Pryzmat sześciokątny i jego główne cechy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Geometria przestrzenna to nauka o pryzmatach. Ich ważnymi cechami są objętość w nich zawarta, powierzchnia i liczba pierwiastków składowych. W artykule rozważymy wszystkie te właściwości dla sześciokątnego pryzmatu.

O jakim pryzmacie mówimy?

Graniastosłup sześciokątny to figura utworzona przez dwa wielokąty o sześciu bokach i sześciu kątach oraz sześć równoległoboków łączących zaznaczone sześciokąty w jedną geometryczną formację.

Rysunek przedstawia przykład tego pryzmatu.

Sześciokąt zaznaczony na czerwono nazywa się podstawą figury. Oczywiście liczba jego podstaw jest równa dwóm i obie są identyczne. Żółto-zielonkawe ściany pryzmatu nazywane są jego bokami. Na rysunku są one reprezentowane przez kwadraty, ale ogólnie są to równoległoboki.

Sześciokątny pryzmat może być pochylony i prosty. W pierwszym przypadku kąty między podstawą a bokami nie są proste, w drugim są one równe 90o. Również ten pryzmat może być poprawny i niepoprawny. Regularne sześciokątnepryzmat musi być prosty i mieć u podstawy sześciokąt foremny. Powyższy pryzmat na rysunku spełnia te wymagania, dlatego nazywa się go poprawnym. W dalszej części artykułu zbadamy tylko jego właściwości, jako przypadek ogólny.

Elementy

Dla każdego pryzmatu jego głównymi elementami są krawędzie, ściany i wierzchołki. Sześciokątny pryzmat nie jest wyjątkiem. Powyższy rysunek pozwala policzyć ilość tych elementów. Tak więc otrzymujemy 8 ścian lub boków (dwie podstawy i sześć bocznych równoległoboków), liczba wierzchołków to 12 (6 wierzchołków na każdą podstawę), liczba krawędzi sześciokątnego graniastosłupa to 18 (sześć bocznych i 12 dla podstaw).

W latach pięćdziesiątych XVIII wieku Leonhard Euler (szwajcarski matematyk) ustalił dla wszystkich wielościanów, do których należy pryzmat, matematyczną zależność między liczbami wskazanych elementów. Ta relacja wygląda tak:

liczba krawędzi=liczba ścian + liczba wierzchołków - 2.

Powyższe liczby spełniają ten wzór.

Przekątne pryzmatu

Wszystkie przekątne sześciokątnego pryzmatu można podzielić na dwa typy:

• te, które leżą w płaszczyznach jego twarzy;
• te, które należą do całej objętości figury.

Poniższy rysunek przedstawia wszystkie te przekątne.

Widać, że D₁ jest boczną przekątną, D₂ i D₃ są przekątne cały pryzmat, D₄ i D_{5 - przekątne podstawy.}

Długości przekątnych boków są sobie równe. Łatwo je obliczyć, korzystając ze znanego twierdzenia Pitagorasa. Niech a będzie długością boku sześciokąta, b długością krawędzi bocznej. Wtedy przekątna ma długość:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ jest również łatwe do ustalenia. Jeśli przypomnimy sobie, że foremny sześciokąt mieści się w okręgu o promieniu a, to D_{4 jest średnicą tego okręgu, czyli otrzymujemy następujący wzór:}

D_4=2a.

Diagonal D₅podstawy są nieco trudniejsze do znalezienia. Aby to zrobić, rozważ trójkąt równoboczny ABC (patrz rys.). Dla niego AB=BC=a, kąt ABC wynosi 120^{o. Jeśli obniżymy wysokość od tego kąta (będzie to również dwusieczna i mediana), to połowa podstawy AC będzie równa:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Strona AC jest przekątną D_{5, więc otrzymujemy:}

D_5=AC=√3a.

Teraz pozostaje znaleźć przekątne D₂i D_{3 regularnego sześciokątnego pryzmatu. Aby to zrobić, musisz zobaczyć, że są to przeciwprostokątne odpowiednich trójkątów prostokątnych. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Zatem największą przekątną dla dowolnych wartości a i b jestD_2.

Powierzchnia

Aby zrozumieć, o co toczy się gra, najprostszym sposobem jest rozważenie rozwoju tego pryzmatu. Jest to pokazane na zdjęciu.

Widać, że aby określić pole wszystkich boków rozważanej figury, należy osobno obliczyć pole czworokąta i pole sześciokąta, a następnie je pomnożyć przez odpowiednie liczby całkowite równe liczbie każdego n-kąta w pryzmacie i dodaj wyniki. Sześciokąty 2, prostokąty 6.

Dla pola prostokąta otrzymujemy:

S_1=ab.

W takim razie powierzchnia boczna to:

S_2=6ab.

Aby określić pole sześciokąta, najprościej jest użyć odpowiedniego wzoru, który wygląda tak:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Podstawiając liczbę n równą 6 do tego wyrażenia, otrzymujemy pole jednego sześciokąta:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

To wyrażenie należy pomnożyć przez dwa, aby uzyskać powierzchnię podstawy pryzmatu:

S_os=3√3a^2.

Pozostaje dodać S_os i S_{2, aby uzyskać całkowitą powierzchnię figury:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Objętość pryzmatu

Po wzorze napowierzchni sześciokątnej podstawy, obliczenie objętości zawartej w danym pryzmacie jest tak proste, jak wyłuskanie gruszek. Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć powierzchnię podstawy (sześciokąta) przez wysokość figury, której długość jest równa długości krawędzi bocznej. Otrzymujemy formułę:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Zauważ, że iloczyn podstawy i wysokości daje wartość objętości absolutnie dowolnego pryzmatu, w tym ukośnego. Jednak w tym drugim przypadku obliczenie wysokości jest skomplikowane, ponieważ nie będzie już równe długości bocznego żebra. W przypadku regularnego graniastosłupa sześciokątnego wartość jego objętości jest funkcją dwóch zmiennych: boków a i b.