Jest mało prawdopodobne, aby wiele osób zastanawiało się, czy można obliczyć zdarzenia, które są mniej lub bardziej losowe. Mówiąc prościej, czy realistyczne jest wiedzieć, która strona kostki wypadnie jako następna. To właśnie to pytanie zadało sobie dwóch wielkich naukowców, którzy położyli podwaliny pod taką naukę, jaką jest teoria prawdopodobieństwa, w której prawdopodobieństwo zdarzenia jest dość szeroko badane.
Pochodzenie
Jeśli spróbujesz zdefiniować takie pojęcie jak teoria prawdopodobieństwa, otrzymasz: jest to jedna z gałęzi matematyki, która bada stałość zdarzeń losowych. Oczywiście ta koncepcja tak naprawdę nie ujawnia całej istoty, dlatego konieczne jest rozważenie jej bardziej szczegółowo.
Chciałbym zacząć od twórców teorii. Jak wspomniano powyżej, było ich dwóch, są to Pierre Fermat i Blaise Pascal. To oni byli jednymi z pierwszych, którzy próbowali obliczyć wynik zdarzenia za pomocą wzorów i obliczeń matematycznych. Ogólnie rzecz biorąc, podstawy tej nauki pojawiły się jużŚredniowiecze. W tamtym czasie różni myśliciele i naukowcy próbowali analizować hazard, taki jak ruletka, kości itd., ustalając w ten sposób wzór i procent wypadania określonej liczby. Fundamenty założyli w XVII wieku wspomniani wyżej naukowcy.
Początkowo ich pracy nie można było przypisać wielkim osiągnięciom w tej dziedzinie, ponieważ wszystko, co robili, było po prostu faktami empirycznymi, a eksperymenty były ułożone wizualnie, bez użycia formuł. Z czasem okazało się, że osiąga świetne rezultaty, które pojawiły się w wyniku obserwacji rzucania kostkami. To właśnie to narzędzie pomogło wyprowadzić pierwsze zrozumiałe formuły.
Współpracownicy
Nie sposób nie wspomnieć o takiej osobie jak Christian Huygens, w trakcie studiowania tematu zwanego „teorią prawdopodobieństwa” (prawdopodobieństwo zdarzenia jest ujęte właśnie w tej nauce). Ta osoba jest bardzo interesująca. Podobnie jak naukowcy przedstawieni powyżej, starał się wyprowadzić prawidłowość zdarzeń losowych w postaci wzorów matematycznych. Warto zauważyć, że nie robił tego wspólnie z Pascalem i Fermatem, to znaczy wszystkie jego prace w żaden sposób nie krzyżowały się z tymi umysłami. Huygens wyprowadził podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa.
Ciekawostką jest to, że jego praca ukazała się na długo przed rezultatami pracy pionierów, a właściwie dwadzieścia lat wcześniej. Wśród wyznaczonych koncepcji najbardziej znane to:
- pojęcie prawdopodobieństwa jako wielkości przypadku;
- oczekiwanie na dyskrecjęprzypadki;
- twierdzenia mnożenia i dodawania prawdopodobieństw.
Nie sposób również nie pamiętać Jacoba Bernoulliego, który również wniósł znaczący wkład w badanie problemu. Prowadząc własne, niezależne od kogokolwiek testy, zdołał przedstawić dowód na działanie prawa wielkich liczb. Z kolei naukowcy Poisson i Laplace, którzy pracowali na początku XIX wieku, byli w stanie udowodnić oryginalne twierdzenia. Od tego momentu do analizy błędów w trakcie obserwacji zaczęto wykorzystywać teorię prawdopodobieństwa. Rosyjscy naukowcy, a raczej Markow, Czebyszew i Dyapunow, również nie mogli ominąć tej nauki. Opierając się na pracy wykonanej przez wielkich geniuszy, ustalili ten przedmiot jako gałąź matematyki. Postacie te działały już pod koniec XIX wieku, a dzięki ich wkładowi takie zjawiska jak:
- prawo wielkich liczb;
- Teoria łańcucha Markowa;
- centralne twierdzenie graniczne.
