Obrót ciał jest jednym z ważnych rodzajów ruchu mechanicznego w technologii i przyrodzie. W przeciwieństwie do ruchu liniowego jest opisywany przez własny zestaw charakterystyk kinematycznych. Jednym z nich jest przyspieszenie kątowe. Charakteryzujemy tę wartość w artykule.
Ruch obrotowy
Zanim zaczniemy mówić o przyspieszeniu kątowym, opiszmy rodzaj ruchu, którego dotyczy. Mówimy o rotacji, czyli ruchu ciał po torach kołowych. Aby nastąpiła rotacja, muszą być spełnione określone warunki:
- obecność osi lub punktu obrotu;
- obecność siły dośrodkowej, która utrzymałaby ciało na orbicie kołowej.
Przykładami tego typu ruchu są różne atrakcje, np. karuzela. W inżynierii obrót przejawia się w ruchu kół i wałów. W naturze najbardziej uderzającym przykładem tego typu ruchu jest obrót planet wokół własnej osi i wokół Słońca. Rolę siły dośrodkowej w tych przykładach odgrywają siły oddziaływania międzyatomowego w ciałach stałych oraz siły grawitacyjneinterakcja.
Kinematyczne charakterystyki obrotu
Te cechy obejmują trzy wielkości: przyspieszenie kątowe, prędkość kątową i kąt obrotu. Oznaczymy je odpowiednio greckimi symbolami α, ω i θ.
Ponieważ ciało porusza się po okręgu, wygodnie jest obliczyć kąt θ, o który obróci się w określonym czasie. Ten kąt jest wyrażany w radianach (rzadko w stopniach). Ponieważ okrąg ma 2 × pi radianów, możemy napisać równanie odnoszące się do długości łuku L skrętu θ:
L=θ × r
Gdzie r jest promieniem obrotu. Ten wzór jest łatwy do uzyskania, jeśli pamiętasz odpowiednie wyrażenie dla obwodu.
Prędkość kątowa ω, podobnie jak jej liniowy odpowiednik, opisuje prędkość obrotu wokół osi, czyli jest wyznaczana zgodnie z następującym wyrażeniem:
ω¯=d θ / d t
Wielkość ω¯ jest wartością wektorową. Jest skierowany wzdłuż osi obrotu. Jego jednostką są radiany na sekundę (rad/s).
Na koniec, przyspieszenie kątowe jest właściwością fizyczną, która określa szybkość zmian wartości ω¯, która jest matematycznie zapisana w następujący sposób:
α¯=d ω¯/ d t
Wektor α¯ jest skierowany na zmianę wektora prędkości ω¯. Dalej będzie powiedziane, że przyspieszenie kątowe jest skierowane w kierunku wektora momentu siły. Ta wartość jest mierzona w radianach.sekunda kwadratowa (rad/s2).
Moment siły i przyspieszenia
Jeśli przypomnimy sobie prawo Newtona, które łączy siłę i przyspieszenie liniowe w jedną równość, to przenosząc to prawo na przypadek obrotu, możemy zapisać następujące wyrażenie:
M¯=I × α¯
Tutaj M¯ jest momentem siły, który jest iloczynem siły, która powoduje obrót układu razy dźwignia - odległość od punktu przyłożenia siły do osi. Wartość I jest analogiczna do masy ciała i nazywana jest momentem bezwładności. Zapisany wzór nazywa się równaniem momentów. Z tego przyspieszenie kątowe można obliczyć w następujący sposób:
α¯=M¯/ I
Ponieważ I jest skalarem, α¯ jest zawsze skierowane w stronę działającego momentu siły M¯. Kierunek M¯ jest określony przez regułę prawej ręki lub regułę świdra. Wektory M¯ i α¯ są prostopadłe do płaszczyzny obrotu. Im większy moment bezwładności ciała, tym mniejsza wartość przyspieszenia kątowego, jakie stały moment M¯ może nadać układowi.
Równania kinematyczne
Aby zrozumieć ważną rolę, jaką odgrywa przyspieszenie kątowe w opisie ruchu obrotowego, zapiszmy wzory łączące wielkości kinematyczne badane powyżej.
W przypadku rotacji jednostajnie przyspieszonej obowiązują następujące zależności matematyczne:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Pierwsza formuła pokazuje, że kątowaprędkość będzie rosła w czasie zgodnie z prawem liniowym. Drugie wyrażenie pozwala obliczyć kąt, o jaki ciało skręci w znanym czasie t. Wykres funkcji θ(t) jest parabolą. W obu przypadkach przyspieszenie kątowe jest stałe.
Jeżeli użyjemy wzoru na zależność między L i θ podanego na początku artykułu, otrzymamy wyrażenie na α w postaci przyspieszenia liniowego a:
α=a / r
Jeżeli α jest stałe, to wraz ze wzrostem odległości od osi obrotu r przyspieszenie liniowe a będzie wzrastać proporcjonalnie. Dlatego do obrotu wykorzystywane są charakterystyki kątowe, w przeciwieństwie do liniowych nie zmieniają się wraz ze wzrostem lub spadkiem r.
Przykładowy problem
Metalowy wał, obracający się z częstotliwością 2000 obrotów na sekundę, zaczął zwalniać i zatrzymał się całkowicie po 1 minucie. Należy obliczyć, z jakim przyspieszeniem kątowym zachodził proces hamowania wału. Należy również obliczyć liczbę obrotów, które wał wykonał przed zatrzymaniem.
Proces zwalniania obrotów jest opisany następującym wyrażeniem:
ω=ω0- α × t
Początkowa prędkość kątowa ω0jest określana na podstawie częstotliwości obrotu f w następujący sposób:
ω0=2 × pi × f
Ponieważ znamy czas hamowania, otrzymujemy wartość przyspieszenia α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Tę liczbę należy przyjąć ze znakiem minus,ponieważ mówimy o spowolnieniu systemu, a nie jego przyspieszeniu.
Aby określić liczbę obrotów, które wykona wał podczas hamowania, zastosuj wyrażenie:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376 806 rad.
Uzyskana wartość kąta obrotu θ w radianach jest po prostu przeliczana na liczbę obrotów wykonanych przez wał przed całkowitym zatrzymaniem za pomocą prostego dzielenia przez 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60 001 obrotów.
W ten sposób uzyskaliśmy wszystkie odpowiedzi na pytania problemu: α=-209, 33 rad/s2, n=60,001 obrotów.
