Trójkąt, kwadrat, sześciokąt - te figury są znane prawie każdemu. Ale nie wszyscy wiedzą, czym jest wielokąt foremny. Ale to są wszystkie te same kształty geometryczne. Wielokąt foremny to taki, który ma równe kąty i boki. Takich figur jest wiele, ale wszystkie mają te same właściwości i odnoszą się do nich te same formuły.
Właściwości wielokątów foremnych
Każdy wielokąt foremny, czy to kwadrat czy ośmiokąt, może być wpisany w okrąg. Ta podstawowa właściwość jest często używana podczas konstruowania figury. Ponadto okrąg może być również wpisany w wielokąt. W tym przypadku liczba punktów styku będzie równa liczbie jego boków. Ważne jest, aby okrąg wpisany w wielokąt foremny miał ze sobą wspólny środek. Te figury geometryczne podlegają tym samym twierdzeniom. Dowolna stronan-kąta foremnego jest związany z promieniem okręgu R opisanego wokół niego, dlatego można go obliczyć ze wzoru: a=2R ∙ sin180°. Poprzez promień okręgu można znaleźć nie tylko boki, ale także obwód wielokąta.
Jak znaleźć liczbę boków wielokąta foremnego
Każdy regularny n-kąt składa się z pewnej liczby równych sobie segmentów, które po połączeniu tworzą linię zamkniętą. W takim przypadku wszystkie rogi uformowanej figury mają tę samą wartość. Wielokąty dzielą się na proste i złożone. Pierwsza grupa obejmuje trójkąt i kwadrat. Wielokąty złożone mają więcej boków. Są wśród nich również figurki w kształcie gwiazdy. W przypadku złożonych wielokątów regularnych boki można znaleźć wpisując je w okrąg. Dajmy dowód. Narysuj wielokąt foremny o dowolnej liczbie boków n. Opisz okrąg wokół niego. Podaj promień R. Teraz wyobraź sobie, że dany jest n-kąt. Jeżeli punkty jego kątów leżą na okręgu i są sobie równe, to boki można znaleźć wzorem: a=2R ∙ sinα: 2.
Znajdowanie liczby boków wpisanego trójkąta foremnego
Trójkąt równoboczny to wielokąt foremny. Stosują się do niego te same wzory, co do kwadratu i n-kąta. Trójkąt zostanie uznany za poprawny, jeśli ma boki tej samej długości. W tym przypadku kąty wynoszą 60⁰. Skonstruuj trójkąt o podanej długości boku a. Znając jego medianę i wysokość,możesz znaleźć wartość jego boków. Aby to zrobić, użyjemy metody znajdowania za pomocą wzoru a \u003d x: cosα, gdzie x jest medianą lub wysokością. Ponieważ wszystkie boki trójkąta są równe, otrzymujemy a=b=c. Wtedy prawdziwe będzie następujące stwierdzenie a=b=c=x: cosα. Podobnie możesz znaleźć wartość boków w trójkącie równoramiennym, ale x będzie daną wysokością. Jednocześnie powinien być rzutowany ściśle na podstawie figury. Znając wysokość x, znajdujemy bok a trójkąta równoramiennego za pomocą wzoru a \u003d b \u003d x: cosα. Po znalezieniu wartości a możesz obliczyć długość podstawy c. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa. Poszukamy wartości połowy podstawy c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Wtedy c=2xtanα. Oto prosty sposób na znalezienie liczby boków dowolnego wpisanego wielokąta.
Oblicz boki kwadratu wpisanego w okrąg
Jak każdy inny wpisany wielokąt foremny, kwadrat ma równe boki i kąty. Stosują się do niego te same wzory, co do trójkąta. Możesz obliczyć boki kwadratu, używając wartości przekątnej. Rozważmy tę metodę bardziej szczegółowo. Wiadomo, że przekątna dzieli kąt na pół. Początkowo jego wartość wynosiła 90 stopni. W ten sposób po podzieleniu powstają dwa trójkąty prostokątne. Ich kąty bazowe wyniosą 45 stopni. W związku z tym każdy bok kwadratu będzie równy, to znaczy: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, gdzie e jest przekątną kwadratu lub podstawą prawy trójkąt utworzony po podziale. To nie jedyny sposóbznalezienie boków kwadratu. Wpiszmy tę figurę w okrąg. Znając promień tego okręgu R, znajdujemy bok kwadratu. Obliczymy to w następujący sposób a4=R√2. Promienie wielokątów foremnych są obliczane według wzoru R=a: 2tg (360o: 2n), gdzie a jest długością boku.
