Wielu, w obliczu koncepcji „teorii prawdopodobieństwa”, jest przerażonych myśląc, że jest to coś przytłaczającego, bardzo złożonego. Ale to naprawdę nie jest aż tak tragiczne. Dzisiaj rozważymy podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa, nauczymy się rozwiązywać problemy na konkretnych przykładach.
Nauka
Co bada taka gałąź matematyki jak „teoria prawdopodobieństwa”? Odnotowuje wzory zdarzeń losowych i ilości. Po raz pierwszy naukowcy zainteresowali się tą kwestią już w XVIII wieku, kiedy studiowali hazard. Podstawowym pojęciem teorii prawdopodobieństwa jest zdarzenie. Jest to każdy fakt, który można ustalić poprzez doświadczenie lub obserwację. Ale czym jest doświadczenie? Kolejna podstawowa koncepcja teorii prawdopodobieństwa. Oznacza to, że ta kompozycja okoliczności nie została stworzona przez przypadek, ale w konkretnym celu. Jeśli chodzi o obserwację, tutaj sam badacz nie uczestniczy w eksperymencie, ale jest po prostu świadkiem tych wydarzeń, w żaden sposób nie wpływa na to, co się dzieje.
Wydarzenia
Dowiedzieliśmy się, że podstawową koncepcją teorii prawdopodobieństwa jest zdarzenie, ale nie braliśmy pod uwagę klasyfikacji. Wszystkie są podzielone na następujące kategorie:
- Niezawodny.
- Niemożliwe.
- Losowo.
Nieważnejakie zdarzenia są obserwowane lub tworzone w toku doświadczenia, wszystkie podlegają tej klasyfikacji. Oferujemy zapoznanie się z każdym z gatunków z osobna.
Pewne wydarzenie
Jest to okoliczność, przed którą podjęto niezbędny zestaw środków. Aby lepiej zrozumieć istotę, lepiej podać kilka przykładów. Fizyka, chemia, ekonomia i wyższa matematyka podlegają temu prawu. Teoria prawdopodobieństwa zawiera tak ważne pojęcie, jak pewne zdarzenie. Oto kilka przykładów:
- Pracujemy i otrzymujemy wynagrodzenie w postaci pensji.
- Dobrze zdaliśmy egzaminy, zdaliśmy konkurs, za to otrzymujemy nagrodę w postaci przyjęcia do placówki oświatowej.
- Zainwestowaliśmy pieniądze w banku, w razie potrzeby odzyskamy je.
Takie zdarzenia są niezawodne. Jeśli spełnimy wszystkie niezbędne warunki, na pewno uzyskamy oczekiwany efekt.
Niemożliwe wydarzenia
Teraz rozważamy elementy teorii prawdopodobieństwa. Proponujemy przejść do wyjaśnienia kolejnego rodzaju zdarzenia, mianowicie niemożliwego. Najpierw określmy najważniejszą zasadę - prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.
Nie możesz odejść od tego sformułowania podczas rozwiązywania problemów. Dla wyjaśnienia, oto przykłady takich zdarzeń:
- Woda zamarzła na plus dziesięć (to niemożliwe).
- Brak prądu nie wpływa w żaden sposób na produkcję (tak samo jak w poprzednim przykładzie).
Więcej przykładówNie warto go cytować, gdyż te opisane powyżej bardzo wyraźnie oddają istotę tej kategorii. Niemożliwe wydarzenie nigdy nie wydarzy się podczas doświadczenia w żadnych okolicznościach.
Zdarzenia losowe
Studiując elementy teorii prawdopodobieństwa, należy zwrócić szczególną uwagę na ten konkretny rodzaj zdarzenia. Właśnie to studiuje nauka. W wyniku doświadczenia coś może się wydarzyć lub nie. Ponadto test można powtarzać nieograniczoną liczbę razy. Żywe przykłady to:
- Rzucenie monetą to doświadczenie lub test, nagłówek to wydarzenie.
