Sekwencja liczbowa i jej granica były jednym z najważniejszych problemów w matematyce w całej historii tej nauki. Stale aktualizowana wiedza, formułowanie nowych twierdzeń i dowodów - wszystko to pozwala nam rozpatrywać tę koncepcję z nowych pozycji i pod różnymi kątami.
Sekwencja liczb, zgodnie z jedną z najczęstszych definicji, jest funkcją matematyczną, której podstawą jest zbiór liczb naturalnych ułożonych według takiego czy innego wzorca.
Tę funkcję można uznać za zdefiniowaną, jeśli znane jest prawo, zgodnie z którym dla każdej liczby naturalnej można jasno zdefiniować liczbę rzeczywistą.
Istnieje kilka opcji tworzenia sekwencji numerów.
Po pierwsze, funkcję tę można zdefiniować w tzw. sposób „wyraźny”, gdy istnieje pewna formuła, za pomocą której można określić każdy z jej członkówprzez proste zastąpienie numeru seryjnego w podanej kolejności.
Druga metoda nazywana jest "rekurencyjną". Jego istota polega na tym, że podano kilka pierwszych członów ciągu liczbowego, a także specjalną formułę rekurencyjną, za pomocą której, znając poprzedni człon, można znaleźć następny.
Najbardziej ogólny sposób określania ciągów to tak zwana „metoda analityczna”, w której bez większych trudności można nie tylko zidentyfikować ten lub inny termin pod określonym numerem seryjnym, ale także znać kilka następujących po sobie terminów, przejdź do ogólnego wzoru danych funkcji.
Sekwencja numerów może być malejąca lub rosnąca. W pierwszym przypadku każdy kolejny termin jest mniejszy od poprzedniego, a w drugim przeciwnie, jest większy.
Rozważając ten temat, nie sposób nie poruszyć kwestii granic ciągów. Granicą ciągu jest taka liczba, gdy dla dowolnej wartości, w tym nieskończenie małej, istnieje numer seryjny, po którym odchylenie kolejnych elementów ciągu od danego punktu w postaci liczbowej staje się mniejsze niż wartość podana podczas formowania tej funkcji.
Koncepcja granicy ciągu liczbowego jest aktywnie wykorzystywana podczas wykonywania pewnych obliczeń całkowych i różniczkowych.
Sekwencje matematyczne mają cały zestaw całkiem interesującychwłaściwości.
Po pierwsze, dowolna sekwencja liczbowa jest przykładem funkcji matematycznej, dlatego właściwości charakterystyczne dla funkcji można bezpiecznie zastosować do sekwencji. Najbardziej uderzającym przykładem takich własności jest przepis o rosnących i malejących szeregach arytmetycznych, które łączy jedno wspólne pojęcie - ciągi monotoniczne.
Po drugie, istnieje dość duża grupa ciągów, których nie można zaklasyfikować ani jako rosnące, ani malejące - są to ciągi okresowe. W matematyce uważa się je za te funkcje, w których istnieje tak zwana długość okresu, to znaczy od pewnego momentu (n) zaczyna działać następująca równość y =yn+T, gdzie T będzie długością okresu.
