Paradoks Bertranda jest problemem w klasycznej interpretacji teorii prawdopodobieństwa. Joseph przedstawił to w swojej pracy Calcul des probabilités (1889) jako przykład, że prawdopodobieństwa nie mogą być dobrze zdefiniowane, jeśli mechanizm lub metoda wytwarza zmienną losową.
Oświadczenie o problemie
Paradoks Bertranda jest następujący.
Najpierw rozważ trójkąt równoboczny wpisany w okrąg. W takim przypadku średnica jest wybierana losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest dłuższy niż bok trójkąta?
Bertrand przedstawił trzy argumenty, z których wszystkie wydają się poprawne, ale dają różne wyniki.
Metoda losowego punktu końcowego
Musisz wybrać dwa miejsca na okręgu i narysować łączący je łuk. Do obliczeń bierze się pod uwagę paradoks prawdopodobieństwa Bertranda. Należy sobie wyobrazić, że trójkąt jest obrócony tak, że jego wierzchołek pokrywa się z jednym z punktów końcowych cięciwy. Warto zapłacićzauważ, że jeśli druga część znajduje się na łuku między dwoma miejscami, okrąg jest dłuższy niż bok trójkąta. Długość łuku to jedna trzecia okręgu, więc prawdopodobieństwo, że losowy cięciw jest dłuższy wynosi 1/3.
Metoda wyboru
Konieczne jest wybranie promienia okręgu i punktu na nim. Następnie musisz zbudować akord przez to miejsce, prostopadłe do średnicy. Aby obliczyć rozważany paradoks Bertranda teorii prawdopodobieństwa, należy wyobrazić sobie, że trójkąt jest obrócony tak, że bok jest prostopadły do promienia. Cięciwa jest dłuższa niż noga, jeśli wybrany punkt znajduje się bliżej środka okręgu. W tym przypadku bok trójkąta przecina promień na pół. Dlatego prawdopodobieństwo, że cięciwa jest dłuższe niż bok figury wpisanej wynosi 1/2.
Losowe akordy
Metoda punktu środkowego. Należy wybrać miejsce na kole i stworzyć akord z zadanym środkiem. Oś jest dłuższa niż krawędź wpisanego trójkąta, jeśli wybrane położenie znajduje się w koncentrycznym okręgu o promieniu 1/2. Powierzchnia mniejszego koła to jedna czwarta większej figury. Dlatego prawdopodobieństwo losowego cięciwy jest dłuższe niż bok trójkąta wpisanego i wynosi 1/4.
Jak przedstawiono powyżej, metody selekcji różnią się wagą, jaką nadają poszczególnym cięciwom, które są średnicami. W metodzie 1 każdy cięciw może być wybrany dokładnie w jeden sposób, niezależnie od tego, czy jest to średnica.
W metodzie 2 każdą linię prostą można wybrać na dwa sposoby. Natomiast dowolny inny akord zostanie wybranytylko jedna z możliwości.
W metodzie 3 każdy wybór punktu środkowego ma jeden parametr. Z wyjątkiem środka koła, który jest środkiem wszystkich średnic. Tych problemów można uniknąć, „porządkując” wszystkie pytania, aby wykluczyć parametry bez wpływu na wynikowe prawdopodobieństwa.
Wybór metod można również zwizualizować w następujący sposób. Cięciwa, która nie jest średnicą, jest jednoznacznie identyfikowana przez jej punkt środkowy. Każda z trzech przedstawionych powyżej metod selekcji daje inny rozkład środka. A opcje 1 i 2 zapewniają dwie różne niejednorodne partycje, podczas gdy metoda 3 zapewnia równomierny rozkład.
Klasyczny paradoks rozwiązania problemu Bertranda zależy od metody, w której akord jest wybierany „losowo”. Okazuje się, że jeśli z góry określony zostanie sposób losowania, problem ma dobrze określone rozwiązanie. Dzieje się tak, ponieważ każda pojedyncza metoda ma swój własny rozkład akordów. Trzy orzeczenia przedstawione przez Bertranda odpowiadają różnym sposobom selekcji, a wobec braku dalszych informacji nie ma powodu, aby faworyzować jedno względem drugiego. W związku z tym wskazany problem nie ma jednego rozwiązania.
