Jednym z najtrudniejszych działów matematyki do dziś są ułamki. Historia frakcji ma więcej niż jedno tysiąclecie. Możliwość podziału całości na części powstała na terenie starożytnego Egiptu i Babilonu. Z biegiem lat operacje wykonywane na ułamkach komplikowały się, zmieniała się forma ich zapisu. Każdy stan starożytnego świata miał swoje własne cechy w „związkach” z tą sekcją matematyki.
Co to jest ułamek?
Kiedy trzeba było bez dodatkowego wysiłku podzielić całość na części, pojawiły się ułamki. Historia frakcji jest nierozerwalnie związana z rozwiązywaniem problemów utylitarnych. Sam termin „ułamek” ma arabskie korzenie i pochodzi od słowa oznaczającego „przełamać, dzielić”. Od czasów starożytnych niewiele się w tym zakresie zmieniło. Współczesna definicja jest następująca: ułamek to część lub suma części jednostki. W związku z tym przykłady z ułamkami reprezentują sekwencyjne wykonywanie operacji matematycznych na ułamkach liczb.
Dzisiaj są dwasposób, w jaki są rejestrowane. Ułamki zwykłe i dziesiętne powstały w różnym czasie: te pierwsze są bardziej starożytne.
Przyjdź od niepamiętnych czasów
Po raz pierwszy zaczęli działać z frakcjami na terytorium Egiptu i Babilonu. Podejście matematyków obu państw różniło się znacząco. Jednak gdzieniegdzie początek był taki sam. Pierwsza frakcja to połowa lub 1/2. Potem przyszła ćwierć, trzecia i tak dalej. Według wykopalisk archeologicznych historia powstania frakcji liczy około 5 tysięcy lat. Po raz pierwszy ułamki liczby znajdują się w egipskich papirusach i babilońskich glinianych tabliczkach.
Starożytny Egipt
Dzisiejsze typy zwykłych ułamków obejmują tak zwane ułamki egipskie. Są sumą kilku wyrazów postaci 1/n. Licznik to zawsze jeden, a mianownik to liczba naturalna. Takie ułamki pojawiły się, jakkolwiek trudno się domyślić, w starożytnym Egipcie. Przy obliczaniu wszystkich udziałów starano się je zapisać w postaci takich sum (np. 1/2 + 1/4 + 1/8). Tylko frakcje 2/3 i 3/4 miały odrębne oznaczenia, pozostałe podzielono na terminy. Były specjalne tabele, w których ułamki liczby były przedstawiane jako suma.
Najstarsze znane odniesienie do takiego systemu znajduje się w papirusie matematycznym Rhinda, datowanym na początek drugiego tysiąclecia p.n.e. Zawiera tabelę ułamków i problemów matematycznych z rozwiązaniami i odpowiedziami przedstawionymi jako sumy ułamków. Egipcjanie wiedzieli, jak dodawać, dzielić i mnożyć ułamki liczby. Strzały w Dolinie Niluzostały napisane przy użyciu hieroglifów.
Reprezentacja ułamka liczby jako suma wyrażeń postaci 1/n, charakterystyczna dla starożytnego Egiptu, była używana przez matematyków nie tylko w tym kraju. Do średniowiecza frakcje egipskie były używane w Grecji i innych stanach.
Rozwój matematyki w Babilonie
Matematyka wyglądała inaczej w królestwie babilońskim. Historia pojawienia się tutaj frakcji jest bezpośrednio związana ze specyfiką systemu liczbowego odziedziczonego przez starożytne państwo po jego poprzedniczce, cywilizacji sumeryjsko-akadyjskiej. Technika obliczeniowa w Babilonie była wygodniejsza i doskonalsza niż w Egipcie. Matematyka w tym kraju rozwiązała znacznie szerszy zakres problemów.
Dokonania Babilończyków można ocenić po zachowanych glinianych tabliczkach wypełnionych pismem klinowym. Ze względu na właściwości materiału przyszły do nas masowo. Według niektórych naukowców matematycy w Babilonie odkryli dobrze znane twierdzenie przed Pitagorasem, które niewątpliwie wskazuje na rozwój nauki w tym starożytnym stanie.