- Wyciągnięcie piłki na ślepo z torby to test, złapanie czerwonej piłki to wydarzenie i tak dalej.
Liczba takich przykładów może być nieograniczona, ale ogólnie rzecz biorąc, istota powinna być jasna. Dla podsumowania i usystematyzowania zdobytej wiedzy o wydarzeniach podana jest tabela. Teoria prawdopodobieństwa bada tylko ostatni typ ze wszystkich przedstawionych.
| tytuł | definicja | przykład |
| Niezawodny | Wydarzenia, które występują ze 100% gwarancją w określonych warunkach. | Dostęp do instytucji edukacyjnej z dobrym egzaminem wstępnym. |
| Niemożliwe | Wydarzenia, które nigdy nie będą miały miejsca w żadnych okolicznościach. | Śnieg pada i ma temperaturę plus trzydzieści stopni Celsjusza. |
| Losowy | Zdarzenie, które może, ale nie musi wystąpić podczas eksperymentu/testu. | Uderz lub chybienie wrzucając piłkę do kosza. |
Prawa
Teoria prawdopodobieństwa to nauka badająca możliwość wystąpienia zdarzenia. Podobnie jak inne, ma pewne zasady. Istnieją następujące prawa teorii prawdopodobieństwa:
- Zbieżność ciągów zmiennych losowych.
- Prawo wielkich liczb.
Podczas obliczania możliwości kompleksu, możesz użyć kompleksu prostych zdarzeń, aby łatwiej i szybciej osiągnąć wynik. Zauważ, że prawa teorii prawdopodobieństwa można łatwo udowodnić za pomocą niektórych twierdzeń. Zacznijmy od pierwszego prawa.
Zbieżność ciągów zmiennych losowych
Zauważ, że istnieje kilka rodzajów zbieżności:
- Sekwencja zmiennych losowych jest zbieżna pod względem prawdopodobieństwa.
- Prawie niemożliwe.
- Konwergencja RMS.
- Konwergencja w dystrybucji.
Więc w locie bardzo trudno jest dotrzeć do sedna tego. Oto kilka definicji, które pomogą Ci zrozumieć ten temat. Zacznijmy od pierwszego spojrzenia. Sekwencja jest nazywana zbieżną pod względem prawdopodobieństwa, jeśli spełniony jest następujący warunek: n dąży do nieskończoności, liczba do której dąży sekwencja jest większa od zera i bliska jedynce.
Przejście do następnego widoku, prawie na pewno. Mówią, żesekwencja prawie na pewno zbiega się do zmiennej losowej, gdzie n dąży do nieskończoności, a P dąży do wartości bliskiej jedności.
Następny typ to zbieżność średnia kwadratowa. W przypadku zastosowania zbieżności SC badanie wektorowych procesów losowych sprowadza się do badania ich współrzędnych procesów losowych.
Ostatni typ pozostaje, przyjrzyjmy się mu krótko, aby przejść bezpośrednio do rozwiązywania problemów. Konwergencja dystrybucji ma inną nazwę - „słaba”, wyjaśnimy dlaczego poniżej. Słaba zbieżność to zbieżność rozkładów we wszystkich punktach ciągłości granicznej funkcji rozkładu.
Upewnij się, że spełnisz obietnicę: słaba zbieżność różni się od wszystkich powyższych tym, że zmienna losowa nie jest zdefiniowana w przestrzeni prawdopodobieństwa. Jest to możliwe, ponieważ warunek jest tworzony wyłącznie przy użyciu funkcji rozkładu.
Prawo wielkich liczb
Doskonałymi pomocnikami w udowodnieniu tego prawa będą twierdzenia teorii prawdopodobieństwa, takie jak:
- Nierówność Czebyszewa.
- Twierdzenie Czebyszewa.
- Uogólnione twierdzenie Czebyszewa.
- Twierdzenie Markowa.