Przykładem, jak sprawić, by ogólna odpowiedź była unikalna, jest określenie, że punkty końcowe cięciwy są równomiernie rozmieszczone między 0 i c, gdzie c jest obwodem okręgu. Ten rozkład jest taki sam jak w pierwszym argumencie Bertranda, a wynikowe unikalne prawdopodobieństwo wyniesie 1/3.
Ten paradoks Bertranda Russella i inne wyjątkowości klasykiinterpretacje możliwości uzasadniają bardziej rygorystyczne sformułowania. W tym częstotliwość prawdopodobieństwa i subiektywistyczna teoria bayesowska.
Co leży u podstaw paradoksu Bertranda
W swoim artykule z 1973 roku „Dobrze postawiony problem” Edwin Jaynes zaproponował swoje unikalne rozwiązanie. Zauważył, że paradoks Bertranda opiera się na przesłance opartej na zasadzie „maksymalnej ignorancji”. Oznacza to, że nie należy używać żadnych informacji, których nie podano w opisie problemu. Jaynes zwrócił uwagę, że problem Bertranda nie determinuje położenia ani rozmiaru koła. I argumentował, że w związku z tym każda ostateczna i obiektywna decyzja musi być „obojętna” na rozmiar i pozycję.
Dla ilustracji
Zakładając, że wszystkie akordy są ułożone losowo na 2 cm kole, teraz musisz rzucić w niego słomkami z daleka.
Następnie musisz wziąć inny okrąg o mniejszej średnicy (na przykład 1 centymetr), który pasuje do większej figury. Wtedy rozkład akordów na tym mniejszym kole powinien być taki sam jak na maksymalnym. Jeśli druga cyfra również porusza się wewnątrz pierwszej, prawdopodobieństwo w zasadzie nie powinno się zmienić. Bardzo łatwo zauważyć, że dla metody 3 nastąpi następująca zmiana: rozkład akordów na małym czerwonym kole będzie jakościowo inny niż rozkład na dużym kole.
To samo dzieje się w przypadku metody 1. Chociaż jest to trudniejsze do zobaczenia w widoku graficznym.
Metoda 2 jest jedynaco okazuje się być zarówno skalą, jak i niezmiennikiem tłumaczenia.
Metoda numer 3 wydaje się być po prostu rozszerzalna.
Metoda 1 to żadna.
Jednak Janes nie używał łatwo niezmienników, aby zaakceptować lub odrzucić te metody. Pozostawiłoby to możliwość, że istnieje inna nieopisana metoda, która pasowałaby do jej aspektów o rozsądnym znaczeniu. Jaynes zastosował równania całkowe opisujące niezmienności. Bezpośrednie określenie rozkładu prawdopodobieństwa. W jego problemie równania całkowe rzeczywiście mają unikalne rozwiązanie i to jest dokładnie to, co zostało nazwane drugą metodą promieni losowych powyżej.
W artykule z 2015 r. Alon Drory twierdzi, że zasada Jaynesa może również przynieść dwa inne rozwiązania Bertranda. Autor zapewnia, że matematyczna implementacja powyższych właściwości niezmienności nie jest unikalna, ale zależy od podstawowej procedury losowania, którą dana osoba zdecyduje się zastosować. Pokazuje, że każde z trzech rozwiązań Bertranda można uzyskać za pomocą niezmienności rotacyjnej, skalującej i translacyjnej. Jednocześnie stwierdzenie, że zasada Jaynesa jest tak samo podatna na interpretację, jak sam tryb obojętności.
Eksperymenty fizyczne
Metoda 2 jest jedynym rozwiązaniem, które spełnia niezmienniki transformacji obecne w określonych koncepcjach fizjologicznych, takich jak mechanika statystyczna i struktura gazu. Również w proponowanymEksperyment Janesa z rzucaniem słomek z małego koła.
Jednakże można zaprojektować inne praktyczne eksperymenty, które dostarczają odpowiedzi zgodnie z innymi metodami. Na przykład, aby znaleźć rozwiązanie dla pierwszej metody losowego punktu końcowego, możesz dołączyć licznik do środka obszaru. I niech wyniki dwóch niezależnych obrotów podkreślą końcowe miejsca akordu. Aby dojść do rozwiązania trzeciej metody, można pokryć okrąg np. melasą i zaznaczyć pierwszy punkt, w którym mucha ląduje jako cięciwa środkowa. Kilku kontemplatorów stworzyło badania w celu wyciągnięcia różnych wniosków i potwierdziło wyniki empirycznie.
