Ważnym obiektem geometrycznym badanym w płaskiej przestrzeni jest linia prosta. W przestrzeni trójwymiarowej oprócz linii prostej jest też płaszczyzna. Oba obiekty są wygodnie definiowane za pomocą wektorów kierunkowych. Co to jest, w jaki sposób te wektory są używane do wyznaczania równań linii prostej i płaszczyzny? Te i inne pytania zostały omówione w artykule.
Linia bezpośrednia i jak ją zdefiniować
Każdy uczeń ma dobre pojęcie o tym, o jakim obiekcie geometrycznym mówi. Z punktu widzenia matematyki linia prosta jest zbiorem punktów, które w przypadku ich dowolnego połączenia parami prowadzą do zbioru wektorów równoległych. Ta definicja linii służy do napisania dla niej równania zarówno w dwóch, jak i trzech wymiarach.
Aby opisać rozważany obiekt jednowymiarowy, używane są różne typy równań, które są wymienione na poniższej liście:
- widok ogólny;
- parametryczne;
- wektor;
- kanoniczne lub symetryczne;
- w segmentach.
Każdy z tych gatunków ma pewną przewagę nad innymi. Na przykład równanie w odcinkach jest wygodne w użyciu podczas badania zachowania linii prostej względem osi współrzędnych, równanie ogólne jest wygodne przy znajdowaniu kierunku prostopadłego do danej linii prostej, a także przy obliczaniu jej kąta przecięcie z osią x (dla przypadku płaskiego).
Ponieważ temat tego artykułu jest związany z wektorem kierującym prostej, będziemy dalej rozważać tylko równanie, w którym ten wektor jest fundamentalny i jest wyraźnie zawarty, to jest wyrażenie wektorowe.
Określanie linii prostej przechodzącej przez wektor
Załóżmy, że mamy jakiś wektor v¯ o znanych współrzędnych (a; b; c). Ponieważ istnieją trzy współrzędne, wektor jest podany w przestrzeni. Jak to zobrazować w prostokątnym układzie współrzędnych? Odbywa się to bardzo prosto: na każdej z trzech osi wykreślany jest segment, którego długość jest równa odpowiedniej współrzędnej wektora. Punkt przecięcia trzech prostopadłych przywróconych do płaszczyzn xy, yz i xz będzie końcem wektora. Jego początkiem jest punkt (0; 0; 0).
Mimo to podana pozycja wektora nie jest jedyna. Podobnie można narysować v¯, umieszczając jego początek w dowolnym punkcie przestrzeni. Argumenty te mówią, że nie można ustawić konkretnej linii za pomocą wektora. Definiuje rodzinę nieskończonej liczby równoległych linii.
Terazustalić punkt P(x0; y0; z0) przestrzeni. I stawiamy warunek: prosta linia musi przechodzić przez P. W tym przypadku wektor v¯ musi również zawierać ten punkt. Ostatni fakt oznacza, że jedną linię można zdefiniować za pomocą P i v¯. Będzie to zapisane jako następujące równanie:
Q=P + λ × v¯
Tu Q jest dowolnym punktem należącym do linii. Ten punkt można uzyskać wybierając odpowiedni parametr λ. Zapisane równanie nazywa się równaniem wektorowym, a v¯ nazywa się wektorem kierunkowym linii prostej. Układając go tak, aby przechodził przez P i zmieniając jego długość za pomocą parametru λ, otrzymujemy każdy punkt Q jako linię prostą.
W postaci współrzędnych równanie zostanie zapisane w następujący sposób:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
I w formie jawnej (parametrycznej) możesz napisać:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Jeśli wykluczymy trzecią współrzędną z powyższych wyrażeń, otrzymamy równania wektorowe prostej na płaszczyźnie.
Do jakich zadań przydatna jest znajomość wektora kierunku?
Z reguły są to zadania polegające na określeniu równoległości i prostopadłości linii. Również wektor bezpośredni, który określa kierunek, jest używany podczas obliczania odległości między liniami prostymi a punktem i linią prostą, aby opisać zachowanie linii prostej względem płaszczyzny.
Dwalinie będą równoległe, jeśli ich wektory kierunkowe są. W związku z tym prostopadłość linii jest udowadniana za pomocą prostopadłości ich wektorów. W tego typu problemach wystarczy obliczyć iloczyn skalarny rozważanych wektorów, aby uzyskać odpowiedź.
W przypadku zadań obliczania odległości między liniami i punktami wektor kierunku jest wyraźnie zawarty w odpowiednim wzorze. Zapiszmy to:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Tutaj P1P2¯ - zbudowany na punktach P1 i P 2 segment skierowany. Punkt P2 jest dowolny, leżący na prostej z wektorem v¯, natomiast punkt P1 jest tym, do którego odległość powinna być zdeterminowanym. Może być niezależny lub należeć do innej linii lub płaszczyzny.
