Stożek jest jedną z przestrzennych figur rotacji, której cechy i właściwości bada się za pomocą stereometrii. W tym artykule zdefiniujemy tę figurę i rozważymy podstawowe wzory łączące parametry liniowe stożka z jego polem powierzchni i objętością.
Co to jest stożek?
Z punktu widzenia geometrii mówimy o figurze przestrzennej, którą tworzy zestaw prostych odcinków łączących pewien punkt w przestrzeni ze wszystkimi punktami gładkiej płaskiej krzywej. Ta krzywa może być okręgiem lub elipsą. Poniższy rysunek przedstawia stożek.
Prezentowana figura nie ma objętości, ponieważ ścianki jej powierzchni mają nieskończenie małą grubość. Jeśli jednak jest wypełniony substancją i ograniczony od góry nie krzywą, a płaską figurą, na przykład kołem, to otrzymamy bryłę objętościową, którą potocznie nazywamy też stożkiem.
Kształt stożka często można znaleźć w życiu. Ma więc rożek lodów lub pasiaste czarno-pomarańczowe pachołki drogowe, które są umieszczane na jezdni, aby przyciągnąć uwagę uczestników ruchu.
Elementy stożka i jego rodzaje
Ponieważ stożek nie jest wielościanem, liczba tworzących go elementów nie jest tak duża jak w przypadku wielościanów. W geometrii ogólny stożek składa się z następujących elementów:
- podstawa, której krzywa ograniczająca nazywa się kierownicą lub tworzącą;
- powierzchni bocznej, która jest zbiorem wszystkich punktów odcinków linii prostej (generatrices) łączących wierzchołek i punkty krzywej prowadzącej;
- wierzchołek, który jest punktem przecięcia tworzących.
Zauważ, że wierzchołek nie może leżeć w płaszczyźnie podstawy, ponieważ w tym przypadku stożek przeradza się w płaską figurę.
Jeśli narysujemy odcinek prostopadły od góry do podstawy, otrzymamy wysokość figury. Jeśli ostatnia podstawa przecina się w geometrycznym środku, to jest to prosty stożek. Jeśli prostopadła nie pokrywa się z geometrycznym środkiem podstawy, figura będzie pochylona.
Na rysunku pokazano stożki proste i ukośne. Tutaj wysokość i promień podstawy stożka są oznaczone odpowiednio przez h i r. Linia łącząca górę figury z geometrycznym środkiem podstawy jest osią stożka. Z figury widać, że dla figury prostej wysokość leży na tej osi, a dla figury pochylonej wysokość tworzy kąt z osią. Oś stożka jest oznaczona literą a.
Prosty stożek z okrągłą podstawą
Być może ten stożek jest najczęstszą z rozważanej klasy figurek. Składa się z koła i bokupowierzchnie. Uzyskanie go metodami geometrycznymi nie jest trudne. Aby to zrobić, weź trójkąt prostokątny i obróć go wokół osi pokrywającej się z jedną z nóg. Oczywiście ta noga stanie się wysokością figury, a długość drugiej nogi trójkąta utworzy promień podstawy stożka. Poniższy schemat przedstawia opisany schemat uzyskiwania danej wartości obrotu.
Przedstawiony trójkąt można obrócić wokół innej nogi, co spowoduje powstanie stożka o większym promieniu podstawy i mniejszej wysokości niż pierwszy.
Aby jednoznacznie określić wszystkie parametry okrągłego prostego stożka, należy znać dowolne dwie jego charakterystyki liniowe. Wśród nich wyróżnia się promień r, wysokość h lub długość tworzącej g. Wszystkie te wielkości są długościami boków rozpatrywanego trójkąta prostokątnego, dlatego twierdzenie Pitagorasa jest ważne dla ich połączenia:
g2=r2+ h2.
Powierzchnia
Podczas badania powierzchni dowolnej trójwymiarowej figury wygodnie jest wykorzystać jej rozwinięcie na płaszczyźnie. Stożek nie jest wyjątkiem. Dla okrągłego stożka rozwinięcie pokazano poniżej.
Widzimy, że rozkładanie figury składa się z dwóch części:
- Okrąg tworzący podstawę stożka.
- Sektor koła, który jest stożkową powierzchnią figury.
Obszar koła jest łatwy do znalezienia, a odpowiedni wzór jest znany każdemu uczniowi. Mówiąc o sektorze o obiegu zamkniętym, zauważamy, żejest częścią okręgu o promieniu g (długość tworzącej stożka). Długość łuku tego sektora jest równa obwodowi podstawy. Parametry te pozwalają jednoznacznie określić jego powierzchnię. Odpowiednia formuła to:
S=pir2+ pirg.
Pierwszy i drugi wyraz w wyrażeniu to odpowiednio stożek podstawy i boczna powierzchnia obszaru.
Jeżeli długość generatora g jest nieznana, ale podana jest wysokość h figury, to wzór można przepisać jako:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Objętość figury
Jeżeli weźmiemy prostą piramidę i zwiększymy liczbę boków jej podstawy w nieskończoności, wówczas kształt podstawy będzie miał tendencję do okręgu, a boczna powierzchnia piramidy zbliży się do powierzchni stożkowej. Rozważania te pozwalają nam wykorzystać wzór na objętość piramidy przy obliczaniu podobnej wartości dla stożka. Objętość stożka można określić za pomocą wzoru:
V=1/3hSo.
Ta formuła jest zawsze prawdziwa, niezależnie od podstawy stożka, o powierzchni So. Co więcej, wzór dotyczy również stożka skośnego.
Ponieważ badamy właściwości figury prostej o okrągłej podstawie, możemy użyć następującego wyrażenia, aby określić jej objętość:
V=1/3hpir2.
Formuła jest oczywista.
Problem ze znalezieniem pola powierzchni i objętości
Podaj stożek, którego promień wynosi 10 cm, a długość tworzącej wynosi 20patrz Konieczność określenia objętości i powierzchni dla tego kształtu.
Aby obliczyć powierzchnię S, możesz natychmiast użyć wzoru podanego powyżej. Mamy:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
Aby określić objętość, musisz znać wysokość h figury. Obliczamy go wykorzystując zależność między liniowymi parametrami stożka. Otrzymujemy:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 cm.
Teraz możesz użyć wzoru na V:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
Zauważ, że objętość okrągłego stożka to jedna trzecia cylindra, w który jest wpisany.
