Geometria to dział matematyki zajmujący się badaniem struktur w przestrzeni i relacji między nimi. Z kolei składa się również z odcinków, a jednym z nich jest stereometria. Zapewnia badanie właściwości figur wolumetrycznych znajdujących się w przestrzeni: sześcianu, piramidy, kuli, stożka, cylindra itp.
Stożek to ciało w przestrzeni euklidesowej, które ogranicza stożkową powierzchnię i płaszczyznę, na której leżą końce jego generatorów. Jej powstawanie następuje w procesie obrotu trójkąta prostokątnego wokół którejkolwiek z jego nóg, dlatego należy do ciał obrotowych.
Komponenty stożkowe
Wyróżnia się następujące typy czopków: ukośne (lub ukośne) i proste. Skośny to taki, którego oś przecina się ze środkiem podstawy nie pod kątem prostym. Z tego powodu wysokość w takim stożku nie pokrywa się z osią, ponieważ jest to odcinek obniżony od góry korpusu do jego płaszczyznypodstawa pod kątem 90°.
Ten stożek, którego oś jest prostopadła do podstawy, nazywa się prostym stożkiem. Oś i wysokość w takim geometrycznym korpusie pokrywają się ze względu na fakt, że wierzchołek w nim znajduje się powyżej środka średnicy podstawy.
Stożek składa się z następujących elementów:
- Krąg, który jest jego podstawą.
- Strona.
- Punkt nie leżący w płaszczyźnie podstawy, zwany wierzchołkiem stożka.
- Segmenty łączące punkty okręgu podstawy bryły geometrycznej i jej wierzchołka.
Wszystkie te segmenty są tworzącymi stożka. Są one nachylone do podstawy bryły geometrycznej, aw przypadku stożka prawego ich rzuty są równe, ponieważ wierzchołek jest równoodległy od punktów okręgu podstawowego. Możemy więc stwierdzić, że w zwykłym (prostym) stożku generatory są równe, to znaczy mają taką samą długość i tworzą te same kąty z osią (lub wysokością) i podstawą.
Ponieważ w skośnym (lub nachylonym) korpusie obrotowym wierzchołek jest przesunięty względem środka płaszczyzny podstawy, generatory w takim korpusie mają różne długości i rzuty, ponieważ każdy z nich znajduje się w innej odległości z dowolnych dwóch punktów okręgu podstawowego. Ponadto kąty między nimi a wysokość stożka również będą różne.
Długość generatorów w prawym stożku
Jak napisano wcześniej, wysokość w prostym geometrycznym korpusie obrotowym jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. W ten sposób tworząca, wysokość i promień podstawy tworzą w stożku trójkąt prostokątny.
Oznacza to, że znając promień podstawy i wysokość, korzystając ze wzoru z twierdzenia Pitagorasa, można obliczyć długość tworzącej, która będzie równa sumie kwadratów promienia podstawy i wzrost:
l2 =r2+ h2 lub l=√r 2 + h2
gdzie l jest tworzącą;
r – promień;
h – wzrost.
Generative w skośnym stożku
Z uwagi na fakt, że w skośnym lub skośnym stożku generatory nie są tej samej długości, nie będzie można ich obliczyć bez dodatkowych konstrukcji i obliczeń.
Przede wszystkim musisz znać wysokość, długość osi i promień podstawy.
Mając te dane, możesz obliczyć część promienia leżącą między osią a wysokością, korzystając ze wzoru z twierdzenia Pitagorasa:
r1=√k2 - h2
gdzie r1 to część promienia między osią a wysokością;
k – długość osi;
h – wzrost.
W wyniku dodania promienia (r) i jego części leżącej między osią a wysokością (r1) można uzyskać pełną stronę prawej strony trójkąt utworzony przez tworzącą stożka, jego wysokość i część o średnicy:
R=r + r1
gdzie R jest odnogą trójkąta utworzonego przez wysokość, tworzącą i część średnicy podstawy;
r – promień podstawy;
r1 – część promienia między osią a wysokością.
Używając tego samego wzoru z twierdzenia Pitagorasa, możesz znaleźć długość tworzącej stożka:
l=√h2+ R2
lub, bez oddzielnego obliczania R, połącz te dwie formuły w jedną:
l=√h2 + (r + r1)2.
Pomimo tego, czy jest to stożek prosty czy ukośny i jakiego rodzaju dane wejściowe, wszystkie metody znajdowania długości tworzącej zawsze sprowadzają się do jednego wyniku - zastosowania twierdzenia Pitagorasa.