Zauważ, że ma sens obliczanie odległości między liniami tylko wtedy, gdy są równoległe lub przecinają się. Jeśli się przecinają, to d wynosi zero.
Powyższy wzór na d obowiązuje również przy obliczaniu odległości między płaszczyzną a linią prostą do niej równoległą, tylko w tym przypadku P1powinno należeć do płaszczyzny.
Rozwiążmy kilka problemów, aby lepiej pokazać, jak używać rozważanego wektora.
Problem z równaniem wektorowym
Wiadomo, że linia prosta jest opisana następującym równaniem:
y=3 × x - 4
Powinieneś napisać odpowiednie wyrażenie wforma wektorowa.
To typowe równanie prostej, znane każdemu uczniowi, zapisane w formie ogólnej. Pokażmy, jak przepisać to w postaci wektorowej.
Wyrażenie może być reprezentowane jako:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Widać, że jeśli go otworzysz, uzyskasz pierwotną równość. Teraz dzielimy jego prawą stronę na dwa wektory tak, że tylko jeden z nich zawiera x, mamy:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Pozostaje wyjąć x z nawiasów, oznaczyć je greckim symbolem i zamienić wektory po prawej stronie:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Uzyskaliśmy formę wektorową oryginalnego wyrażenia. Kierunkowe współrzędne wektora prostej to (1; 3).
Zadanie określenia względnej pozycji linii
Dwie linie są podane w spacji:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Czy są równoległe, przecinają się czy przecinają?
Niezerowe wektory (-1; 3; 1) i (1; 2; 0) będą prowadnicami dla tych linii. Wyraźmy te równania w postaci parametrycznej i zamieńmy współrzędne pierwszego na drugie. Otrzymujemy:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Podstawiamy znaleziony parametr λ do dwóch powyższych równań, otrzymujemy:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parametr γ nie może przyjmować dwóch różnych wartości jednocześnie. Oznacza to, że linie nie mają jednego wspólnego punktu, to znaczy przecinają się. Nie są równoległe, ponieważ niezerowe wektory nie są do siebie równoległe (dla ich równoległości musi istnieć liczba, która po pomnożeniu przez jeden wektor dałaby współrzędne drugiego).
Matematyczny opis samolotu
Aby ustawić płaszczyznę w przestrzeni, podajemy ogólne równanie:
A × x + B × y + C × z + D=0
Tutaj łacińskie wielkie litery reprezentują określone liczby. Pierwsze trzy z nich określają współrzędne wektora normalnego płaszczyzny. Jeśli jest oznaczony przez n¯, to:
n¯=(A; B; C)
Ten wektor jest prostopadły do płaszczyzny, więc nazywa się to przewodnikiem. Jego wiedza, a także znane współrzędne dowolnego punktu należącego do płaszczyzny, jednoznacznie określają tę ostatnią.
Jeśli punkt P(x1; y1; z1) należy do płaszczyznę, to punkt przecięcia D oblicza się w następujący sposób:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Rozwiążmy kilka problemów za pomocą ogólnego równania dla samolotu.
Zadanie dlaznajdowanie wektora normalnego płaszczyzny
Samolot jest zdefiniowany w następujący sposób:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Jak znaleźć dla niej wektor kierunkowy?
Z powyższej teorii wynika, że współrzędne wektora normalnego n¯ są współczynnikami przed zmiennymi. W związku z tym, aby znaleźć n¯, równanie należy zapisać w postaci ogólnej. Mamy:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Wtedy wektor normalny samolotu to:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problem sporządzenia równania samolotu
Podano współrzędne trzech punktów:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Jak będzie wyglądać równanie płaszczyzny zawierającej wszystkie te punkty.
Poprzez trzy punkty, które nie należą do tej samej linii, można narysować tylko jedną płaszczyznę. Aby znaleźć jego równanie, najpierw obliczamy wektor kierunku płaszczyzny n¯. Aby to zrobić, postępujemy w następujący sposób: znajdujemy dowolne dwa wektory należące do płaszczyzny i obliczamy ich iloczyn wektorowy. Da to wektor prostopadły do tej płaszczyzny, czyli n¯. Mamy:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Weź punkt M1narysowaćwyrażenia płaszczyzny. Otrzymujemy:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Uzyskaliśmy ogólne wyrażenie typu dla płaszczyzny w przestrzeni, definiując najpierw dla niej wektor kierunkowy.
Właściwość iloczynu krzyżowego należy pamiętać przy rozwiązywaniu problemów z płaszczyznami, ponieważ pozwala ona w prosty sposób określić współrzędne wektora normalnego.
