Ruch ciała pod kątem do horyzontu: wzory, obliczanie zasięgu lotu i maksymalnej wysokości startu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Podczas badania ruchu mechanicznego w fizyce, po zapoznaniu się z ruchem jednostajnym i jednostajnie przyspieszonym obiektów, przystępują do rozważania ruchu ciała pod kątem do horyzontu. W tym artykule przyjrzymy się temu problemowi bardziej szczegółowo.

Jaki jest ruch ciała pod kątem do horyzontu?

Ten rodzaj ruchu obiektu występuje, gdy osoba rzuca kamieniem w powietrze, armata wystrzeliwuje kulę armatnią lub bramkarz wykopuje piłkę nożną z bramki. Wszystkie takie przypadki są rozpatrywane przez naukę balistyki.

Zauważony rodzaj ruchu obiektów w powietrzu występuje po trajektorii parabolicznej. W ogólnym przypadku wykonanie odpowiednich obliczeń nie jest łatwym zadaniem, ponieważ należy wziąć pod uwagę opór powietrza, obrót ciała podczas lotu, obrót Ziemi wokół własnej osi i kilka innych czynników.

W tym artykule nie będziemy brać pod uwagę wszystkich tych czynników, ale rozważymy problem z czysto teoretycznego punktu widzenia. Jednak otrzymane formuły są całkiem dobreopisz trajektorie ciał poruszających się na krótkich dystansach.

Uzyskiwanie wzorów dla rozważanego typu ruchu

Wyprowadźmy wzory na ruch ciała do horyzontu pod kątem. W tym przypadku weźmiemy pod uwagę tylko jedną siłę działającą na obiekt latający - grawitację. Ponieważ działa ona pionowo w dół (równolegle do osi y i przeciwnie), to biorąc pod uwagę poziomą i pionową składową ruchu, można powiedzieć, że pierwsza będzie miała charakter ruchu jednostajnego prostoliniowego. A drugi - równie powolny (równomiernie przyspieszony) ruch prostoliniowy z przyspieszeniem g. Oznacza to, że składowe prędkości poprzez wartość v₀ (prędkość początkowa) i θ (kąt kierunku ruchu ciała) zostaną zapisane w następujący sposób:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

Pierwsza formuła (dla v_x) jest zawsze ważna. Jeśli chodzi o drugi, należy zwrócić uwagę na jeden niuans: znak minus przed iloczynem gt jest umieszczany tylko wtedy, gdy pionowa składowa v₀sin(θ) jest skierowana do góry. W większości przypadków jednak tak się dzieje, jeśli rzucisz ciało z wysokości, kierując je w dół, to w wyrażeniu na v_y powinieneś umieścić znak "+" przed g t.

Całkując wzory na składowe prędkości w czasie i biorąc pod uwagę wysokość początkową h lotu ciała, otrzymujemy równania na współrzędne:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Oblicz zasięg lotu

Rozważając w fizyce ruch ciała do horyzontu pod kątem przydatnym do praktycznego zastosowania, okazuje się, że oblicza się zasięg lotu. Zdefiniujmy to.

Ponieważ ten ruch jest ruchem jednostajnym bez przyspieszenia, wystarczy zastąpić go czasem lotu i uzyskać pożądany efekt. Zasięg lotu zależy wyłącznie od ruchu wzdłuż osi x (równolegle do horyzontu).

Czas, w którym ciało znajduje się w powietrzu, można obliczyć, przyrównując współrzędną y do zera. Mamy:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

To równanie kwadratowe jest rozwiązywane przez dyskryminację, otrzymujemy:

D=b²- 4ac=v₀²grzech ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

W ostatnim wyrażeniu jeden pierwiastek ze znakiem minus jest odrzucany ze względu na jego nieznaczną wartość fizyczną. Podstawiając czas lotu t do wyrażenia za x, otrzymujemy zakres lotu l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

Najłatwiejszym sposobem analizy tego wyrażenia jest wysokość początkowajest równy zero (h=0), to otrzymujemy prosty wzór:

l=v ₀²sin(2θ)/g

To wyrażenie wskazuje, że maksymalny zasięg lotu można uzyskać, jeśli ciało zostanie rzucone pod kątem 45^o(sin(245^o )=m1).

Maksymalna wysokość ciała

Oprócz zasięgu lotu, przydatne jest również określenie wysokości nad ziemią, na którą ciało może się wznieść. Ponieważ ten rodzaj ruchu opisuje parabola, której gałęzie skierowane są w dół, maksymalna wysokość podnoszenia jest jego ekstremum. To ostatnie oblicza się, rozwiązując równanie pochodnej względem t dla y:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Podstawiamy tym razem do równania y, otrzymujemy:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

To wyrażenie wskazuje, że ciało wzniesie się na maksymalną wysokość, jeśli zostanie rzucone pionowo w górę (sin²(90^o)=1).