Ostatnie wydarzenia
W swoim artykule z 2007 roku „Paradoks Bertranda i zasada obojętności” Nicholas Shackel twierdzi, że ponad sto lat później problem nadal pozostaje nierozwiązany. Następnie obala zasadę obojętności. Co więcej, w swoim artykule z 2013 r. „The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical” Darrell R. Robottom pokazuje, że wszystkie proponowane orzeczenia nie mają nic wspólnego z jego własnym pytaniem. Okazało się więc, że paradoks będzie znacznie trudniejszy do rozwiązania niż wcześniej sądzono.
Shackel podkreśla, że do tej pory wielu naukowców i ludzi z dala od nauki próbowało rozwiązać paradoks Bertranda. Nadal można go przezwyciężyć za pomocą dwóch różnych podejść.
Te, w których brano pod uwagę różnicę między problemami nierównoważnymi, a tymi, w których problem był zawsze uważany za poprawny. Shackel cytuje Louisa w swoich książkachMarinoff (jako typowy wykładnik strategii różnicowania) i Edwin Jaynes (jako autor przemyślanej teorii).
Jednakże w swojej ostatniej pracy Rozwiązywanie złożonego problemu Diederik Aerts i Massimiliano Sassoli de Bianchi uważają, że aby rozwiązać paradoks Bertranda, należy szukać przesłanek w strategii mieszanej. Według tych autorów, pierwszym krokiem jest rozwiązanie problemu poprzez jasne określenie charakteru randomizowanego podmiotu. I dopiero po wykonaniu tej czynności każdy problem można uznać za poprawny. Tak myśli Janes.
Więc zasada maksymalnej ignorancji może być wykorzystana do rozwiązania tego problemu. W tym celu, a ponieważ problem nie precyzuje, w jaki sposób należy dobrać akord, zasada ta jest stosowana nie na poziomie różnych możliwości, ale na znacznie głębszym.
Wybór części
Ta część problemu wymaga obliczenia metaśredniej na wszystkie możliwe sposoby, którą autorzy nazywają średnią uniwersalną. Aby sobie z tym poradzić, stosują metodę dyskretyzacji. Zainspirowany tym, co robi się przy definiowaniu prawa prawdopodobieństwa w procesach Wienera. Ich wynik jest zgodny z liczbowym następstwem Jaynesa, chociaż ich dobrze postawiony problem różni się od oryginalnego autora.
W ekonomii i handlu Paradoks Bertranda, nazwany na cześć jego twórcy Josepha Bertranda, opisuje sytuację, w której dwóch graczy (firmy) osiąga równowagę Nasha. Gdy obie firmy ustalą cenę równą kosztowi krańcowemu(MS).
Paradok Bertranda opiera się na przesłance. Polega ona na tym, że w modelach takich jak konkurencja Cournota wzrost liczby firm wiąże się z konwergencją cen z kosztami krańcowymi. W tych alternatywnych modelach paradoks Bertranda polega na oligopolu niewielkiej liczby firm, które osiągają dodatnie zyski, pobierając ceny powyżej kosztów.
Na początek warto założyć, że dwie firmy A i B sprzedają jednorodny produkt, z których każdy ma taki sam koszt produkcji i dystrybucji. Wynika z tego, że kupujący wybierają produkt wyłącznie na podstawie ceny. Oznacza to, że popyt jest nieskończenie elastyczny cenowo. Ani A, ani B nie ustalą wyższej ceny niż inne, ponieważ spowodowałoby to upadek całego paradoksu Bertranda. Jeden z uczestników rynku ustąpi konkurentowi. Jeśli ustalą tę samą cenę, firmy podzielą się zyskami.
Z drugiej strony, jeśli jakaś firma obniży cenę choćby nieznacznie, uzyska cały rynek i znacznie wyższy zwrot. Ponieważ A i B o tym wiedzą, każdy z nich będzie próbował podciąć konkurencję, dopóki produkt nie będzie sprzedawany z zerowym zyskiem ekonomicznym.
Niedawne prace wykazały, że może istnieć dodatkowa równowaga w paradoksie strategii mieszanej Bertranda, z dodatnimi zyskami ekonomicznymi, pod warunkiem, że suma monopolu jest nieskończona. W przypadku zysku końcowego wykazano, że dodatni wzrost w warunkach konkurencji cenowej jest niemożliwy w równowagach mieszanych, a nawet w bardziej ogólnym przypadkuskorelowane systemy.