Jak obliczyć obwód n-kąta
Obwód n-kąta to suma wszystkich jego boków. Łatwo to policzyć. Aby to zrobić, musisz znać wartości wszystkich stron. Dla niektórych typów wielokątów istnieją specjalne formuły. Pozwalają znacznie szybciej znaleźć obwód. Wiadomo, że każdy wielokąt foremny ma równe boki. Dlatego, aby obliczyć jego obwód, wystarczy znać przynajmniej jeden z nich. Formuła będzie zależeć od liczby boków figury. Ogólnie wygląda to tak: P \u003d an, gdzie a to wartość boku, a n to liczba kątów. Na przykład, aby znaleźć obwód ośmiokąta foremnego o boku 3 cm, należy go pomnożyć przez 8, czyli P=3 ∙ 8=24 cm Dla sześciokąta o boku 5 cm obliczamy w następujący sposób: P=5 ∙ 6=30 cm I tak dla każdego wielokąta.
Znajdowanie obwodu równoległoboku, kwadratu i rombu
W zależności od liczby boków wielokąta foremnego obliczany jest jego obwód. To znacznie ułatwia zadanie. Rzeczywiście, w przeciwieństwie do innych figur, w tym przypadku nie trzeba szukać wszystkich jego stron, wystarczy tylko jedna. Na tej samej zasadzie znajdujemy obwód przyczworokąty, czyli kwadrat i romb. Pomimo tego, że są to różne liczby, wzór na nie jest taki sam P=4a, gdzie a jest bokiem. Weźmy przykład. Jeśli bok rombu lub kwadratu ma 6 cm, obwód znajdujemy w następujący sposób: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Równoległobok ma tylko przeciwne boki. Dlatego jego obwód znajduje się inną metodą. Musimy więc znać długość a i szerokość b figury. Następnie stosujemy wzór P=(a + c) ∙ 2. Równoległobok, w którym wszystkie boki i kąty między nimi są równe, nazywamy rombem.
Znajdowanie obwodu trójkąta równobocznego i prostokątnego
Obwód regularnego trójkąta równobocznego można znaleźć według wzoru P=3a, gdzie a jest długością boku. Jeśli jest nieznany, można go znaleźć poprzez medianę. W trójkącie prostokątnym tylko dwa boki są równe. Podstawę można znaleźć w twierdzeniu Pitagorasa. Po poznaniu wartości wszystkich trzech stron obliczamy obwód. Można go znaleźć, stosując wzór P \u003d a + b + c, gdzie aib są równymi bokami, a c jest podstawą. Przypomnijmy, że w trójkącie równoramiennym a \u003d b \u003d a zatem a + b \u003d 2a, a następnie P \u003d 2a + c. Na przykład bok trójkąta równoramiennego ma 4 cm, znajdź jego podstawę i obwód. Obliczamy wartość przeciwprostokątnej za pomocą twierdzenia Pitagorasa c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Teraz obliczamy obwód Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Jak znaleźć narożniki wielokąta foremnego
Wielokąt regularnywystępuje w naszym życiu na co dzień np. zwykły kwadrat, trójkąt, ośmiokąt. Wydawałoby się, że nie ma nic prostszego niż samodzielne zbudowanie tej figury. Ale to tylko na pierwszy rzut oka. Aby skonstruować dowolny n-kąt, musisz znać wartość jego kątów. Ale jak je znaleźć? Nawet naukowcy starożytności próbowali budować regularne wielokąty. Domyślili się, że zmieścili ich w kręgi. A następnie zaznaczono na nim niezbędne punkty, połączone liniami prostymi. W przypadku prostych figur problem konstrukcyjny został rozwiązany. Otrzymano