Ciało rzucone pod kątem do horyzontu: rodzaje trajektorii, wzory

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Każdy z nas rzucał kamieniami w niebo i obserwował trajektorię swojego upadku. To najczęstszy przykład ruchu ciała sztywnego w polu sił grawitacyjnych naszej planety. W tym artykule rozważymy wzory, które mogą być przydatne do rozwiązywania problemów ze swobodnym ruchem ciała rzuconego pod kątem do horyzontu.

Koncepcja poruszania się w kierunku horyzontu pod kątem

Gdy jakiś stały obiekt otrzymuje prędkość początkową i zaczyna nabierać wysokości, a następnie ponownie opada na ziemię, ogólnie przyjmuje się, że ciało porusza się po trajektorii parabolicznej. W rzeczywistości rozwiązanie równań dla tego typu ruchu pokazuje, że linia opisana przez ciało w powietrzu jest częścią elipsy. Jednak w praktycznym zastosowaniu przybliżenie paraboliczne okazuje się dość wygodne i prowadzi do dokładnych wyników.

Przykłady ruchu ciała rzuconego pod kątem do horyzontu to wystrzelenie pocisku z lufy armatniej, kopanie piłki, a nawet skakanie kamyków na powierzchni wody ("ropuchy"), które są trzymanymiędzynarodowe zawody.

Rodzaj ruchu pod kątem jest badany przez balistykę.

Właściwości rozważanego typu ruchu

Rozważając trajektorię ciała w polu sił grawitacyjnych Ziemi, prawdziwe są następujące stwierdzenia:

• znajomość początkowej wysokości, prędkości i kąta względem horyzontu pozwala obliczyć całą trajektorię;
• kąt zejścia jest równy kątowi padania ciała, pod warunkiem, że wysokość początkowa wynosi zero;
• ruch pionowy można rozpatrywać niezależnie od ruchu poziomego;

Zauważ, że te właściwości są ważne, jeśli siła tarcia podczas lotu ciała jest znikoma. W balistyce, badając lot pocisków, bierze się pod uwagę wiele różnych czynników, w tym tarcie.

Rodzaje ruchu parabolicznego

W zależności od wysokości, z której zaczyna się ruch, na jakiej wysokości się kończy i jak ukierunkowana jest prędkość początkowa, rozróżnia się następujące rodzaje ruchu parabolicznego:

• Pełna parabola. W tym przypadku ciało jest zrzucane z powierzchni ziemi i spada na tę powierzchnię, opisując kompletną parabolę.
• Połowa paraboli. Taki wykres ruchu ciała jest obserwowany, gdy jest rzucane z pewnej wysokości h, kierując prędkość v równolegle do horyzontu, czyli pod kątem θ=0^o.
• Część paraboli. Takie trajektorie powstają, gdy ciało jest rzucane pod pewnym kątem θ≠0^o, a różnicawysokość początku i końca są również różne od zera (h-h₀≠0). Większość trajektorii ruchu obiektów jest tego typu. Na przykład strzał z armaty stojącej na wzgórzu lub koszykarz rzucający piłkę do kosza.

Wykres ruchu ciała odpowiadający pełnej paraboli pokazano powyżej.

Wymagane formuły do obliczeń

Podajmy wzory opisujące ruch ciała rzuconego pod kątem do horyzontu. Pomijając siłę tarcia, a biorąc pod uwagę tylko siłę grawitacji, możemy napisać dwa równania na prędkość obiektu:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Ponieważ grawitacja jest skierowana pionowo w dół, nie zmienia składowej poziomej prędkości v_x, więc nie ma zależności czasowej w pierwszej równości. Z kolei na składową v_y wpływa grawitacja, która daje g przyspieszenie ciała skierowanego w stronę ziemi (stąd znak minus we wzorze).

Teraz napiszmy wzory na zmianę współrzędnych ciała rzuconego pod kątem do horyzontu:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Współrzędna początkowa x₀często przyjmowana jest jako zero. Współrzędna y₀ to nic innego jak wysokość h, z której zrzucane jest ciało (y₀=h).

Teraz wyrażamy czas t z pierwszego wyrażenia i podstawiamy go do drugiego, otrzymujemy:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

To wyrażenie w geometrii odpowiada paraboli, której gałęzie są skierowane w dół.

Powyższe równania są wystarczające do określenia dowolnych cech tego typu ruchu. Tak więc ich rozwiązanie prowadzi do tego, że maksymalny zasięg lotu osiągany jest, gdy θ=45^o, natomiast maksymalna wysokość, na jaką wznosi się wyrzucone ciało, osiągana jest, gdy θ=90o.