Matematyka jest zasadniczo nauką abstrakcyjną, jeśli odejdziemy od podstawowych pojęć. Tak więc na kilku jabłkach można wizualnie zobrazować podstawowe operacje leżące u podstaw matematyki, ale gdy tylko płaszczyzna działania się rozszerza, obiekty te stają się niewystarczające. Czy ktoś próbował zobrazować operacje na nieskończonych zbiorach na jabłkach? W tym rzecz, nie. Im bardziej złożone stawały się pojęcia, którymi operuje matematyka w swoich sądach, tym bardziej problematyczna wydawała się ich wizualna ekspresja, mająca na celu ułatwienie zrozumienia. Jednak dla szczęścia zarówno współczesnych studentów, jak i ogólnie nauki, wyprowadzono kręgi Eulera, których przykłady i możliwości rozważymy poniżej.
Trochę historii
17 kwietnia 1707 roku świat dał nauce Leonhard Euler, wybitny naukowiec, którego wkład w matematykę, fizykę, budowę statków, a nawet teorię muzyki jest nie do przecenienia.
Jego prace są rozpoznawane i poszukiwane na całym świecie do dziś, mimo że nauka nie stoi w miejscu. Na szczególną uwagę zasługuje fakt, że pan Euler brał bezpośredni udział w tworzeniu rosyjskiej szkoły wyższej matematyki, zwłaszcza że z woli losu dwukrotnie powrócił do naszego państwa. Naukowiec miał wyjątkową umiejętność budowania algorytmów, które były przejrzyste w swojej logice, odcinając wszystko, co zbędne i przechodząc od ogółu do szczegółu w możliwie najkrótszym czasie. Nie wymienimy wszystkich jego zalet, ponieważ zajmie to dużo czasu i przejdziemy bezpośrednio do tematu artykułu. To on zaproponował zastosowanie graficznego przedstawienia operacji na zbiorach. Koła Eulera są w stanie zwizualizować rozwiązanie każdego, nawet najbardziej złożonego problemu.
Jaki jest sens?
W praktyce koła Eulera, których schemat pokazano poniżej, mogą być używane nie tylko w matematyce, ponieważ pojęcie „zbiór” jest nieodłączne nie tylko w tej dyscyplinie. Są więc z powodzeniem stosowane w zarządzaniu.
Powyższy diagram pokazuje relacje zbiorów A (liczby niewymierne), B (liczby wymierne) i C (liczby naturalne). Kółka pokazują, że zbiór C należy do zbioru B, natomiast zbiór A w żaden sposób się z nimi nie przecina. Przykład jest najprostszy, ale wyraźnie wyjaśnia specyfikę „związków zbiorów”, które są zbyt abstrakcyjne, aby można je było porównać, choćby ze względu na ich nieskończoność.
Algebra logiki
Ten obszarLogika matematyczna operuje stwierdzeniami, które mogą być zarówno prawdziwe, jak i fałszywe. Na przykład z elementarnego: liczba 625 jest podzielna przez 25, liczba 625 jest podzielna przez 5, liczba 625 jest liczbą pierwszą. Pierwsze i drugie stwierdzenie są prawdziwe, a ostatnie jest fałszywe. Oczywiście w praktyce wszystko jest bardziej skomplikowane, ale istota jest pokazana wyraźnie. I oczywiście kręgi Eulera są ponownie zaangażowane w rozwiązanie, przykłady z ich użyciem są zbyt wygodne i wizualne, aby je zignorować.
Trochę teorii:
- Niech zbiory A i B istnieją i nie są puste, wtedy zdefiniowane są dla nich następujące operacje przecięcia, sumy i negacji.
- Przecięcie zbiorów A i B składa się z elementów należących jednocześnie do zbioru A i zbioru B.
- Połączenie zestawów A i B składa się z elementów należących do zestawu A lub zestawu B.
- Negacja zbioru A to zbiór składający się z elementów, które nie należą do zbioru A.
Wszystko to jest ponownie zobrazowane przez kręgi Eulera w logice, ponieważ z ich pomocą każde zadanie, niezależnie od stopnia złożoności, staje się oczywiste i wizualne.
Aksjomaty algebry logiki
Załóżmy, że 1 i 0 istnieją i są zdefiniowane w zestawie A, a następnie:
- negacja negacji zbioru A jest ustawiona na A;
- połączenie zbioru A z not_A wynosi 1;
- połączenie zbioru A z 1 to 1;
- połączenie zbioru A z samym sobą jest zbiorem A;
- połączenie zestawu Az 0 jest zestaw A;
- przecięcie zbioru A z not_A to 0;
- przecięcie zbioru A z samym sobą jest zbiorem A;
- przecięcie zbioru A z 0 to 0;
- przecięcie zbioru A z 1 to zbiór A.
Podstawowe własności algebry logiki
Niech zbiory A i B istnieją i nie są puste, wtedy:
- dla przecięcia i połączenia zbiorów A i B obowiązuje prawo przemienne;
- prawo kombinacji dotyczy przecięcia i połączenia zbiorów A i B;
- prawo rozdzielcze dotyczy przecięcia i połączenia zbiorów A i B;
- przecięcie przecięcia zbiorów A i B jest przecięciem przecięcia zbiorów A i B;
- negacja sumy zbiorów A i B jest sumą negacji zbiorów A i B.
Poniżej przedstawiono okręgi Eulera, przykłady przecięcia i sumy zbiorów A, B i C.
Perspektywy
Prace Leonharda Eulera są słusznie uważane za podstawę współczesnej matematyki, ale teraz są z powodzeniem wykorzystywane w obszarach ludzkiej aktywności, które pojawiły się stosunkowo niedawno, weźmy na przykład ład korporacyjny: kręgi Eulera, przykłady i wykresy opisują mechanizmy modele programistyczne, czy to w wersji rosyjskiej czy angielsko-amerykańskiej.