Sekcja stożkowa
Przekrój osiowy stożka to płaszczyzna przechodząca wzdłuż jego osi lub wysokości. W stożku prawym takim odcinkiem jest trójkąt równoramienny, w którym wysokość trójkąta to wysokość ciała, jego boki to generatory, a podstawa to średnica podstawy. W równobocznym korpusie geometrycznym przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, ponieważ w tym stożku średnica podstawy i generatorów jest równa.
Płaszczyzna przekroju osiowego w stożku prostym jest płaszczyzną jego symetrii. Powodem tego jest to, że jego wierzchołek znajduje się powyżej środka podstawy, to znaczy płaszczyzna przekroju osiowego dzieli stożek na dwie identyczne części.
Ponieważ wysokość i oś nie pasują do nachylonej bryły, płaszczyzna przekroju osiowego może nie zawierać wysokości. Jeśli w takim stożku można zbudować zestaw przekrojów osiowych, ponieważ należy do tego przestrzegać tylko jednego warunku - musi on przechodzić tylko przez oś, to tylko jeden odcinek osiowy płaszczyzny, który będzie należeć do wysokości ten stożek można narysować, ponieważ liczba warunków wzrasta i, jak wiadomo, dwie linie (razem) mogą należeć dotylko jeden samolot.
Obszar przekroju
Przekrój osiowy stożka wspomnianego wcześniej jest trójkątem. Na tej podstawie jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru na pole trójkąta:
S=1/2dh lub S=1/22rh
gdzie S jest polem przekroju;
d – średnica podstawy;
r – promień;
h – wzrost.
W skośnym lub skośnym stożku, przekrój wzdłuż osi jest również trójkątem, więc pole przekroju w nim oblicza się podobnie.
Głośność
Ponieważ stożek jest trójwymiarową figurą w trójwymiarowej przestrzeni, możemy obliczyć jego objętość. Objętość stożka to liczba charakteryzująca to ciało w jednostce objętości, to znaczy w m3. Obliczenie nie zależy od tego, czy jest ono proste, czy ukośne (ukośne), ponieważ wzory dla tych dwóch typów ciał nie różnią się.
Jak wspomniano wcześniej, formowanie prawego stożka następuje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wzdłuż jednej z jego nóg. Stożek pochylony lub ukośny jest uformowany inaczej, ponieważ jego wysokość jest przesunięta od środka płaszczyzny podstawy ciała. Jednak takie różnice w strukturze nie wpływają na sposób obliczania jej objętości.
Obliczanie objętości
Wzór na objętość każdego stożka wygląda tak:
V=1/3πhr2
gdzie V jest objętością stożka;
h – wzrost;
r – promień;
π - stała równa 3, 14.
Aby obliczyć objętość stożka, musisz mieć dane dotyczące wysokości i promienia podstawy ciała.
Aby obliczyć wysokość ciała, musisz znać promień podstawy i długość jego tworzącej. Ponieważ promień, wysokość i tworząca są połączone w trójkąt prostokątny, wysokość można obliczyć za pomocą wzoru z twierdzenia Pitagorasa (a2+ b2=c 2 lub w naszym przypadku h2+ r2=l2 , gdzie l - tworząca). W tym przypadku wysokość zostanie obliczona poprzez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej nogi:
a=√c2- b2
Oznacza to, że wysokość stożka będzie równa wartości uzyskanej po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z różnicy między kwadratem długości tworzącej a kwadratem promienia podstawy:
h=√l2 - r2
Obliczając wysokość tą metodą i znając promień jego podstawy, możesz obliczyć objętość stożka. W tym przypadku tworząca odgrywa ważną rolę, ponieważ służy jako element pomocniczy w obliczeniach.
Podobnie, jeśli znasz wysokość ciała i długość jego tworzącej, możesz znaleźć promień jego podstawy, wyciągając pierwiastek kwadratowy z różnicy między kwadratem tworzącej i kwadratem wysokości:
r=√l2 - h2
Następnie, używając tego samego wzoru co powyżej, oblicz objętość stożka.
Objętość pochyłego stożka
Ponieważ wzór na objętość stożka jest taki sam dla wszystkich typów bryły obrotowej, różnica w jego obliczeniach polega na wyszukiwaniu wysokości.
Aby określić wysokość nachylonego stożka, dane wejściowe muszą obejmować długość tworzącej, promień podstawy i odległość między środkamipodstawa i przecięcie wysokości ciała z płaszczyzną jego podstawy. Wiedząc to, możesz łatwo obliczyć tę część średnicy podstawy, która będzie podstawą trójkąta prostokątnego (utworzonego przez wysokość, tworzącą i płaszczyznę podstawy). Następnie ponownie korzystając z twierdzenia Pitagorasa oblicz wysokość stożka, a następnie jego objętość.
