W naturze i technologii często spotykamy się z przejawem ruchu obrotowego ciał stałych, takich jak wały i koła zębate. Jak ten rodzaj ruchu jest opisany w fizyce, jakie wzory i równania są do tego wykorzystywane, te i inne kwestie są omówione w tym artykule.
Co to jest rotacja?
Każdy z nas intuicyjnie wyobraża sobie, o jakim ruchu mówimy. Rotacja to proces, w którym ciało lub punkt materialny porusza się po torze kołowym wokół pewnej osi. Z geometrycznego punktu widzenia oś obrotu ciała sztywnego jest linią prostą, której odległość pozostaje niezmienna podczas ruchu. Odległość ta nazywana jest promieniem obrotu. W dalszej części oznaczymy go literą r. Jeśli oś obrotu przechodzi przez środek masy ciała, nazywa się ją własną osią. Przykładem obrotu wokół własnej osi jest odpowiedni ruch planet Układu Słonecznego.
Aby nastąpił obrót, musi wystąpić przyspieszenie dośrodkowe, które występuje z powodusiła dośrodkowa. Siła ta kierowana jest od środka masy ciała do osi obrotu. Charakter siły dośrodkowej może być bardzo różny. Tak więc w skali kosmicznej grawitacja odgrywa swoją rolę, jeśli ciało jest przymocowane nitką, wówczas siła napięcia tego ostatniego będzie dośrodkowa. Kiedy ciało obraca się wokół własnej osi, rolę siły dośrodkowej odgrywa wewnętrzne oddziaływanie elektrochemiczne między pierwiastkami (cząsteczkami, atomami), które tworzą ciało.
Należy zrozumieć, że bez obecności siły dośrodkowej ciało porusza się w linii prostej.
Wielkości fizyczne opisujące obrót
Po pierwsze, jest to charakterystyka dynamiczna. Należą do nich:
- momentum L;
- moment bezwładności I;
- moment siły M.
Po drugie, są to cechy kinematyczne. Wymieńmy je:
- kąt obrotu θ;
- prędkość kątowa ω;
- przyspieszenie kątowe α.
Opiszmy pokrótce każdą z tych wielkości.
Pręd pędu jest określony wzorem:
L=pr=mvr
Gdzie p to pęd liniowy, m to masa punktu materialnego, v to jego prędkość liniowa.
Moment bezwładności punktu materialnego jest obliczany za pomocą wyrażenia:
I=mr2
Dla każdego obiektu o złożonym kształcie wartość I jest obliczana jako całkowita suma momentów bezwładności punktów materialnych.
Moment siły M jest obliczany w następujący sposób:
M=Fd
Tutaj F -siła zewnętrzna, d - odległość od punktu jej przyłożenia do osi obrotu.
Fizyczne znaczenie wszystkich wielkości, w imię których występuje słowo "moment", jest podobne do znaczenia odpowiadających im wielkości liniowych. Na przykład moment siły pokazuje zdolność przyłożonej siły do nadania przyspieszenia kątowego układowi obracających się ciał.
Cechy kinematyczne są matematycznie zdefiniowane za pomocą następujących wzorów:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Jak widać z tych wyrażeń, charakterystyki kątowe mają podobne znaczenie do liniowych (prędkość v i przyspieszenie a), tylko że mają zastosowanie do trajektorii kołowej.
Dynamika rotacji
W fizyce badanie ruchu obrotowego ciała sztywnego odbywa się za pomocą dwóch gałęzi mechaniki: dynamiki i kinematyki. Zacznijmy od dynamiki.
Dynamika bada siły zewnętrzne działające na układ obracających się ciał. Zapiszmy od razu równanie ruchu obrotowego ciała sztywnego, a następnie przeanalizujemy jego części składowe. Więc to równanie wygląda tak:
M=Iα
Moment siły, który działa na układ z momentem bezwładności I, powoduje pojawienie się przyspieszenia kątowego α. Im mniejsza wartość I, tym łatwiej za pomocą pewnego momentu M rozkręcić układ do dużych prędkości w krótkich odstępach czasu. Na przykład metalowy pręt łatwiej obraca się wzdłuż własnej osi niż prostopadle do niego. Jednak łatwiej jest obrócić ten sam pręt wokół osi prostopadłej do niego i przechodzącej przez środek masy niż przez jego koniec.