Ułamki: historia ułamków w Babilonie
System liczbowy w Babilonie był sześćdziesiętny. Każda nowa kategoria różniła się od poprzedniej o 60 lat. Taki system zachował się we współczesnym świecie do oznaczania czasu i kątów. Ułamki były również sześćdziesiętne. Do nagrywania wykorzystano specjalne ikony. Podobnie jak w Egipcie, przykłady ułamków zawierały oddzielne symbole 1/2, 1/3 i 2/3.
babilońskisystem nie zniknął wraz z państwem. Ułamki zapisane w systemie 60. były używane przez starożytnych i arabskich astronomów i matematyków.
Starożytna Grecja
Historia zwykłych frakcji nie była zbytnio wzbogacona w starożytnej Grecji. Mieszkańcy Hellady uważali, że matematyka powinna operować tylko liczbami całkowitymi. Dlatego wyrażenia z ułamkami na stronach starożytnych traktatów greckich praktycznie nie występowały. Jednak Pitagorejczycy wnieśli pewien wkład w tę gałąź matematyki. Ułamki rozumieli jako stosunki lub proporcje, a także uważali jednostkę za niepodzielną. Pitagoras i jego uczniowie zbudowali ogólną teorię ułamków, nauczyli się wykonywać wszystkie cztery operacje arytmetyczne, a także porównywać ułamki, redukując je do wspólnego mianownika.
Święte Cesarstwo Rzymskie
Rzymski system ułamków był powiązany z miarą wagi zwaną „osioł”. Został podzielony na 12 udziałów. 1/12 assa nazywano uncją. Było 18 nazw frakcji. Oto niektóre z nich:
- semis - pół dupy;
- sextante - szósty z rzędu;
- półuncja - pół uncji lub 1/24 asa.
Niedogodnością takiego systemu była niemożność przedstawienia liczby jako ułamka z mianownikiem 10 lub 100. Matematycy rzymscy pokonali tę trudność, używając procentów.
Zapisywanie wspólnych ułamków
W starożytności ułamki były już pisane w znany sposób: jedna liczba nad drugą. Była jednak jedna istotna różnica. Licznik znajdował siępod mianownikiem. Po raz pierwszy ułamki zaczęto pisać w ten sposób w starożytnych Indiach. Arabowie zaczęli stosować dla nas nowoczesny sposób. Ale żaden z tych ludów nie używał poziomej linii do oddzielenia licznika i mianownika. Po raz pierwszy pojawia się w pismach Leonarda z Pizy, lepiej znanego jako Fibonacci, w 1202.
Chiny
Jeśli historia zwykłych ułamków zwykłych zaczęła się w Egipcie, to ułamki dziesiętne pojawiły się po raz pierwszy w Chinach. W Imperium Niebieskim zaczęto ich używać od około III wieku p.n.e. Historia ułamków dziesiętnych rozpoczęła się od chińskiego matematyka Liu Hui, który zaproponował wykorzystanie ich do wyciągnięcia pierwiastków kwadratowych.
W III wieku naszej ery do obliczania masy i objętości zaczęto używać w Chinach ułamków dziesiętnych. Stopniowo zaczęli coraz głębiej wnikać w matematykę. Jednak w Europie ułamki dziesiętne weszły do użytku znacznie później.
Al-Kashi z Samarkandy
Niezależnie od chińskich poprzedników, ułamki dziesiętne zostały odkryte przez astronoma al-Kashi ze starożytnego miasta Samarkanda. Żył i pracował w XV wieku. Naukowiec przedstawił swoją teorię w traktacie „Klucz do arytmetyki”, który został opublikowany w 1427 roku. Al-Kashi zaproponował zastosowanie nowej formy zapisu ułamków. W jednym wierszu zapisano teraz zarówno części całkowite, jak i ułamkowe. Astronom z Samarkandy nie użył przecinka do ich oddzielenia. Całą liczbę i część ułamkową napisał różnymi kolorami, używając czarnego i czerwonego atramentu. Al-Kashi czasami używał również pionowego paska, aby je oddzielić.
