: 31/2, to się pomiesza.
Aby ułatwić zrozumienie, czym jest dodawanie ułamków i wykonać je z łatwością, należy również pamiętać o głównej właściwości ułamka. Jego istota jest następująca. Jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. To właśnie ta właściwość pozwala wykonywać najprostsze czynności ze zwykłymi i innymi ułamkami. W rzeczywistości oznacza to, że 1/15 i 3/45 to w rzeczywistości ta sama liczba.
Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ta czynność jest zwykle łatwa do wykonania. Dodawanie ułamków jest w tym przypadku bardzo podobne do działania z liczbami całkowitymi. Mianownik pozostaje niezmieniony, a liczniki są po prostu sumowane. Na przykład, jeśli chcesz dodać ułamki 2/7 i 3/7, rozwiązanie szkolnego problemu w zeszycie będzie wyglądać tak:
2/7 + 3/7=(2+3)/7=5/7.
Poza tym takie dodawanie ułamków można wyjaśnić na prostym przykładzie. Weź zwykłe jabłko i pokrój na przykład na 8 części. Rozłóż oddzielnie pierwsze 3 części, a następnie dodaj do nich kolejne 2. W rezultacie w filiżance będzie leżało 5/8 całego jabłka. Sam problem arytmetyczny jest napisany tak, jak pokazano poniżej:
3/8 + 2/8=(3+2)/8=5/8.
Dodanieułamki o różnych mianownikach
Ale często są trudniejsze problemy, w których trzeba dodać do siebie, na przykład 5/9 i 3/5. Tutaj pojawiają się pierwsze trudności w działaniach z ułamkami. W końcu dodanie takich liczb będzie wymagało dodatkowej wiedzy. Teraz będziesz musiał w pełni przypomnieć ich główną własność. Aby dodać ułamki z przykładu, najpierw należy je zredukować do jednego wspólnego mianownika. Aby to zrobić, po prostu pomnóż między sobą 9 i 5, pomnóż licznik „5” przez 5 i „3” przez 9. W ten sposób takie ułamki są już dodane: 25/45 i 27/45. Teraz pozostaje tylko dodać liczniki i uzyskać odpowiedź 52/45. Przykład na kartce papieru wyglądałby tak:
5/9 + 3/5=(5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9)=25/45 + 27/45=(25+27) /45=52/45=17/45.
Ale dodawanie ułamków z takimi mianownikami nie zawsze wymaga prostego mnożenia liczb pod wierszem. Najpierw poszukaj najniższego wspólnego mianownika. Na przykład jak dla frakcji 2/3 i 5/6. Dla nich będzie to numer 6. Ale odpowiedź nie zawsze jest oczywista. W takim przypadku warto pamiętać o zasadzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności (w skrócie LCM) dwóch liczb.
Jest to rozumiany jako najmniej wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych. Aby to znaleźć, rozłóż je na czynniki pierwsze. Teraz wypisz te z nich, które pojawiają się przynajmniej raz w każdej liczbie. Pomnóż je razem i uzyskaj ten sam mianownik. W rzeczywistości wszystko wygląda trochę prościej.
Na przykład potrzebujeszdodaj frakcje 4/15 i 1/6. Tak więc 15 otrzymuje się, mnożąc proste liczby 3 i 5, a sześć - dwa i trzy. Oznacza to, że LCM dla nich wyniesie 5 x 3 x 2=30. Teraz, dzieląc 30 przez mianownik pierwszego ułamka, otrzymamy czynnik dla jego licznika - 2. A dla drugiego ułamka będzie to liczba 5 Pozostaje więc dodać zwykłe ułamki 8/30 i 5/30 i uzyskać odpowiedź 13/30. Wszystko jest niezwykle proste. W notatniku zadanie to powinno być zapisane w następujący sposób:
4/15 + 1/6=(4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5)=8/30 + 5/30=13/30.
NOK (15, 6)=30.
Dodaj numery mieszane
Teraz, znając wszystkie podstawowe sztuczki dodawania prostych ułamków, możesz spróbować swoich sił w bardziej złożonych przykładach. I będą to liczby mieszane, co oznacza ułamek tego rodzaju: 22/3. Tutaj część całkowita jest zapisywana przed właściwym ułamkiem. I wielu jest zdezorientowanych, wykonując akcje z takimi liczbami. W rzeczywistości obowiązują tutaj te same zasady.
Aby dodać mieszane liczby razem, dodaj całe części i odpowiednie ułamki osobno. A potem te 2 wyniki są już zsumowane. W praktyce wszystko jest znacznie prostsze, wystarczy trochę poćwiczyć. Na przykład w zadaniu musisz dodać następujące liczby mieszane: 11/3 i 42 / 5. Aby to zrobić, najpierw dodaj 1 i 4, aby otrzymać 5. Następnie dodaj 1/3 i 2/5, używając techniki najmniej wspólnego mianownika. Decyzja zostanie wydana w dniu 15.11. A ostateczna odpowiedź to 511/15. W szkolnym zeszycie będzie wyglądać dużow skrócie:
11/3 + 42/5 =(1 + 4) + (1/3 + 2/5)=5 + 5/15 + 6/15=5 + 11/15=511/ 15.
Dodawanie ułamków dziesiętnych
Oprócz zwykłych ułamków zwykłych istnieją również ułamki dziesiętne. Nawiasem mówiąc, są one znacznie częstsze w życiu. Na przykład cena w sklepie często wygląda tak: 20,3 rubla. To ten sam ułamek. Oczywiście są one znacznie łatwiejsze do złożenia niż zwykłe. W zasadzie wystarczy dodać 2 zwykłe liczby, co najważniejsze, umieścić przecinek w odpowiednim miejscu. I tu pojawia się trudność.
Na przykład, musisz dodać ułamki dziesiętne 2, 5 i 0, 56. Aby to zrobić poprawnie, musisz dodać zero do pierwszego na końcu i wszystko będzie dobrze.
2, 50 + 0, 56=3, 06.
Ważne jest, aby wiedzieć, że każdy ułamek dziesiętny można przekonwertować na ułamek prosty, ale nie każdy ułamek prosty można zapisać jako ułamek dziesiętny. Tak więc w naszym przykładzie 2, 5=21/2 i 0,56=14/25. Ale taki ułamek jak 1/6 będzie tylko w przybliżeniu równy 0,16667. Ta sama sytuacja będzie z innymi podobnymi liczbami - 2/7, 1/9 i tak dalej.
Wniosek
Wiele uczniów, nie rozumiejących praktycznej strony działań z ułamkami, traktuje ten temat beztrosko. Jednak w starszych klasach ta podstawowa wiedza pozwoli Ci klikać jak orzechy na skomplikowanych przykładach z logarytmami i znajdować pochodne. Dlatego warto raz dobrze zrozumieć działania z ułamkami, aby później nie gryźć łokci z irytacji. W końcu trudno nauczycielem w liceumpowróci do tego, już przeszłego, tematu. Każdy uczeń szkoły średniej powinien być w stanie wykonać te ćwiczenia.