Tak więc, biorąc pod uwagę historię narodzin nauki i głównych ludzi, którzy na nią wpłynęli, wszystko jest mniej lub bardziej jasne. Teraz nadszedł czas na skonkretyzowanie wszystkich faktów.
Podstawowe koncepcje
Zanim przejdziemy do praw i twierdzeń, warto zapoznać się z podstawowymi pojęciami rachunku prawdopodobieństwa. Wydarzenie odgrywa w nim wiodącą rolę. Ten temat jest dość obszerny, ale bez niego nie będzie można zrozumieć wszystkiego innego.
Zdarzeniem w teorii prawdopodobieństwa jest dowolny zestaw wyników eksperymentu. Nie ma zbyt wielu koncepcji tego zjawiska. Więc naukowiec Lotman,pracując w tym obszarze, powiedział, że w tym przypadku mówimy o czymś, co „stało się, chociaż mogło się nie wydarzyć”.
Zdarzenia losowe (teoria prawdopodobieństwa zwraca na nie szczególną uwagę) to pojęcie, które implikuje absolutnie każde zjawisko, które może wystąpić. Lub odwrotnie, ten scenariusz może się nie zdarzyć, gdy spełnionych zostanie wiele warunków. Warto też wiedzieć, że to zdarzenia losowe ujmują cały ogrom zaistniałych zjawisk. Teoria prawdopodobieństwa wskazuje, że wszystkie warunki mogą się powtarzać w sposób ciągły. To ich zachowanie nazwano „doświadczeniem” lub „testem”.
Pewne zdarzenie to takie, które w danym teście zajdzie w 100%. W związku z tym zdarzenie niemożliwe to takie, które się nie wydarzy.
Kombinacja pary działań (tradycyjnie przypadek A i przypadek B) to zjawisko występujące jednocześnie. Są one oznaczone jako AB.
Suma par zdarzeń A i B wynosi C, innymi słowy, jeśli zdarzy się przynajmniej jedno z nich (A lub B), to otrzymamy C. Wzór na opisywane zjawisko jest zapisany w następujący sposób: C=A + B.
Rozłączne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa oznaczają, że dwa przypadki wzajemnie się wykluczają. Nigdy nie mogą zdarzyć się w tym samym czasie. Ich antypodą są wspólne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa. Oznacza to, że jeśli wydarzyło się A, to nie koliduje z B.
Odwrotne zdarzenia (teoria prawdopodobieństwa zajmuje się nimi bardzo szczegółowo) są łatwe do zrozumienia. Najlepiej radzić sobie z nimi w porównaniu. Są prawie takie same jaki niezgodne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa. Ale ich różnica polega na tym, że jedno z wielu zjawisk i tak musi się wydarzyć.
Zdarzenia równoważne to te działania, których prawdopodobieństwo jest równe. Aby było to jaśniejsze, możemy wyobrazić sobie rzucanie monetą: upadek jednej z jej stron jest równie prawdopodobny, jak upadek drugiej.
Pomyślne wydarzenie łatwiej zobaczyć na przykładzie. Załóżmy, że jest odcinek B i odcinek A. Pierwszy to rzut kostką z pojawieniem się liczby nieparzystej, a drugi to pojawienie się liczby pięć na kostce. Potem okazuje się, że A sprzyja B.
Niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa są rzutowane tylko na dwa lub więcej przypadków i implikują niezależność każdego działania od innego. Na przykład A to utrata reszek podczas rzucania monetą, a B to wyciągnięcie waleta z talii. Są to niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa. W tym momencie stało się jaśniej.
Zdarzenia zależne w teorii prawdopodobieństwa są również dopuszczalne tylko dla ich zbioru. Implikują one zależność jednego od drugiego, to znaczy, że zjawisko B może wystąpić tylko wtedy, gdy A już się wydarzyło lub przeciwnie, nie wydarzyło się, gdy jest to główny warunek dla B.
