Aby zrozumieć, jakie są ekstrema funkcji, wcale nie jest konieczna wiedza o obecności pierwszej i drugiej pochodnej oraz zrozumienie ich fizycznego znaczenia. Najpierw musisz zrozumieć, co następuje:
- funkcja ekstrema maksymalizuje lub odwrotnie minimalizuje wartość funkcji w dowolnie małym sąsiedztwie;
- W punkcie ekstremum nie powinno być przerwania funkcji.
A teraz to samo, tylko prostym językiem. Spójrz na końcówkę długopisu. Jeśli pisak jest ustawiony pionowo, z końcem pisania do góry, to sam środek kuli będzie punktem skrajnym - najwyższym. W tym przypadku mówimy o maksimum. Teraz, jeśli obrócisz długopis końcówką do pisania w dół, to na środku kuli będzie już minimum funkcji. Za pomocą podanej tutaj figury możesz sobie wyobrazić wymienione manipulacje ołówkiem biurowym. Tak więc ekstremami funkcji są zawsze punkty krytyczne: jej maksima lub minima. Sąsiednia część wykresu może być dowolnie ostra lub gładka, ale musi istnieć po obu stronach, tylko w tym przypadku punkt jest ekstremum. Jeśli wykres jest obecny tylko po jednej stronie, ten punkt nie będzie ekstremum, nawet jeśli po jednej stroniespełnione są skrajne warunki. Przeanalizujmy teraz ekstrema funkcji z naukowego punktu widzenia. Aby punkt został uznany za ekstremum, konieczne i wystarczające jest, aby:
- pierwsza pochodna była równa zero lub nie istniała w tym punkcie;
- pierwsza pochodna zmieniła swój znak w tym momencie.
Warunek jest interpretowany nieco inaczej z punktu widzenia pochodnych wyższego rzędu: dla funkcji różniczkowalnej w punkcie wystarczy, że istnieje pochodna nieparzystego rzędu, która nie jest równa zeru, podczas gdy wszystkie pochodne niższego rzędu muszą istnieć i być równe zero. To najprostsza interpretacja twierdzeń z podręczników matematyki wyższej. Ale najzwyklejszym ludziom warto wyjaśnić ten punkt na przykładzie. Podstawą jest zwykła parabola. Natychmiast dokonaj rezerwacji, w punkcie zerowym ma minimum. Trochę matematyki:
- pierwsza pochodna (X2)|=2X, dla punktu zerowego 2X=0;
- druga pochodna (2X)|=2, dla punktu zerowego 2=2.
To jest prosta ilustracja warunków określających ekstrema funkcji zarówno dla pochodnych pierwszego rzędu, jak i dla pochodnych wyższego rzędu. Możemy dodać do tego, że druga pochodna jest po prostu tą samą pochodną nieparzystego rzędu, nierównego zeru, który został omówiony nieco wyżej. Jeśli chodzi o ekstrema funkcji dwóch zmiennych, warunki muszą być spełnione dla obu argumentów. Kiedynastępuje uogólnienie, a następnie stosuje się pochodne cząstkowe. Oznacza to, że konieczne jest występowanie ekstremum w punkcie, w którym obie pochodne pierwszego rzędu są równe zeru lub przynajmniej jedna z nich nie istnieje. Dla wystarczalności obecności ekstremum badane jest wyrażenie, które jest różnicą między iloczynem pochodnych drugiego rzędu a kwadratem mieszanej pochodnej drugiego rzędu funkcji. Jeśli to wyrażenie jest większe od zera, to jest ekstremum, a jeśli jest zero, to pytanie pozostaje otwarte i potrzebne są dodatkowe badania.
