Pochylony pryzmat i jego objętość. Przykład rozwiązania problemu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Umiejętność określania objętości figur przestrzennych jest ważna dla rozwiązywania problemów geometrycznych i praktycznych. Jedną z tych postaci jest pryzmat. Zastanowimy się w artykule, co to jest i pokażemy, jak obliczyć objętość pochyłego pryzmatu.

Co oznacza pryzmat w geometrii?

To jest wielościan foremny (wielościan), który tworzą dwie identyczne podstawy umieszczone w równoległych płaszczyznach i kilka równoległoboków łączących zaznaczone podstawy.

Podstawy pryzmatu mogą być dowolnymi wielokątami, takimi jak trójkąt, czworokąt, siedmiokąt i tak dalej. Ponadto liczba rogów (boków) wielokąta określa nazwę figury.

Każdy pryzmat o podstawie n-kątnej (n to liczba boków) składa się z n+2 ścian, 2 × n wierzchołków i 3 × n krawędzi. Z podanych liczb wynika, że liczba elementów pryzmatu odpowiada twierdzeniu Eulera:

3 × n=2 × n + n + 2 - 2

Poniższy rysunek pokazuje, jak wyglądają trójkątne i czworokątne pryzmaty ze szkła.

Rodzaje postaci. Pochylony pryzmat

Powyżej już powiedziano, że nazwa pryzmatu zależy od liczby boków wielokąta u podstawy. W jego strukturze są jednak inne cechy, które decydują o właściwościach figury. Tak więc, jeśli wszystkie równoległoboki tworzące boczną powierzchnię pryzmatu są reprezentowane przez prostokąty lub kwadraty, wówczas taka figura nazywana jest linią prostą. W przypadku prostego pryzmatu odległość między podstawami jest równa długości bocznej krawędzi dowolnego prostokąta.

Jeśli niektóre lub wszystkie boki są równoległobokami, mówimy o pryzmacie pochyłym. Jego wysokość będzie już mniejsza niż długość bocznego żebra.

Innym kryterium, według którego klasyfikowane są rozważane figury, są długości boków i kąty wielokąta u podstawy. Jeśli są sobie równe, wielokąt będzie poprawny. Prostą figurę z regularnym wielokątem u podstawy nazywamy regularną. Wygodnie jest z nim pracować przy określaniu powierzchni i objętości. Pochylony pryzmat w tym zakresie stwarza pewne trudności.

Poniższy rysunek przedstawia dwa pryzmaty o kwadratowej podstawie. Kąt 90° pokazuje podstawową różnicę między pryzmatem prostym i ukośnym.

Wzór do określania objętości figury

Część przestrzeni ograniczona ścianami pryzmatu nazywana jest jego objętością. Dla rozważanych figur dowolnego typu wartość tę można określić za pomocą następującego wzoru:

V=h × S_o

Tutaj symbol h oznacza wysokość pryzmatu,który jest miarą odległości między dwiema podstawami. Symbol S_o- jeden kwadrat podstawowy.

Obszar bazowy jest łatwy do znalezienia. Biorąc pod uwagę fakt, czy wielokąt jest regularny czy nie, oraz znając liczbę jego boków, należy zastosować odpowiednią formułę i uzyskać S_o. Na przykład, dla zwykłego n-kąta o długości boku a, obszar będzie wyglądał następująco:

S=n / 4 × a^{2 ×} ctg (pi / n)

Teraz przejdźmy do wysokości h. Dla pryzmatu prostego określenie wysokości nie jest trudne, ale dla pryzmatu skośnego nie jest to łatwe zadanie. Można go rozwiązać różnymi metodami geometrycznymi, zaczynając od określonych warunków początkowych. Istnieje jednak uniwersalny sposób określenia wysokości sylwetki. Opiszmy to krótko.

Pomysł polega na znalezieniu odległości od punktu w przestrzeni do płaszczyzny. Załóżmy, że płaszczyzna jest dana równaniem:

A × x+ B × y + C × z + D=0

Wtedy samolot znajdzie się w pewnej odległości:

h=|A × x₁ + B × y₁+ C × z₁ +D| / √ (A² + B²+ C²)

Jeżeli osie współrzędnych są ustawione tak, że punkt (0; 0; 0) leży w płaszczyźnie dolnej podstawy pryzmatu, wówczas równanie dla płaszczyzny podstawy można zapisać w następujący sposób:

z=0

Oznacza to, że zostanie zapisany wzór na wzrostwięc:

h=z₁

Wystarczy znaleźć współrzędną Z dowolnego punktu górnej podstawy, aby określić wysokość figury.

Przykład rozwiązywania problemów

Poniższy rysunek przedstawia czworokątny pryzmat. Podstawą nachylonego pryzmatu jest kwadrat o boku 10 cm, należy obliczyć jego objętość, jeśli wiadomo, że długość krawędzi bocznej wynosi 15 cm, a kąt ostry przedniego równoległoboku wynosi 70 °.

Ponieważ wysokość h figury jest również wysokością równoległoboku, używamy wzorów do określenia jego powierzchni, aby znaleźć h. Oznaczmy boki równoległoboku w następujący sposób:

a=10cm;

b=15cm

Następnie możesz napisać następujące formuły, aby określić obszar S_p:

S_p=a × b × grzech (α);

S_p=a × h

Skąd się bierzemy:

h=b × grzech (α)

Tutaj α jest ostrym kątem równoległoboku. Ponieważ podstawa jest kwadratem, wzór na objętość nachylonego pryzmatu przyjmie postać:

V=a² × b × grzech (α)

Podstawiamy dane z warunku do wzoru i otrzymujemy odpowiedź: V ≈ 1410 cm³.