Co to jest prosty pryzmat? Właściwości i formuły. Przykład zadania

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Stereometria to badanie właściwości trójwymiarowych kształtów geometrycznych. Jedną z dobrze znanych figur wolumetrycznych, która pojawia się w problemach geometrii, jest prosty pryzmat. Zastanówmy się w tym artykule, co to jest, a także szczegółowo opiszmy pryzmat o podstawie trójkątnej.

Pryzmat i jego rodzaje

Graniastosłup to figura, która powstaje w wyniku równoległego przesunięcia wielokąta w przestrzeni. W wyniku tej geometrycznej operacji powstaje figura składająca się z kilku równoległoboków i dwóch identycznych wielokątów równoległych do siebie. Równoległoboki to boki pryzmatu, a wieloboki to jego podstawy.

Każdy pryzmat ma n+2 boków, 3n krawędzi i 2n wierzchołków, gdzie n jest liczbą rogów lub boków wielokątnej podstawy. Obraz przedstawia pryzmat pięciokątny, który ma 7 boków, 10 wierzchołków i 15 krawędzi.

Rozważana klasa figur jest reprezentowana przez kilka typów pryzmatów. Wymieniamy je pokrótce:

• wklęsłe i wypukłe;
• ukośne i proste;
• źle i dobrze.

Każda figurka należy do jednego z trzech wymienionych typów klasyfikacji. Przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych najłatwiej jest wykonać obliczenia dla pryzmatów zwykłych i prostych. Ta ostatnia zostanie omówiona bardziej szczegółowo w kolejnych akapitach artykułu.

Co to jest prosty pryzmat?

Graniastosłup prosty to wklęsły lub wypukły, regularny lub nieregularny graniastosłup, w którym wszystkie boki są reprezentowane przez czworoboki o kącie 90°. Jeśli przynajmniej jeden z czworokątów boków nie jest prostokątem lub kwadratem, to pryzmat nazywa się ukośnym. Można też podać inną definicję: graniastosłup prosty to taka figura danej klasy, w której dowolna krawędź boczna jest równa wysokości. Pod wysokością h pryzmatu przyjmuje się odległość między jego podstawami.

Obie podane definicje, że jest to pryzmat bezpośredni, są równe i samowystarczalne. Wynika z nich, że wszystkie kąty dwuścienne pomiędzy którąkolwiek z podstaw i każdą stroną wynoszą 90°.

Powyżej zostało powiedziane, że podczas rozwiązywania problemów wygodnie jest pracować z liczbami prostymi. Wynika to z faktu, że wysokość jest dopasowana do długości bocznego żebra. Ten ostatni fakt ułatwia proces obliczania objętości figury i pola jej powierzchni bocznej.

Objętość pryzmatu bezpośredniego

Objętość - wartość tkwiąca w każdej figurze przestrzennej, która liczbowo odzwierciedla część przestrzeni zamkniętej między powierzchniami rozważanejobiekt. Objętość pryzmatu można obliczyć za pomocą następującego wzoru ogólnego:

V=S_oh.

Oznacza to, że iloczyn wysokości i powierzchni podstawy da pożądaną wartość V. Ponieważ podstawy prostego graniastosłupa są równe, to aby określić obszar S_o możesz wziąć każdą z nich.

Zaletą zastosowania powyższego wzoru specjalnie dla pryzmatu prostego w porównaniu z innymi typami jest to, że bardzo łatwo jest znaleźć wysokość figury, ponieważ pokrywa się ona z długością bocznej krawędzi.

Obszar boczny

Wygodnie jest obliczyć nie tylko objętość figury prostej rozpatrywanej klasy, ale także jej powierzchnię boczną. Rzeczywiście, każdy jej bok jest albo prostokątem, albo kwadratem. Każdy uczeń wie, jak obliczyć powierzchnię tych płaskich figur, w tym celu należy pomnożyć sąsiednie boki przez siebie.

Załóżmy, że podstawą pryzmatu jest dowolny n-kąt, którego boki są równe a_i. Indeks i biegnie od 1 do n. Powierzchnia jednego prostokąta jest obliczana w następujący sposób:

S_i=a_ih.

Pole powierzchni bocznej S_bjest łatwe do obliczenia, jeśli zsumujesz wszystkie obszary S_i prostokąty. W tym przypadku otrzymujemy ostateczną formułę dla S_bpryzmat prosty:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Tak więc, aby określić powierzchnię boczną prostego graniastosłupa, musisz pomnożyć jego wysokość przez obwód jednej podstawy.

Problem z trójkątnym pryzmatem

Załóżmy, że podany jest prosty pryzmat. Podstawą jest trójkąt prostokątny. Nogi tego trójkąta mają 12 cm i 8 cm. Konieczne jest obliczenie objętości figury i jej całkowitej powierzchni, jeśli wysokość pryzmatu wynosi 15 cm.

Najpierw obliczmy objętość prostego pryzmatu. Trójkąt (prostokątny) znajdujący się u jego podstawy ma powierzchnię:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48cm².

Jak można się domyślić, a₁ i a₂ to nogi w tym równaniu. Znając powierzchnię podstawy i wysokość (patrz stan problemu), możesz użyć wzoru na V:

V=S_oh=4815=720cm³.

Całkowity obszar figury składa się z dwóch części: obszarów podstaw i powierzchni bocznej. Obszary dwóch baz to:

S_2o=2S_o=482=96cm².

Aby obliczyć powierzchnię boczną, musisz znać obwód trójkąta prostokątnego. Oblicz z twierdzenia Pitagorasa jego przeciwprostokątną a₃, mamy:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Wtedy obwód trójkąta podstawy prawego pryzmatu będzie wynosił:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Zastosowanie wzoru na S_b, który został napisany w poprzednim akapicie,dostać:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Dodając pola S_2o i S_b otrzymujemy całkowitą powierzchnię badanej figury geometrycznej:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

Trójkątny pryzmat, wykonany ze specjalnego rodzaju szkła, jest używany w optyce do badania widm obiektów emitujących światło. Takie pryzmaty są w stanie rozłożyć światło na częstotliwości składowe ze względu na zjawisko dyspersji.