W praktyce często pojawiają się zadania, które wymagają umiejętności budowania odcinków geometrycznych kształtów o różnych kształtach i znajdowania obszaru przekrojów. W tym artykule przyjrzymy się, jak zbudowane są ważne sekcje pryzmatu, piramidy, stożka i walca oraz jak obliczyć ich powierzchnie.
Figury 3D
Ze stereometrii wiadomo, że trójwymiarowa figura absolutnie dowolnego typu jest ograniczona liczbą powierzchni. Na przykład dla takich wielościanów jak graniastosłup i piramida powierzchniami tymi są boki wieloboczne. Dla walca i stożka mówimy o powierzchniach obrotu figur cylindrycznych i stożkowych.
Jeśli weźmiemy płaszczyznę i arbitralnie przetniemy powierzchnię trójwymiarowej figury, otrzymamy przekrój. Jego powierzchnia jest równa powierzchni części płaszczyzny, która będzie znajdować się w objętości figury. Minimalna wartość tego obszaru wynosi zero, co jest realizowane, gdy samolot dotyka figury. Na przykład przekrój utworzony przez pojedynczy punkt uzyskuje się, gdy płaszczyzna przechodzi przez wierzchołek piramidy lub stożka. Maksymalna wartość pola przekroju zależy odwzględne położenie figury i płaszczyzny, a także kształt i rozmiar figury.
Poniżej zastanowimy się, jak obliczyć powierzchnię kształtowanych przekrojów dla dwóch figur obrotowych (walca i stożek) oraz dwóch wielościanów (piramidy i pryzmatu).
Cylinder
Okrągły cylinder to figura rotacji prostokąta wokół dowolnego z jego boków. Walec charakteryzuje się dwoma liniowymi parametrami: promieniem podstawy r i wysokością h. Poniższy schemat pokazuje, jak wygląda okrągły walec prosty.
Istnieją trzy ważne typy sekcji dla tego rysunku:
- okrągły;
- prostokątny;
- eliptyczny.
Eliptyczny powstaje w wyniku płaszczyzny przecinającej boczną powierzchnię figury pod pewnym kątem do jej podstawy. Okrągły jest wynikiem przecięcia płaszczyzny cięcia powierzchni bocznej równoległej do podstawy cylindra. Ostatecznie prostokątny uzyskuje się, gdy płaszczyzna cięcia jest równoległa do osi cylindra.
Obszar kołowy jest obliczany według wzoru:
S1=pir2
Obszar przekroju osiowego, tj. prostokątny, który przechodzi przez oś walca, definiuje się w następujący sposób:
S2=2rh
Sekcje stożkowe
Stożek to figura rotacji trójkąta prostokątnego wokół jednej z nóg. Stożek ma jeden wierzchołek i okrągłą podstawę. Jego parametrami są również promień r i wysokość h. Przykład papierowego stożka pokazano poniżej.
Istnieje kilka rodzajów sekcji stożkowych. Wymieńmy je:
- okrągły;
- eliptyczny;
- paraboliczny;
- hiperboliczny;
- trójkątne.
Zastępują się one nawzajem, jeśli zwiększysz kąt nachylenia siecznej płaszczyzny w stosunku do okrągłej podstawy. Najprostszym sposobem jest zapisanie wzorów na pole przekroju kołowego i trójkątnego.
Okrągły przekrój powstaje w wyniku przecięcia stożkowej powierzchni z płaszczyzną równoległą do podstawy. Dla jego powierzchni obowiązuje następująca formuła:
S1=pir2z2/h 2
Tutaj z jest odległością od górnej części figury do uformowanej sekcji. Można zauważyć, że jeśli z=0, to płaszczyzna przechodzi tylko przez wierzchołek, więc obszar S1 będzie równy zero. Od z < h powierzchnia badanego przekroju zawsze będzie mniejsza niż jego wartość dla podstawy.
Trójkątny jest uzyskiwany, gdy płaszczyzna przecina figurę wzdłuż jej osi obrotu. Kształt wynikowej sekcji będzie trójkątem równoramiennym, którego boki mają średnicę podstawy i dwa generatory stożka. Jak znaleźć pole przekroju trójkąta? Odpowiedzią na to pytanie będzie następująca formuła:
S2=rh
Tę równość uzyskuje się stosując wzór na pole dowolnego trójkąta przez długość jego podstawy i wysokość.
Sekcje pryzmatu
Pryzmat to duża klasa figur, które charakteryzują się obecnością dwóch identycznych wielokątnych podstaw równoległych do siebie,połączone równoległobokami. Każda część pryzmatu jest wielokątem. Ze względu na zróżnicowanie rozpatrywanych figur (pryzmaty skośne, proste, n-kątne, regularne, wklęsłe) duża jest również różnorodność ich przekrojów. Poniżej rozważamy tylko niektóre szczególne przypadki.
Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do podstawy, wówczas pole przekroju pryzmatu będzie równe powierzchni tej podstawy.
Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez geometryczne środki dwóch podstaw, to znaczy jest równoległa do bocznych krawędzi figury, wówczas w przekroju powstaje równoległobok. W przypadku prostych i regularnych pryzmatów rozpatrywany przekrój będzie prostokątem.
Piramida
Piramida to kolejny wielościan składający się z n-kąta i n trójkątów. Przykład trójkątnej piramidy pokazano poniżej.
Jeżeli przekrój jest narysowany płaszczyzną równoległą do podstawy n-kątnej, to jego kształt będzie dokładnie równy kształtowi podstawy. Powierzchnia takiej sekcji jest obliczana według wzoru:
S1=So(h-z)2/h 2
Gdzie z jest odległością od podstawy do płaszczyzny przekroju, So jest obszarem podstawy.
Jeżeli płaszczyzna cięcia zawiera wierzchołek piramidy i przecina jej podstawę, otrzymujemy przekrój trójkątny. Aby obliczyć jego powierzchnię, należy odwołać się do odpowiedniego wzoru na trójkąt.
