Jedną z figur, która pojawia się podczas rozwiązywania problemów geometrycznych w przestrzeni, jest stożek. W przeciwieństwie do wielościanów należy do klasy figur obrotowych. Zastanówmy się w artykule, co to oznacza w geometrii, i zbadajmy cechy różnych sekcji stożka.
Stożek w geometrii
Załóżmy, że na płaszczyźnie jest jakaś krzywizna. Może to być parabola, koło, elipsa i tak dalej. Weź punkt, który nie należy do określonej płaszczyzny i połącz z nim wszystkie punkty krzywej. Powstała powierzchnia nazywana jest stożkiem lub po prostu stożkiem.
Jeśli oryginalna krzywa jest zamknięta, wtedy stożkową powierzchnię można wypełnić materią. Uzyskana w ten sposób postać jest trójwymiarowym ciałem. Nazywany jest również stożkiem. Kilka papierowych stożków pokazano poniżej.
Stożkowa powierzchnia znajduje się w codziennym życiu. Na przykład rożek do lodów lub rożek w paski ma taki kształt, który ma na celu przyciągnięcie uwagi kierowców ipiesi.
Rodzaje szyszek
Jak można się domyślić, rozważane liczby różnią się między sobą rodzajem krzywej, na której zostały utworzone. Na przykład jest okrągły stożek lub eliptyczny. Ta krzywa nazywana jest podstawą figury. Jednak kształt podstawy to nie jedyna cecha pozwalająca na klasyfikację szyszek.
Drugą ważną cechą jest położenie wysokości względem podstawy. Wysokość stożka to odcinek linii prostej, który jest obniżony od góry figury do płaszczyzny podstawy i jest prostopadły do tej płaszczyzny. Jeśli wysokość przecina podstawę w geometrycznym środku (na przykład w środku koła), wówczas stożek będzie prosty, jeśli prostopadły odcinek spadnie do dowolnego innego punktu podstawy lub poza nim, wówczas figura będzie ukośny.
W dalszej części artykułu rozważymy tylko okrągły prosty stożek jako jasny reprezentant rozważanej klasy figur.
Nazwy geometryczne elementów stożkowych
Powyżej powiedziano, że stożek ma podstawę. Jest ograniczony okręgiem, który nazywa się prowadnicą stożka. Segmenty łączące prowadnicę z punktem, który nie leży w płaszczyźnie podstawy, nazywane są generatorami. Zbiór wszystkich punktów generatorów nazywa się stożkową lub boczną powierzchnią figury. W przypadku okrągłego prawego stożka wszystkie generatory mają tę samą długość.
Punkt, w którym przecinają się generatory, nazywany jest szczytem figury. W przeciwieństwie do wielościanów stożek ma pojedynczy wierzchołek i niekrawędź.
Prosta linia przechodząca przez górę figury i środek okręgu nazywana jest osią. Oś zawiera wysokość prostego stożka, więc tworzy kąt prosty z płaszczyzną podstawy. Ta informacja jest ważna przy obliczaniu pola przekroju osiowego stożka.
Okrągły prosty stożek - figura obrotowa
Rozważany stożek jest dość symetryczną figurą, którą można uzyskać w wyniku obrotu trójkąta. Załóżmy, że mamy trójkąt o kącie prostym. Aby uzyskać stożek, wystarczy obrócić ten trójkąt wokół jednej z nóg, jak pokazano na poniższym rysunku.
Widać, że oś obrotu jest osią stożka. Jedna z nóg będzie równa wysokości figury, a druga noga stanie się promieniem podstawy. Przeciwprostokątna trójkąta w wyniku obrotu będzie opisywała powierzchnię stożkową. To będzie tworząca stożka.
Ta metoda uzyskiwania okrągłego prostego stożka jest wygodna w użyciu do badania matematycznej zależności między liniowymi parametrami figury: wysokością h, promieniem okrągłej podstawy r i prowadnicą g. Odpowiedni wzór wynika z właściwości trójkąta prostokątnego. Jest wymieniony poniżej:
g2=h2+ r2.
Ponieważ mamy jedno równanie i trzy zmienne, oznacza to, że aby jednoznacznie ustawić parametry okrągłego stożka, musisz znać dowolne dwie wielkości.
Przekroje stożka przez płaszczyznę, która nie zawiera wierzchołka figury
Kwestia konstruowania przekrojów figury nie jesttrywialny. Faktem jest, że kształt przekroju stożka przy powierzchni zależy od względnego położenia figury i siecznej.
Załóżmy, że przecinamy stożek z płaszczyzną. Jaki będzie wynik tej operacji geometrycznej? Opcje kształtu przekroju pokazano na poniższym rysunku.
Różowa sekcja to okrąg. Powstaje w wyniku przecięcia figury z płaszczyzną równoległą do podstawy stożka. Są to odcinki prostopadłe do osi figury. Figura utworzona nad płaszczyzną cięcia jest stożkiem podobnym do oryginalnego, ale z mniejszym okręgiem u podstawy.