Jeśli weźmiemy pod uwagę wszystkie te twierdzenia, to pytanie może ciągnąć się na kilkadziesiąt arkuszy. Naszym głównym zadaniem jest zastosowanie teorii prawdopodobieństwa w praktyce. Zapraszamy do tego już teraz. Ale wcześniej rozważmy aksjomaty teorii prawdopodobieństwa, będą one głównymi pomocnikami w rozwiązywaniu problemów.
Aksjomaty
Spotkaliśmy już pierwszego, kiedy rozmawialiśmy o wydarzeniu niemożliwym. Pamiętajmy: prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero. Podaliśmy bardzo żywy i niezapomniany przykład: śnieg padał przy temperaturze powietrza trzydziestu stopni Celsjusza.
Drugi brzmi tak: wiarygodne zdarzenie ma miejsce z prawdopodobieństwem równym jedności. Teraz pokażmy, jak to napisać za pomocą języka matematycznego: P(B)=1.
Po trzecie: Zdarzenie losowe może wystąpić lub nie, ale możliwość zawsze waha się od zera do jednego. Im wartość jest bliższa jedności, tym większa szansa; jeśli wartość zbliża się do zera, prawdopodobieństwo jest bardzo niskie. Napiszmy to matematycznym językiem: 0<Р(С)<1.
Rozważmy ostatni, czwarty aksjomat, który brzmi tak: prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw. Piszemy językiem matematycznym: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa to najprostsze reguły, które łatwo zapamiętać. Spróbujmy rozwiązać niektóre problemy w oparciu o zdobytą wiedzę.
Bilet na loterię
Najpierw rozważ najprostszy przykład - loterię. Wyobraź sobie, że kupiłeś jeden los na loterię na szczęście. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygrasz co najmniej dwadzieścia rubli? W sumie w obiegu bierze udział tysiąc biletów, z których jeden ma nagrodę w wysokości pięciuset rubli, dziesięciu sto rubli, pięćdziesięciu dwudziestu rubli i stu pięciu. Problemy w teorii prawdopodobieństwa opierają się na znalezieniu możliwościpowodzenia. Teraz wspólnie przeanalizujemy rozwiązanie przedstawionego powyżej zadania.
Jeśli oznaczymy literą A wygraną w wysokości pięciuset rubli, to prawdopodobieństwo uzyskania A wyniesie 0,001. Jak to otrzymaliśmy? Wystarczy podzielić liczbę „szczęśliwych” biletów przez ich całkowitą liczbę (w tym przypadku: 1/1000).
B to wygrana stu rubli, prawdopodobieństwo wyniesie 0,01. Teraz działaliśmy na tej samej zasadzie, co w poprzedniej akcji (10/1000)
C - wygrane są równe dwudziestu rubli. Znajdź prawdopodobieństwo, wynosi 0,05.
Reszta biletów nas nie interesuje, ponieważ ich pula nagród jest mniejsza niż określona w warunku. Zastosujmy czwarty aksjomat: prawdopodobieństwo wygrania co najmniej dwudziestu rubli wynosi P(A)+P(B)+P(C). Litera P oznacza prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia, znaleźliśmy je już w poprzednich krokach. Pozostaje tylko dodać niezbędne dane, w odpowiedzi otrzymamy 0, 061. Ta liczba będzie odpowiedzią na pytanie zadania.
Talia kart
Problemy z teorią prawdopodobieństwa mogą być bardziej złożone, na przykład wykonaj następujące zadanie. Przed tobą jest talia trzydziestu sześciu kart. Twoim zadaniem jest dobranie dwóch kart pod rząd bez mieszania stosu, pierwsza i druga karta muszą być asami, kolor nie ma znaczenia.
Najpierw znajdźmy prawdopodobieństwo, że pierwszą kartą będzie as, w tym celu dzielimy cztery przez trzydzieści sześć. Odłożyli to na bok. Wyciągamy drugą kartę, będzie to as z prawdopodobieństwem trzech trzydziestych piątych. Prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia zależy od tego, którą kartę wylosowaliśmy jako pierwszą, która nas interesujeczy to był as, czy nie. Wynika z tego, że zdarzenie B zależy od zdarzenia A.