wzory i twierdzenia. Na przykład Euklides w swojej słynnej pracy „Początek” zajmował się rozwiązywaniem problemów na 3, 4, 5, 6 i 15 gonów. Znalazł sposoby ich konstruowania i znajdowania kątów. Zobaczmy, jak to zrobić dla 15 gonów. Najpierw musisz obliczyć sumę jego kątów wewnętrznych. Niezbędne jest zastosowanie wzoru S=180⁰(n-2). Tak więc otrzymujemy 15-kąt, co oznacza, że liczba n wynosi 15. Podstawiamy znane nam dane do wzoru i otrzymujemy S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Znaleźliśmy sumę wszystkich kątów wewnętrznych 15-kąta. Teraz musimy poznać wartość każdego z nich. W sumie jest 15 kątów. Wyliczamy 2340⁰: 15=156⁰. Oznacza to, że każdy kąt wewnętrzny wynosi 156⁰, teraz używając linijki i cyrkla można zbudować zwykły 15-gon. Ale co z bardziej złożonymi n-gonami? Naukowcy od wieków zmagali się z rozwiązaniem tego problemu. Został znaleziony dopiero w XVIII wieku przez Carla Friedricha Gaussa. Był w stanie zbudować 65537-gon. Od tego czasu problem jest oficjalnie uważany za całkowicie rozwiązany.
Obliczanie kątów n-kątóww radianach
Oczywiście istnieje kilka sposobów znajdowania narożników wielokątów. Najczęściej obliczane są w stopniach. Ale możesz też wyrazić je w radianach. Jak to zrobić? Należy postępować w następujący sposób. Najpierw ustalamy liczbę boków wielokąta foremnego, a następnie odejmujemy od niego 2. Tak więc otrzymujemy wartość: n - 2. Pomnóż znalezioną różnicę przez liczbę n („pi”=3, 14). Teraz pozostaje tylko podzielić wynikowy iloczyn przez liczbę kątów w n-kącie. Rozważ te obliczenia na przykładzie tego samego piętnastostronnego. Tak więc liczba n wynosi 15. Zastosuj wzór S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. To oczywiście nie jest jedynym sposobem obliczania kąta w radianach. Możesz po prostu podzielić rozmiar kąta w stopniach przez liczbę 57, 3. W końcu tyle stopni odpowiada jednemu radianowi.
Oblicz wartość kątów w stopniach
Oprócz stopni i radianów, możesz spróbować znaleźć wartość kątów wielokąta foremnego w gradach. Odbywa się to w następujący sposób. Odejmij 2 od całkowitej liczby kątów, podziel uzyskaną różnicę przez liczbę boków wielokąta foremnego. Znaleziony wynik mnożymy przez 200. Nawiasem mówiąc, taka jednostka miary kątów jak grad praktycznie nie jest używana.
Obliczanie kątów zewnętrznych n-kątów
Dla dowolnego wielokąta foremnego, z wyjątkiem wewnętrznego, można również obliczyć kąt zewnętrzny. Jego wartość ustala się w taki sam sposób, jak w przypadku innych figur. Tak więc, aby znaleźć zewnętrzny kąt wielokąta foremnego, potrzebujeszpoznać znaczenie wewnętrznego. Co więcej, wiemy, że suma tych dwóch kątów zawsze wynosi 180 stopni. Dlatego obliczenia wykonujemy następująco: 180⁰ minus wartość kąta wewnętrznego. Znajdujemy różnicę. Będzie on równy wartości kąta do niego przylegającego. Na przykład wewnętrzny narożnik kwadratu ma 90 stopni, więc kąt zewnętrzny będzie wynosił 180⁰ - 90⁰=90⁰. Jak widać, znalezienie go nie jest trudne. Kąt zewnętrzny może przyjąć wartość odpowiednio od +180⁰ do -180⁰.