Wynikiem losowego eksperymentu składającego się z jednego elementu są zdarzenia elementarne. Teoria prawdopodobieństwa wyjaśnia, że jest to zjawisko, które zdarzyło się tylko raz.
Podstawowe formuły
Tak więc koncepcje „zdarzenia”, „teorii prawdopodobieństwa”,podano również definicję podstawowych pojęć tej nauki. Teraz czas na bezpośrednie zapoznanie się z ważnymi formułami. Te wyrażenia matematycznie potwierdzają wszystkie główne koncepcje w tak trudnym temacie, jakim jest teoria prawdopodobieństwa. Dużą rolę odgrywa tutaj również prawdopodobieństwo zdarzenia.
Lepiej zacznij od podstawowych formuł kombinatoryki. A przed przystąpieniem do nich warto zastanowić się, co to jest.
Kombinatoryka to przede wszystkim dział matematyki, zajmuje się badaniem ogromnej liczby liczb całkowitych, a także różnych permutacji zarówno samych liczb, jak i ich elementów, różnych danych itp., prowadzących do pojawienia się szereg kombinacji. Oprócz teorii prawdopodobieństwa, ta gałąź jest ważna dla statystyki, informatyki i kryptografii.
Teraz możemy przejść do prezentacji samych formuł i ich definiowania.
Pierwszy będzie wyrażeniem liczby permutacji, wygląda to tak:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Równanie ma zastosowanie tylko wtedy, gdy elementy różnią się tylko w kolejności.
Teraz rozważona zostanie formuła rozmieszczenia, która wygląda tak:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
To wyrażenie dotyczy nie tylko kolejności elementu, ale także jego kompozycji.
Trzecie równanie z kombinatoryki, a zarazem ostatnie, nazywa się wzorem na liczbę kombinacji:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinacje to selekcje, które nie są odpowiednio uporządkowane i ta reguła ma do nich zastosowanie.
Okazało się, że łatwo jest rozgryźć formuły kombinatoryki, teraz możemy przejść do klasycznej definicji prawdopodobieństw. To wyrażenie wygląda tak:
P(A)=m: n.
W tym wzorze m to liczba warunków sprzyjających zdarzeniu A, a n to liczba absolutnie wszystkich możliwych i elementarnych wyników.
Istnieje duża liczba wyrażeń, artykuł nie obejmie ich wszystkich, ale zostaną poruszone najważniejsze z nich, takie jak np. prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:
P(A + B)=P(A) + P(B) - to twierdzenie służy do dodawania tylko niezgodnych zdarzeń;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - a ten służy do dodawania tylko kompatybilnych.
Prawdopodobieństwo wytworzenia wydarzeń:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – to twierdzenie dotyczy niezależnych zdarzeń;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - a to jest dla uzależnionych.
Formuła zdarzenia kończy listę. Teoria prawdopodobieństwa mówi nam o twierdzeniu Bayesa, które wygląda tak:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
W tym wzorze H1, H2, …, H to kompletna grupa hipotez.
Zatrzymajmy się tutaj, a następnie rozważymy przykłady zastosowania formuł do rozwiązywania konkretnych problemów z praktyki.
Przykłady
Jeśli dokładnie przestudiujesz jakąkolwiek sekcjęmatematyka, nie obywa się bez ćwiczeń i przykładowych rozwiązań. Podobnie jest z teorią prawdopodobieństwa: zdarzenia, przykłady tutaj są integralnym składnikiem potwierdzającym obliczenia naukowe.
Wzór liczby permutacji
Powiedzmy, że w talii jest trzydzieści kart, zaczynając od wartości nominalnej jeden. Następne pytanie. Na ile sposobów można ułożyć talię tak, aby karty o wartości jeden i dwa nie znajdowały się obok siebie?
Zadanie zostało ustawione, przejdźmy teraz do jego rozwiązania. Najpierw musisz określić liczbę permutacji trzydziestu elementów, w tym celu bierzemy powyższy wzór, okazuje się, że P_30=30!.
