Trójkąt to jeden z najpopularniejszych kształtów geometrycznych, który znamy już w szkole podstawowej. Pytanie, jak znaleźć obszar trójkąta, staje przed każdym uczniem na lekcjach geometrii. Jakie więc można wyróżnić cechy znalezienia obszaru danej figury? W tym artykule rozważymy podstawowe formuły niezbędne do wykonania takiego zadania, a także przeanalizujemy rodzaje trójkątów.
Rodzaje trójkątów
Powierzchnię trójkąta można znaleźć na zupełnie inne sposoby, ponieważ w geometrii występuje więcej niż jeden typ figury zawierającej trzy kąty. Gatunki te obejmują:
- Ostry trójkąt.
- Pochylony.
- Równoboczny (prawidłowo).
- Prawy trójkąt.
- Równoramienne.
Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z istniejących typów trójkątów.
Ostretrójkąt
Taka figura geometryczna jest uważana za najczęstszą w rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Gdy konieczne jest narysowanie dowolnego trójkąta, ta opcja przychodzi z pomocą.
W trójkącie ostrym, jak sama nazwa wskazuje, wszystkie kąty są ostre i sumują się do 180°.
Trójkąt ostrokątny
Ten trójkąt jest również bardzo powszechny, ale jest nieco mniej powszechny niż trójkąt o ostrym kącie. Na przykład przy rozwiązywaniu trójkątów (to znaczy, że znasz kilka jego boków i kątów i musisz znaleźć pozostałe elementy), czasami musisz określić, czy kąt jest rozwarty, czy nie. Cosinus kąta rozwartego jest liczbą ujemną.
W trójkącie rozwartym wartość jednego z kątów przekracza 90°, więc pozostałe dwa kąty mogą przyjmować małe wartości (na przykład 15° lub nawet 3°).
Aby znaleźć obszar trójkąta tego typu, musisz znać kilka niuansów, o których powiemy później.
Trójkąty regularne i równoramienne
Wielokąt foremny to figura, która zawiera n kątów, a wszystkie boki i kąty są równe. To jest prawy trójkąt. Ponieważ suma wszystkich kątów trójkąta wynosi 180°, każdy z trzech kątów wynosi 60°.
Regularny trójkąt, ze względu na swoją właściwość, nazywany jest również figurą równoboczną.
Warto również zauważyć, że wtrójkąt foremny może być wpisany tylko jednym okręgiem i tylko jeden okrąg może być opisany wokół niego, a ich środki znajdują się w jednym punkcie.
Oprócz typu równobocznego można również wybrać trójkąt równoramienny, który się od niego nieco różni. W takim trójkącie dwa boki i dwa kąty są sobie równe, a trzeci bok (do którego przylegają równe kąty) jest podstawą.
Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny DEF, którego kąty D i F są równe, a DF jest podstawą.
Prawy trójkąt
Trójkąt prostokątny został nazwany tak, ponieważ jeden z jego kątów jest kątem prostym, czyli równym 90°. Pozostałe dwa kąty sumują się do 90°.
Największym bokiem takiego trójkąta, leżącym pod kątem 90°, jest przeciwprostokątna, podczas gdy pozostałe dwa boki to nogi. Dla tego typu trójkątów zastosowanie ma twierdzenie Pitagorasa:
Suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Rysunek przedstawia prostokątny BAC z przeciwprostokątną AC oraz odnogami AB i BC.
Aby znaleźć obszar trójkąta pod kątem prostym, musisz znać wartości liczbowe jego nóg.
Przejdźmy do wzorów na znalezienie powierzchni tej figury.
Podstawowe formuły powierzchni
W geometrii istnieją dwa wzory, które są odpowiednie do znajdowania obszaru większości typów trójkątów, a mianowicie dla trójkątów ostrokątnych, rozwartych, regularnych itrójkąty równoramienne. Przeanalizujmy każdy z nich.
Z boku i na wysokość
Ta formuła jest uniwersalna do znalezienia obszaru rozważanej figury. Aby to zrobić, wystarczy znać długość boku i długość narysowanej do niego wysokości. Sama formuła (połowa iloczynu podstawy i wysokości) wygląda tak:
S=½AH, gdzie A jest bokiem danego trójkąta, a H jest wysokością trójkąta.
Na przykład, aby znaleźć obszar trójkąta ostrokątnego ACB, musisz pomnożyć jego bok AB przez wysokość CD i podzielić wynikową wartość przez dwa.
Jednak nie zawsze łatwo jest znaleźć w ten sposób obszar trójkąta. Na przykład, aby użyć tego wzoru dla trójkąta o rozwartym kącie, musisz kontynuować jeden z jego boków i dopiero potem narysować do niego wysokość.
W praktyce ta formuła jest używana częściej niż inne.
Po dwóch stronach i w rogu
Ta formuła, podobnie jak poprzednia, jest odpowiednia dla większości trójkątów iw swoim znaczeniu jest konsekwencją wzoru na znalezienie pola po bokach i wysokości trójkąta. Oznacza to, że rozważaną formułę można łatwo wyprowadzić z poprzedniej. Jej sformułowanie wygląda tak:
S=½sinOAB, gdzie A i B to boki trójkąta, a O to kąt między bokami A i B.
Przypomnijmy, że sinus kąta można zobaczyć w specjalnej tabeli nazwanej na cześć wybitnego sowieckiego matematyka V. M. Bradisa.
A teraz przejdźmy do innych formuł,nadaje się tylko do wyjątkowych typów trójkątów.
Obszar trójkąta prostokątnego
Oprócz uniwersalnego wzoru, który obejmuje konieczność narysowania wysokości w trójkącie, obszar trójkąta zawierający kąt prosty można znaleźć przy jego odgałęzieniach.
Tak więc, obszar trójkąta zawierającego kąt prosty jest połową iloczynu jego nóg, czyli:
S=½ab, gdzie a i b to odnogi trójkąta prostokątnego.
Regularny trójkąt
Ten typ figur geometrycznych różni się tym, że jego obszar można znaleźć z określoną wartością tylko jednego z jego boków (ponieważ wszystkie boki trójkąta foremnego są równe). Tak więc, po spełnieniu zadania „znajdź obszar trójkąta, gdy boki są równe”, musisz użyć następującego wzoru:
S=A2√3 / 4, gdzie A jest bokiem trójkąta równobocznego.
Formuła czapli
Ostatnią opcją znalezienia pola trójkąta jest wzór Herona. Aby z niego skorzystać, musisz znać długości trzech boków figury. Wzór Herona wygląda tak:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), gdzie a, b i c są bokami tego trójkąta.
Czasami podawane jest zadanie: "obszar trójkąta foremnego - znajdź długość jego boku". W tym przypadku należy skorzystać ze znanego już wzoru na znalezienie pola trójkąta foremnego i wyprowadzić z niego wartość boku (lub jego kwadratu):
A2=4S / √3.
Problemy egzaminacyjne
W zadaniach GIAW matematyce jest wiele formuł. Ponadto często konieczne jest znalezienie obszaru trójkąta na papierze w kratkę.
W tym przypadku najwygodniej jest narysować wysokość do jednego z boków figury, określić jej długość za pomocą komórek i użyć uniwersalnego wzoru do znalezienia obszaru:
S=½AH.
Tak więc, po przestudiowaniu wzorów przedstawionych w artykule, nie będziesz miał problemów ze znalezieniem dowolnego obszaru trójkąta.