Kolejnym krokiem jest znalezienie prawdopodobieństwa jednoczesnej realizacji, czyli mnożymy A i B. Ich iloczyn jest następujący: prawdopodobieństwo jednego zdarzenia jest mnożone przez prawdopodobieństwo warunkowe innego, które obliczamy, zakładając, że miało miejsce pierwsze zdarzenie, czyli pierwszą kartą dociągnęliśmy asa.
Aby wszystko było jasne, nadajmy oznaczenie takiemu elementowi jak prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia. Jest obliczany przy założeniu, że wystąpiło zdarzenie A. Obliczono w następujący sposób: P(B/A).
Kontynuuj rozwiązywanie naszego problemu: P(AB)=P(A)P(B/A) lub P (AB)=P(B)P(A/B). Prawdopodobieństwo wynosi (4/36)((3/35)/(4/36). Oblicz przez zaokrąglenie do części setnych. Mamy: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Prawdopodobieństwo, że wylosujemy dwa asy z rzędu wynosi dziewięć setnych Wartość jest bardzo mała, z tego wynika, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest niezwykle małe.
Zapomniałem numer
Proponujemy przeanalizowanie kilku dodatkowych opcji zadań, które są badane przez teorię prawdopodobieństwa. Widziałeś już przykłady rozwiązywania niektórych z nich w tym artykule, spróbujmy rozwiązać następujący problem: chłopiec zapomniał ostatniej cyfry numeru telefonu kolegi, ale ponieważ rozmowa była bardzo ważna, zaczął wykręcać wszystko po kolei. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że zadzwoni nie więcej niż trzy razy. Rozwiązanie problemu jest najprostsze, jeśli znane są reguły, prawa i aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa.
Przed oglądaniemrozwiązanie, spróbuj rozwiązać go sam. Wiemy, że ostatnia cyfra może wynosić od zera do dziewięciu, czyli w sumie jest dziesięć wartości. Prawdopodobieństwo uzyskania właściwego wynosi 1/10.
Następnie musimy rozważyć opcje pochodzenia zdarzenia, załóżmy, że chłopiec odgadł dobrze i od razu zdobył właściwą ocenę, prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi 1/10. Druga opcja: pierwsze połączenie jest chybione, a drugie celne. Obliczamy prawdopodobieństwo takiego zdarzenia: mnożymy 9/10 przez 1/9, w wyniku otrzymujemy również 1/10. Trzecia opcja: pierwszy i drugi telefon okazał się być pod niewłaściwym adresem, dopiero od trzeciego chłopak dotarł tam, gdzie chciał. Obliczamy prawdopodobieństwo takiego zdarzenia: mnożymy 9/10 przez 8/9 i przez 1/8 otrzymujemy 1/10. W zależności od stanu problemu nie interesują nas inne opcje, więc pozostaje nam zsumować wyniki, w wyniku czego mamy 3/10. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że chłopiec zadzwoni nie więcej niż trzy razy, wynosi 0,3.
Karty z numerami
Przed tobą jest dziewięć kart, na każdej z nich zapisana jest liczba od jednego do dziewięciu, liczby się nie powtarzają. Umieszczono je w pudełku i dokładnie wymieszano. Musisz obliczyć prawdopodobieństwo, że
- pojawi się liczba parzysta;
- dwucyfrowy.
Zanim przejdziemy do rozwiązania, załóżmy, że m to liczba pomyślnych przypadków, a n to całkowita liczba opcji. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba jest parzysta. Nie będzie trudno obliczyć, że są cztery liczby parzyste, to będzie nasze m, w sumie jest dziewięć opcji, czyli m=9. Wtedy prawdopodobieństworówna się 0, 44 lub 4/9.
Rozważmy drugi przypadek: liczba opcji wynosi dziewięć i nie może być żadnych pomyślnych wyników, to znaczy, m równa się zero. Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta będzie zawierała dwucyfrową liczbę, również wynosi zero.