W rzeczywistości paradoks Bertranda w ekonomii jest rzadko spotykany w praktyce, ponieważ prawdziwe produkty są prawie zawsze różnicowane w inny sposób niż cena (na przykład przepłacanie za etykietę). Firmy mają ograniczenia w swojej zdolności do produkcji i dystrybucji. Dlatego dwie firmy rzadko ponoszą takie same koszty.
Wynik Bertranda jest paradoksalny, ponieważ jeśli liczba firm wzrośnie z jednego do dwóch, cena spadnie z monopolu na konkurencyjną i pozostanie na tym samym poziomie, co liczba firm, które następnie rosną. Nie jest to zbyt realistyczne, ponieważ w rzeczywistości rynki z niewielką liczbą firm o sile rynkowej mają tendencję do ustalania cen powyżej kosztów krańcowych. Analiza empiryczna pokazuje, że większość branż z dwoma konkurentami generuje dodatnie zyski.
We współczesnym świecie naukowcy próbują znaleźć rozwiązania paradoksu, które są bardziej spójne z modelem konkurencji Cournota. Gdy dwie firmy na rynku osiągają dodatnie zyski, które są gdzieś pomiędzy poziomem doskonałej konkurencji a poziomem monopolu.
Niektóre powody, dla których paradoks Bertranda nie jest bezpośrednio związany z ekonomią:
- Limity pojemności. Czasami firmy nie mają wystarczającej zdolności do zaspokojenia całego popytu. Ten punkt został po raz pierwszy podniesiony przez Francisa Edgewortha i dał początek modelowi Bertranda-Edgewortha.
- Ceny całkowite. Ceny powyżej MC są wykluczone, ponieważ jedna firma może losowo podciąć inną.mała ilość. Jeśli ceny są dyskretne (na przykład muszą przyjmować wartości całkowite), to jedna firma musi podciąć drugą o co najmniej jeden rubel. Oznacza to, że wartość drobnej waluty jest powyżej MC. Jeśli inna firma ustala cenę za nią wyższą, inna może ją obniżyć i przejąć cały rynek, na tym właśnie polega paradoks Bertranda. Nie przyniesie jej to żadnego zysku. Ta firma będzie wolała dzielić sprzedaż 50/50 z inną firmą i uzyskiwać czysto dodatnie przychody.
- Zróżnicowanie produktów. Jeśli produkty różnych firm różnią się od siebie, konsumenci mogą nie przejść całkowicie na produkty o niższej cenie.
- Dynamiczna rywalizacja. Powtarzające się interakcje lub powtarzająca się konkurencja cenowa mogą prowadzić do równowagi wartości.
- Więcej przedmiotów za wyższą kwotę. Wynika to z powtarzających się interakcji. Jeśli jedna firma ustali nieco wyższą cenę, nadal uzyska mniej więcej taką samą liczbę zakupów, ale większy zysk na sztukę. Dlatego druga firma zwiększy swoje narzuty itp. (Tylko w powtórkach, w przeciwnym razie dynamika idzie w innym kierunku).
Oligopol
Jeśli dwie firmy mogą uzgodnić cenę, dotrzymanie umowy leży w ich długoterminowym interesie: przychód z redukcji wartości jest mniejszy niż dwukrotność przychodu z tytułu przestrzegania umowy i trwa tylko do momentu, gdy druga firma zmniejszy swoją cenę. ceny własne.
Teoriaprawdopodobieństwa (podobnie jak reszta matematyki) to w rzeczywistości nowy wynalazek. A rozwój nie przebiegał gładko. Pierwsze próby sformalizowania rachunku prawdopodobieństwa zostały podjęte przez markiza de Laplace, który zaproponował zdefiniowanie pojęcia jako stosunku liczby zdarzeń prowadzących do wyniku.
Ma to oczywiście sens tylko wtedy, gdy liczba wszystkich możliwych zdarzeń jest skończona. A poza tym wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne.
W tamtym czasie te koncepcje wydawały się nie mieć solidnych podstaw. Próby rozszerzenia definicji na przypadek nieskończonej liczby zdarzeń doprowadziły do jeszcze większych trudności. Paradoks Bertranda jest jednym z takich odkryć, które sprawiło, że matematycy obawiali się całego pojęcia prawdopodobieństwa.