Ułamki dziesiętne w Europie
Nowy rodzaj ułamków zaczął pojawiać się w pracach matematyków europejskich od XIII wieku. Należy zauważyć, że nie znali dzieł al-Kashi, a także wynalazku Chińczyków. Ułamki dziesiętne pojawiły się w pismach Jordana Nemorariusa. Następnie były używane już w XVI wieku przez Francois Viet. Francuski naukowiec napisał „Kanon matematyczny”, który zawierał tablice trygonometryczne. W nich Viet używał ułamków dziesiętnych. Aby oddzielić części całkowite i ułamkowe, naukowiec zastosował pionową linię, a także inny rozmiar czcionki.
Jednak były to tylko szczególne przypadki zastosowania naukowego. Aby rozwiązać codzienne problemy, nieco później w Europie zaczęto używać ułamków dziesiętnych. Stało się to za sprawą holenderskiego naukowca Simona Stevina pod koniec XVI wieku. Opublikował pracę matematyczną Dziesiąty w 1585 roku. Naukowiec przedstawił w nim teorię wykorzystania ułamków dziesiętnych w arytmetyce, w systemie monetarnym oraz do wyznaczania miar i wag.
Kropka, kropka, przecinek
Stevin też nie użył przecinka. Oddzielił dwie części ułamka zakreślonym zerem.
Pierwszy raz przecinek oddzielał dwie części ułamka dziesiętnego dopiero w 1592 roku. W Anglii jednak zamiast tego używano kropki. W Stanach Zjednoczonych ułamki dziesiętne są nadal zapisywane w ten sposób.
Jednym z inicjatorów użycia obu znaków interpunkcyjnych do oddzielenia części całkowitych i ułamkowych był szkocki matematyk John Napier. Swoją propozycję złożył w latach 1616-1617. użyty przecineki niemiecki naukowiec Johannes Kepler.
Ułamki w Rosji
Na ziemi rosyjskiej pierwszym matematykiem, który nakreślił podział całości na części, był nowogrodzki mnich Kirik. W 1136 napisał pracę, w której nakreślił metodę „obliczania lat”. Kirik zajmował się zagadnieniami chronologii i kalendarza. W swojej pracy przytoczył również podział godziny na części: piąte, dwudzieste piąte i tak dalej.
Podział całości na części zastosowano przy obliczaniu wysokości podatku w XV-XVII wieku. Wykorzystano operacje dodawania, odejmowania, dzielenia i mnożenia z częściami ułamkowymi.
Samo słowo „frakcja” pojawiło się w Rosji w VIII wieku. Pochodzi od czasownika „zmiażdżyć, podzielić na części”. Nasi przodkowie używali specjalnych słów do nazywania ułamków. Na przykład 1/2 zostało oznaczone jako pół lub pół, 1/4 - cztery, 1/8 - pół godziny, 1/16 - pół godziny i tak dalej.
Pełna teoria ułamków, niewiele różniąca się od współczesnej, została przedstawiona w pierwszym podręczniku arytmetyki, napisanym w 1701 roku przez Leonty Filippovich Magnitsky. „Arytmetyka” składała się z kilku części. Autor szczegółowo omawia ułamki w rozdziale „O liczbach linii łamanych lub z ułamkami”. Magnitsky podaje operacje z „zepsutymi” liczbami, ich różnymi oznaczeniami.
Dzisiaj ułamki nadal należą do najtrudniejszych działów matematyki. Historia frakcji również nie była prosta. Różne narody, czasem niezależnie od siebie, a czasem zapożyczając doświadczenia swoich poprzedników, doszły do potrzeby wprowadzania, opanowania i używania ułamków liczby. Doktryna ułamków zawsze wyrastała z praktycznych obserwacji i dzięki witalnościproblemy. Trzeba było dzielić chleb, oznaczać równe działki, obliczać podatki, mierzyć czas i tak dalej. Cechy użycia ułamków i operacji matematycznych z nimi zależały od systemu liczbowego w państwie i ogólnego poziomu rozwoju matematyki. Tak czy inaczej, po przejściu ponad tysiąca lat, sekcja algebry poświęcona ułamkom liczb ukształtowała się, rozwinęła i jest obecnie z powodzeniem wykorzystywana do różnych potrzeb, zarówno praktycznych, jak i teoretycznych.