Prawo ochronnewartości L
Ta wartość została wprowadzona powyżej i nazywa się momentem pędu. Przedstawione w poprzednim akapicie równanie ruchu obrotowego ciała sztywnego jest często zapisywane w innej postaci:
Mdt=dL
Jeżeli moment sił zewnętrznych M działa na układ w czasie dt, to powoduje zmianę momentu pędu układu o dL. Odpowiednio, jeśli moment sił jest równy zero, to L=const. To jest prawo zachowania wartości L. W tym celu, korzystając z zależności między prędkością liniową i kątową, możemy napisać:
L=mvr=mωr2=Iω.
Tak więc przy braku momentu sił iloczyn prędkości kątowej i momentu bezwładności jest wartością stałą. To prawo fizyczne jest używane przez łyżwiarzy figurowych w ich występach lub przez sztuczne satelity, które muszą być obracane wokół własnej osi w przestrzeni kosmicznej.
Przyspieszenie dośrodkowe
Powyżej, w badaniu ruchu obrotowego ciała sztywnego, wielkość ta została już opisana. Zwrócono również uwagę na charakter sił dośrodkowych. Tutaj tylko uzupełnimy te informacje i podamy odpowiednie wzory do obliczenia tego przyspieszenia. Oznacz to ac.
Ponieważ siła dośrodkowa jest skierowana prostopadle do osi i przechodzi przez nią, nie tworzy momentu. Oznacza to, że siła ta nie ma absolutnie żadnego wpływu na kinematyczną charakterystykę obrotu. Tworzy jednak przyspieszenie dośrodkowe. Podajemy dwie formuły najego definicje:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
Tak więc, im większa prędkość kątowa i promień, tym większa siła musi być przyłożona, aby utrzymać ciało na torze kołowym. Uderzającym przykładem tego fizycznego procesu jest poślizg samochodu podczas skrętu. Poślizg występuje, gdy siła dośrodkowa, którą odgrywa siła tarcia, staje się mniejsza niż siła odśrodkowa (charakterystyka bezwładności).
Kinematyka obrotu
Trzy główne cechy kinematyczne zostały wymienione powyżej w artykule. Kinematykę ruchu obrotowego bryły sztywnej opisują następujące wzory:
θ=ωt=>ω=const., α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=const.
Pierwszy wiersz zawiera wzory na obrót jednostajny, który zakłada brak zewnętrznego momentu sił działających na układ. Drugi wiersz zawiera wzory na ruch jednostajnie przyspieszony po okręgu.
Zauważ, że obrót może wystąpić nie tylko przy dodatnim przyspieszeniu, ale także przy ujemnym. W takim przypadku we wzorach drugiego wiersza umieść znak minus przed drugim wyrazem.
Przykład rozwiązywania problemów
Moment siły 1000 Nm działał na metalowy wałek przez 10 sekund. Wiedząc, że moment bezwładności wału wynosi 50kgm2, konieczne jest wyznaczenie prędkości kątowej, jaką wspomniany moment siły nadał wałowi.
Stosując podstawowe równanie obrotu, obliczamy przyspieszenie wału:
M=Iα=>
α=M/I.
Ponieważ to przyspieszenie kątowe działało na wał w czasie t=10 sekund, do obliczenia prędkości kątowej używamy wzoru na ruch jednostajnie przyspieszony:
ω=ω0+ αt=M/It.
Tutaj ω0=0 (wał nie obracał się aż do momentu siły M).
Zamień wartości liczbowe wielkości na równość, otrzymujemy:
ω=1000/5010=200 rad/s.
Aby przeliczyć tę liczbę na zwykłe obroty na sekundę, musisz podzielić ją przez 2pi. Po wykonaniu tej czynności otrzymujemy, że wał będzie się obracał z częstotliwością 31,8 obr./min.