Na podstawie tej zasady dowiemy się, ile jest możliwości spasowania talii na różne sposoby, ale musimy od nich odjąć te, w których następna jest pierwsza i druga karta. Aby to zrobić, zacznijmy od opcji, gdy pierwsza jest nad drugą. Okazuje się, że pierwsza karta może zająć dwadzieścia dziewięć miejsc - od pierwszego do dwudziestego dziewiątego, a druga karta od drugiej do trzydziestej, okazuje się, że dwadzieścia dziewięć miejsc na parę kart. Z kolei reszta może zająć dwadzieścia osiem miejsc i to w dowolnej kolejności. Oznacza to, że dla permutacji dwudziestu ośmiu kart istnieje dwadzieścia osiem opcji P_28=28!
W rezultacie okazuje się, że jeśli rozważymy rozwiązanie, gdy pierwsza karta jest nad drugą, to jest 29 ⋅ 28 dodatkowych możliwości!=29!
Używając tej samej metody, musisz obliczyć liczbę nadmiarowych opcji w przypadku, gdy pierwsza karta znajduje się pod drugą. Okazuje się również, że 29 ⋅ 28!=29!
Z tego wynika, że są 2 ⋅ 29 dodatkowych opcji!, podczas gdy jest 30 wymaganych sposobów na zbudowanie talii! - 2 ⋅ 29!. Pozostaje tylko policzyć.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Teraz musisz pomnożyć wszystkie liczby od jednego do dwudziestu dziewięciu razem, a na końcu pomnożyć wszystko przez 28. Odpowiedź to 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Rozwiązanie przykładu. Wzór na numer miejsca docelowego
W tym zadaniu musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można umieścić piętnaście tomów na jednej półce, ale pod warunkiem, że w sumie jest ich trzydzieści.
Ten problem ma nieco łatwiejsze rozwiązanie niż poprzednie. Korzystając ze znanego już wzoru, konieczne jest obliczenie łącznej liczby lokalizacji z trzydziestu tomów piętnastu.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
Odpowiedzią będzie odpowiednio 202 843 204 931 727 360 000.
Teraz podejmijmy zadanie trochę trudniejsze. Musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można ułożyć trzydzieści książek na dwóch półkach, pod warunkiem, że na jednej półce może znajdować się tylko piętnaście tomów.
Przed rozpoczęciem rozwiązywania chciałbym wyjaśnić, że niektóre problemy są rozwiązywane na kilka sposobów, więc w tym są dwa sposoby, ale ta sama formuła jest używana w obu.
W tym zadaniu możesz wziąć odpowiedź z poprzedniego, ponieważ tam obliczyliśmy, ile razy możesz wypełnić półkę piętnastoma książkami dla-różnie. Okazało się, że A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Drugą półkę obliczymy za pomocą wzoru permutacji, ponieważ umieszczono w niej piętnaście książek, a pozostało tylko piętnaście. Użyj wzoru P_15=15!.
Okazuje się, że suma wyniesie A_30^15 ⋅ P_15 sposobów, ale dodatkowo iloczyn wszystkich liczb od trzydziestu do szesnastu będzie musiał zostać pomnożony przez iloczyn liczb od jednego do piętnastu, ponieważ wynik, iloczyn wszystkich liczb od jednego do trzydziestu, więc odpowiedź to 30!
Ale ten problem można rozwiązać w inny sposób - łatwiej. Aby to zrobić, możesz sobie wyobrazić, że jest jedna półka na trzydzieści książek. Wszystkie są umieszczone na tej płaszczyźnie, ale ponieważ warunek wymaga dwóch półek, przecinamy jedną długą na pół, okazuje się, że każda z nich ma dwie piętnaście. Z tego okazuje się, że opcje umieszczania mogą być P_30=30!.
Rozwiązanie przykładu. Wzór na numer kombinacji
Teraz rozważymy wariant trzeciego problemu z kombinatoryki. Musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można ułożyć piętnaście książek, pod warunkiem, że masz do wyboru trzydzieści absolutnie identycznych.
