Na szkolnym kursie geometrii ogromną ilość czasu poświęca się na naukę trójkątów. Uczniowie obliczają kąty, budują dwusieczne i wysokości, dowiadują się, jak kształty różnią się od siebie i jak najłatwiej znaleźć ich powierzchnię i obwód. Wydaje się, że nie jest to przydatne w życiu, ale czasami warto wiedzieć, na przykład, jak ustalić, czy trójkąt jest równoboczny czy rozwarty. Jak to zrobić?
Rodzaje trójkątów
Trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej, oraz odcinki, które je łączą. Wydaje się, że ta liczba jest najprostsza. Jak mogą wyglądać trójkąty, jeśli mają tylko trzy boki? W rzeczywistości istnieje dość duża liczba opcji, a niektórym z nich poświęca się szczególną uwagę w ramach szkolnego kursu geometrii. Trójkąt równoboczny to trójkąt równoboczny, to znaczy wszystkie jego kąty i boki są równe. Posiada szereg niezwykłych właściwości, które zostaną omówione później.
Ramiona równoramienne mają tylko dwie równe strony i jest to również całkiem interesujące. W trójkątach prostokątnych i rozwartych, jak można się domyślić, odpowiednio jeden z kątów jest prosty lub rozwarty. Na to mogą być również równoramienne.
Istnieje również specjalny rodzaj trójkąta zwany egipskim. Jego boki to 3, 4 i 5 jednostek. Jest jednak prostokątny. Uważa się, że taki trójkąt był aktywnie wykorzystywany przez egipskich geodetów i architektów do budowy kątów prostych. Uważa się, że z jego pomocą zbudowano słynne piramidy.
A jednak wszystkie wierzchołki trójkąta mogą leżeć na jednej linii prostej. W tym przypadku zostanie to nazwane zdegenerowanym, podczas gdy wszystkie inne będą nazywane niezdegenerowanymi. Są jednym z przedmiotów nauki geometrii.
Trójkąt równoboczny
Oczywiście, prawidłowe liczby są zawsze najciekawsze. Wydają się doskonalsze, bardziej pełne wdzięku. Wzory do obliczania ich cech są często prostsze i krótsze niż w przypadku zwykłych liczb. Dotyczy to również trójkątów. Nic dziwnego, że poświęca się im wiele uwagi podczas nauki geometrii: dzieci w wieku szkolnym uczą się odróżniać zwykłe figury od reszty, a także opowiadają o niektórych ich interesujących cechach.
Znaki i właściwości
Jak można się domyślić po nazwie, każdy bok trójkąta równobocznego jest równy pozostałym dwóm. Dodatkowo posiada szereg cech, dzięki którym można określić czy rysunek jest prawidłowy czy nie.
- wszystkie jego kąty są równe, ich wartość to 60 stopni;
- dwusieczne, wysokości i mediany narysowane z każdego wierzchołka są takie same;
- trójkąt regularny ma 3 osie symetrii, tonie zmienia się po obróceniu o 120 stopni.
- środek okręgu wpisanego jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego i punktem przecięcia środkowych, dwusiecznych, wysokości i dwusiecznych prostopadłych.
Jeżeli co najmniej jeden z powyższych znaków jest obserwowany, trójkąt jest równoboczny. W przypadku liczby regularnej wszystkie powyższe stwierdzenia są prawdziwe.
Wszystkie trójkąty mają wiele niezwykłych właściwości. Po pierwsze, linia środkowa, czyli odcinek dzielący dwa boki na pół i równoległy do trzeciego, jest równy połowie podstawy. Po drugie, suma wszystkich kątów tej figury jest zawsze równa 180 stopni. Ponadto istnieje jeszcze jedna interesująca zależność w trójkątach. Tak więc naprzeciwko większego boku leży większy kąt i na odwrót. Ale to oczywiście nie ma nic wspólnego z trójkątem równobocznym, ponieważ wszystkie jego kąty są równe.
Kręgi wpisane i opisane
Nierzadko zdarza się, że uczestnicy kursu geometrii uczą się, jak kształty mogą ze sobą oddziaływać. W szczególności badane są okręgi wpisane w wielokąty lub opisane wokół nich. O co chodzi?
Okrąg wpisany to okrąg, do którego wszystkie boki wielokąta są styczne. Opisany - taki, który ma punkty styczności ze wszystkimi rogami. Dla każdego trójkąta zawsze możliwe jest skonstruowanie zarówno pierwszego, jak i drugiego okręgu, ale tylko po jednym z każdego typu. Dowody dla tych dwojga
twierdzenia są podane wszkolny kurs geometrii.
Oprócz obliczania parametrów samych trójkątów, niektóre zadania obejmują również obliczanie promieni tych okręgów. A wzory na trójkąt równoboczny wyglądają tak:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego, R jest promieniem okręgu opisanego, a jest długością boku trójkąta.
Obliczanie wysokości, obwodu i powierzchni
Główne parametry obliczane przez uczniów podczas nauki geometrii pozostają niezmienione dla prawie każdej figury. Są to obwód, powierzchnia i wysokość. Dla ułatwienia obliczeń dostępne są różne formuły.
Tak więc obwód, to znaczy długość wszystkich boków, jest obliczana w następujący sposób:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, gdzie a jest bokiem trójkąta foremnego, R jest promieniem okręgu opisanego, r jest okręgiem wpisanym.
Wysokość:
h=(√ ̅3/2)a, gdzie a jest długością boku.
Wreszcie wzór na pole trójkąta równobocznego jest wyprowadzony ze standardowego wzoru, czyli iloczynu połowy podstawy i jej wysokości.
S=(√ ̅3/4)a2, gdzie a jest długością boku.
Ponadto wartość tę można obliczyć na podstawie parametrów koła opisanego lub wpisanego. Istnieją również specjalne formuły na to:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, gdzie r i R są odpowiednio promienie wpisane i opisane okręgi.
Budynek
Jeden więcejCiekawy rodzaj zadania, w tym trójkąty, wiąże się z koniecznością narysowania takiej lub innej figury za pomocą zestawu minimalnego
narzędzia: kompas i linijka bez podziałów.
Zbudowanie odpowiedniego trójkąta wymaga tylko kilku kroków.
- Musisz narysować okrąg o dowolnym promieniu i wyśrodkowany w dowolnym punkcie A. Musi być zaznaczony.
- Następnie musisz narysować prostą linię przez ten punkt.
- Przecięcia okręgu i linii prostej muszą być oznaczone jako B i C. Wszystkie konstrukcje muszą być wykonane z największą możliwą dokładnością.
- Następnie musisz zbudować kolejny okrąg o tym samym promieniu i środku w punkcie C lub łuk o odpowiednich parametrach. Skrzyżowania będą oznaczone jako D i F.
- Punkty B, F, D muszą być połączone segmentami. Powstaje trójkąt równoboczny.
Rozwiązywanie takich problemów jest zwykle problemem dla uczniów, ale ta umiejętność może być przydatna w życiu codziennym.