Zielona część to elipsa. Uzyskuje się ją, gdy płaszczyzna cięcia nie jest równoległa do podstawy, a jedynie przecina boczną powierzchnię stożka. Figura odcięta nad płaszczyzną nazywana jest eliptycznym ukośnym stożkiem.
Sekcja niebieska i pomarańczowa są odpowiednio paraboliczne i hiperboliczne. Jak widać na rysunku, uzyskuje się je, gdy płaszczyzna cięcia jednocześnie przecina powierzchnię boczną i podstawę figury.
Aby określić obszary przekrojów stożka, które były brane pod uwagę, konieczne jest użycie wzorów na odpowiednią figurę na płaszczyźnie. Na przykład dla okręgu jest to liczba Pi pomnożona przez kwadrat promienia, a dla elipsy jest to iloczyn liczby Pi i długości małych i większych półosi:
okrąg: S=pir2;
elipsa: S=piab.
Sekcje zawierające górną część stożka
Teraz rozważ opcje dla przekrojów, które powstają, gdy płaszczyzna cięcia jestprzejść przez górę stożka. Możliwe są trzy przypadki:
- Sekcja jest pojedynczym punktem. Na przykład płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek i równoległa do podstawy daje właśnie taki przekrój.
- Sekcja jest linią prostą. Taka sytuacja ma miejsce, gdy płaszczyzna jest styczna do powierzchni stożkowej. Linia prosta przekroju w tym przypadku będzie tworzącą stożka.
- Przekrój osiowy. Powstaje, gdy płaszczyzna zawiera nie tylko górę figury, ale także całą jej oś. W tym przypadku płaszczyzna będzie prostopadła do okrągłej podstawy i podzieli stożek na dwie równe części.
Oczywiście, obszary pierwszych dwóch typów sekcji są równe zeru. Jeśli chodzi o pole przekroju stożka dla III typu, to zagadnienie to zostało szerzej omówione w kolejnym akapicie.
Przekrój osiowy
Powyżej zauważono, że przekrój osiowy stożka to figura utworzona, gdy stożek jest przecinany przez płaszczyznę przechodzącą przez jego oś. Łatwo się domyślić, że ta sekcja będzie przedstawiać postać pokazaną na poniższym rysunku.
To jest trójkąt równoramienny. Wierzchołek osiowego przekroju stożka jest wierzchołkiem tego trójkąta, utworzonego przez przecięcie identycznych boków. Te ostatnie są równe długości tworzącej stożka. Podstawa trójkąta to średnica podstawy stożka.
Obliczanie obszaru przekroju osiowego stożka sprowadza się do znalezienia obszaru powstałego trójkąta. Jeżeli promień podstawy r i wysokość h stożka są wstępnie znane, to powierzchnia S rozpatrywanego przekroju będzie wynosić:
S=hr.
Towyrażenie jest konsekwencją zastosowania standardowego wzoru na pole trójkąta (połowa iloczynu wysokości razy podstawa).
Zauważ, że jeśli tworząca stożka jest równa średnicy jego okrągłej podstawy, to przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym.
Trójkątny przekrój powstaje, gdy płaszczyzna cięcia jest prostopadła do podstawy stożka i przechodzi przez jego oś. Każda inna płaszczyzna równoległa do wymienionej da hiperbolę w przekroju. Jeśli jednak płaszczyzna zawiera wierzchołek stożka i nie przecina jego podstawy przez średnicę, to otrzymany przekrój będzie również trójkątem równoramiennym.
Problem wyznaczenia liniowych parametrów stożka
Pokażmy, jak wykorzystać wzór napisany dla obszaru przekroju osiowego do rozwiązania problemu geometrycznego.
Wiadomo, że powierzchnia przekroju osiowego stożka wynosi 100 cm2. Powstały trójkąt jest równoboczny. Jaka jest wysokość stożka i promień jego podstawy?
Ponieważ trójkąt jest równoboczny, jego wysokość h jest związana z długością boku a w następujący sposób:
h=√3/2a.
Zakładając, że bok trójkąta jest dwa razy większy od promienia podstawy stożka i zastępując to wyrażenie wzorem na pole przekroju, otrzymujemy:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
W takim razie wysokość stożka wynosi:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Pozostaje zastąpienie wartości obszaru od stanu problemui uzyskaj odpowiedź:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
W jakich obszarach ważna jest znajomość parametrów rozpatrywanych sekcji?
Badanie różnych typów przekrojów stożkowych ma nie tylko znaczenie teoretyczne, ale ma również zastosowanie praktyczne.
Najpierw należy zwrócić uwagę na obszar aerodynamiki, gdzie za pomocą przekrojów stożkowych można tworzyć idealnie gładkie kształty ciał stałych.
Po drugie, sekcje stożkowe to trajektorie, wzdłuż których poruszają się obiekty kosmiczne w polach grawitacyjnych. Jaki konkretny typ przekroju reprezentuje trajektorię ruchu kosmicznych ciał układu, jest określony przez stosunek ich mas, prędkości bezwzględnych i odległości między nimi.
