W matematyce istnieje pojęcie „zbiór”, a także przykłady porównywania tych samych zbiorów ze sobą. Nazwy rodzajów porównywania zbiorów to słowa: bijection, injection, surjection. Każdy z nich został szczegółowo opisany poniżej.
Objekt to… co to jest?
Jedna grupa elementów z pierwszego zestawu jest dopasowywana do drugiej grupy elementów z drugiego zestawu w tej formie: każdy element z pierwszej grupy jest bezpośrednio dopasowywany do innego elementu z drugiej grupy, a tam nie ma sytuacji z niedoborem lub wyliczeniem elementów dowolnego lub z dwóch grup zbiorów.
Sformułowanie głównych właściwości:
- Jeden element do jednego.
- Nie ma żadnych dodatkowych elementów podczas dopasowywania, a pierwsza właściwość jest zachowywana.
- Możliwe jest odwrócenie mapowania przy zachowaniu ogólnego widoku.
- Bijection to funkcja, która jest zarówno iniekcyjna, jak i surjektywna.
Bijection z naukowego punktu widzenia
Funkcje bijective to dokładnie izomorfizmy w kategorii „zbiór i zbiór funkcji”. Jednak bijekcje nie zawsze są izomorfizmami dla bardziej złożonych kategorii. Na przykład w pewnej kategorii grup morfizmy muszą być homomorfizmami, ponieważ muszą zachowywać strukturę grupy. Dlatego izomorfizmy to izomorfizmy grupowe, które są homomorfizmami bijektywnymi.
Koncepcja „korespondencji jeden do jednego” jest uogólniona do funkcji częściowych, gdzie nazywa się je częściowymi bijekcjami, chociaż częściowa bijekcja jest tym, co powinno być wstrzyknięciem. Powodem tego rozluźnienia jest to, że funkcja częściowa (właściwa) nie jest już zdefiniowana dla części jej dziedziny. Nie ma więc powodu, aby ograniczać jego funkcję odwrotną do pełnej, tj. zdefiniowanej wszędzie w swojej dziedzinie. Zbiór wszystkich częściowych bijekcji na dany zbiór bazowy nazywa się symetryczną półgrupą odwrotną.
Inny sposób zdefiniowania tego samego pojęcia: warto powiedzieć, że częściowa bijekcja zbiorów od A do B to dowolna relacja R (funkcja cząstkowa) o własności, że R jest grafem bijekcyjnym f:A'→B ' gdzie A' jest podzbiorem A, a B' jest podzbiorem B.
Kiedy częściowa bijekcja jest na tym samym zestawie, jest czasami nazywana częściową transformacją jeden do jednego. Przykładem jest transformacja Möbiusa właśnie zdefiniowana na płaszczyźnie zespolonej, a nie jej zakończenie w rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej.
Wtrysk
Jedna grupa elementów z pierwszego zestawu jest dopasowywana do drugiej grupy elementów z drugiego zestawu w tej formie: każdy element z pierwszej grupy jest dopasowywany do innego elementu z drugiego zestawu, ale nie do wszystkich są one zamieniane na pary. Liczba niesparowanych elementów zależy od różnicy w liczbie tych samych elementów w każdym z zestawów: jeśli jeden zestaw składa się z trzydziestu jeden elementów, a drugi ma siedem więcej, to liczba niesparowanych elementów wynosi siedem. Wtrysk bezpośredni do zestawu. Bijection i wtrysk są podobne, ale nic więcej niż podobne.
Surjekt
Jedna grupa elementów z pierwszego zestawu jest dopasowywana do drugiej grupy elementów z drugiego zestawu w ten sposób: każdy element dowolnej grupy tworzy parę, nawet jeśli istnieje różnica między liczbą elementów. Wynika z tego, że jeden element z jednej grupy może sparować się z kilkoma elementami z innej grupy.
Ani funkcja bijektywna, ani iniektywna, ani surjektywna
Jest to funkcja formy bijektywnej i surjektywnej, ale z resztą (niesparowaną)=> wtryskiem. W takiej funkcji istnieje wyraźny związek między bijekcją a surjekcją, ponieważ zawiera ona bezpośrednio te dwa rodzaje porównań zbiorów. Tak więc całość wszystkich rodzajów tych funkcji nie jest jedną z nich w izolacji.
Wyjaśnienie wszystkich rodzajów funkcji
Na przykład obserwator jest zafascynowany następującymi elementami. Są zawody łucznicze. Każdy zuczestnicy chcą trafić w cel (aby ułatwić zadanie: dokładnie tam, gdzie trafiona strzała nie jest brana pod uwagę). Tylko trzech uczestników i trzy cele - to pierwsza strona (strona) turnieju. W kolejnych sekcjach liczba łuczników jest zachowana, ale zmienia się liczba celów: na drugim - cztery cele, na kolejnym - również cztery, a na czwartym - pięć. Każdy uczestnik strzela do każdego celu.
- Pierwsze miejsce turnieju. Pierwszy łucznik trafia tylko w jeden cel. Drugi trafia tylko w jeden cel. Trzeci powtarza się za pozostałymi i wszyscy łucznicy trafiają w różne cele: te, które znajdują się naprzeciw nich. W rezultacie 1 (pierwszy łucznik) trafił w tarczę (a), 2 - w (b), 3 - w (c). Obserwuje się następującą zależność: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Wnioskiem będzie osąd, że takie porównanie zbiorów to bijekcja.
- Druga platforma turnieju. Pierwszy łucznik trafia tylko w jeden cel. Drugi trafia również tylko w jeden cel. Trzeci właściwie nie próbuje i powtarza wszystko za innymi, ale warunek jest ten sam - wszyscy łucznicy trafiają w różne cele. Ale, jak wspomniano wcześniej, na drugiej platformie są już cztery cele. Zależność: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - niesparowany element zbioru. W tym przypadku wnioskiem będzie osąd, że takie porównanie zestawu to wtrysk.
- Trzecie miejsce turnieju. Pierwszy łucznik trafia tylko w jeden cel. Drugi trafia ponownie tylko w jeden cel. Trzeci postanawia zebrać się w sobie i trafia w trzeci i czwarty cel. W rezultacie zależność: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Tutaj wnioskiem będzie osąd, że takie porównanie zbiorów jest przypuszczeniem.
- Czwarta platforma turnieju. Z pierwszym wszystko jest już jasne, trafia tylko w jeden cel, w którym niedługo nie będzie miejsca na już nudne trafienia. Teraz drugi wciela się w niedawną jeszcze trzecią i ponownie trafia tylko w jeden cel, powtarzając za pierwszym. Trzeci nadal panuje nad sobą i nie przestaje wprowadzać swojej strzały do trzeciego i czwartego celu. Jednak piąty był nadal poza jego kontrolą. Tak więc zależność: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - niesparowany element zbioru celów. Wniosek: takie porównanie zbiorów to nie przypuszczenie, nie zastrzyki, ani bijekcja.
Teraz skonstruowanie bijekcji, wtrysku lub sujekcji nie będzie problemem, podobnie jak znalezienie różnic między nimi.