Dla rozwiązania oczywiście zostanie zastosowany wzór na liczbę kombinacji. Z warunku wynika, że kolejność identycznych piętnastu ksiąg nie jest istotna. Dlatego początkowo musisz poznać całkowitą liczbę kombinacji trzydziestu ksiąg po piętnaście.
C_30^15=30!: ((30-15)) !: piętnaście !=155 117 520
To wszystko. Korzystając z tej formuły, w jak najkrótszym czasie było to możliwerozwiązać taki problem, odpowiedź to odpowiednio 155 117 520.
Rozwiązanie przykładu. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Dzięki powyższej formule możesz znaleźć odpowiedź na prosty problem. Pomoże to jednak wizualnie zobaczyć i śledzić przebieg działań.
W zadaniu podano, że w urnie znajduje się dziesięć absolutnie identycznych kul. Spośród nich cztery są żółte, a sześć niebieskich. Jedna kula zostaje zabrana z urny. Musisz sprawdzić prawdopodobieństwo uzyskania niebieskiego koloru.
Aby rozwiązać problem, konieczne jest wyznaczenie zdobycia niebieskiej kuli jako zdarzenia A. To doświadczenie może mieć dziesięć wyników, które z kolei są elementarne i równie prawdopodobne. Jednocześnie, na dziesięć, sześć jest korzystnych dla zdarzenia A. Rozwiązujemy według wzoru:
P(A)=6: 10=0, 6
Stosując ten wzór, odkryliśmy, że prawdopodobieństwo otrzymania niebieskiej kuli wynosi 0,6.
Rozwiązanie przykładu. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
Teraz zostanie przedstawiony wariant, który rozwiązuje się za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. Tak więc pod warunkiem, że są dwa pudełka, pierwsza zawiera jedną szarą i pięć białych, a druga osiem szarych i cztery białe. W rezultacie jeden z nich został zabrany z pierwszego i drugiego pudełka. Musisz dowiedzieć się, jaka jest szansa, że kulki, które otrzymasz, będą szare i białe.
Aby rozwiązać ten problem, musisz oznaczyć wydarzenia.
- Więc A - weź szarą kulkę z pierwszego pudełka: P(A)=1/6.
- A’ – weź białą bilę również z pierwszego pudełka: P(A')=5/6.
- B – szara kula została już wyjęta z drugiego pudełka: P(B)=2/3.
- B’ – weź szarą kulkę z drugiego pudełka: P(B')=1/3.
W zależności od stanu problemu musi wystąpić jedno ze zjawisk: AB' lub A'B. Korzystając ze wzoru otrzymujemy: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Teraz użyto wzoru na mnożenie prawdopodobieństwa. Następnie, aby znaleźć odpowiedź, musisz zastosować równanie do ich dodania:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
W ten sposób, korzystając ze wzoru, możesz rozwiązać podobne problemy.
Wynik
Artykuł dostarczył informacji na temat „Teoria prawdopodobieństwa”, w której prawdopodobieństwo zdarzenia odgrywa kluczową rolę. Oczywiście nie wszystko zostało wzięte pod uwagę, ale na podstawie przedstawionego tekstu można teoretycznie zapoznać się z tym działem matematyki. Nauka, o której mowa, może być przydatna nie tylko w pracy zawodowej, ale także w życiu codziennym. Z jego pomocą możesz obliczyć każdą możliwość dowolnego wydarzenia.
Tekst poruszał również ważne daty w historii formowania się teorii prawdopodobieństwa jako nauki oraz nazwiska osób, których prace zostały w nią zainwestowane. W ten sposób ludzka ciekawość doprowadziła do tego, że ludzie nauczyli się obliczać nawet zdarzenia losowe. Kiedyś po prostu się tym interesowali, ale dziś wszyscy już o tym wiedzą. I nikt nie powie, co nas czeka w przyszłości, jakie inne genialne odkrycia związane z rozważaną teorią zostaną dokonane. Ale jedno jest pewne - badania nie stoją w miejscu!
