Ruch wokół osi obrotu jest jednym z najczęstszych rodzajów ruchu obiektów w przyrodzie. W tym artykule rozważymy ten rodzaj ruchu z punktu widzenia dynamiki i kinematyki. Podajemy również wzory odnoszące się do głównych wielkości fizycznych.
O jakim ruchu mówimy?
W sensie dosłownym porozmawiamy o poruszaniu ciał po okręgu, czyli o ich rotacji. Uderzającym przykładem takiego ruchu jest obrót koła samochodu lub roweru podczas jazdy pojazdu. Obrót wokół własnej osi to łyżwiarz figurowy wykonujący skomplikowane piruety na lodzie. Albo obrót naszej planety wokół Słońca i wokół własnej osi nachylonej do płaszczyzny ekliptyki.
Jak widać, ważnym elementem rozważanego rodzaju ruchu jest oś obrotu. Każdy punkt ciała o dowolnym kształcie wykonuje wokół niego okrężne ruchy. Odległość od punktu do osi nazywana jest promieniem obrotu. Od jego wartości zależy wiele właściwości całego układu mechanicznego, na przykład moment bezwładności, prędkość liniowa iinne.
Dynamika rotacji
Jeżeli przyczyną liniowego ruchu postępowego ciał w przestrzeni jest działająca na nie siła zewnętrzna, to przyczyną ruchu wokół osi obrotu jest zewnętrzny moment siły. Wartość ta jest opisana jako iloczyn wektorowy przyłożonej siły F¯ i wektora odległości od punktu jej przyłożenia do osi r¯, czyli:
M¯=[r¯F¯]
Działanie momentu M¯ prowadzi do pojawienia się w układzie przyspieszenia kątowego α¯. Obie wielkości są powiązane ze sobą przez pewien współczynnik I następującą równością:
M¯=Iα¯
Wartość I nazywana jest momentem bezwładności. Zależy to zarówno od kształtu ciała, jak i od rozkładu masy w jego wnętrzu oraz od odległości do osi obrotu. Dla punktu materialnego oblicza się go według wzoru:
I=mr2
Jeżeli zewnętrzny moment siły jest równy zero, układ zachowuje swój moment pędu L¯. To kolejna wielkość wektorowa, która zgodnie z definicją jest równa:
L¯=[r¯p¯]
Tu p¯ to pęd liniowy.
Prawo zachowania momentu L¯ jest zwykle zapisywane w następujący sposób:
Iω=const
Gdzie ω to prędkość kątowa. Zostanie omówiona w dalszej części artykułu.
Kinematyka obrotu
W przeciwieństwie do dynamiki, ten dział fizyki rozważa wyłącznie praktyczne ważne wielkości związane ze zmianą w czasie pozycji ciał wprzestrzeń. Oznacza to, że przedmiotem badań kinematyki obrotu są prędkości, przyspieszenia i kąty obrotu.
Najpierw wprowadźmy prędkość kątową. Jest rozumiany jako kąt, pod jakim ciało wykonuje obrót w jednostce czasu. Wzór na chwilową prędkość kątową to:
ω=dθ/dt
Jeżeli ciało obraca się pod równymi kątami w tych samych odstępach czasu, wtedy rotację nazywamy jednorodną. Dla niego obowiązuje wzór na średnią prędkość kątową:
ω=Δθ/Δt
Pomiar ω w radianach na sekundę, co w układzie SI odpowiada odwrotności sekund (c-1).
W przypadku rotacji nierównomiernej stosuje się pojęcie przyspieszenia kątowego α. Określa tempo zmian w czasie wartości ω, czyli:
α=dω/dt=d2θ/dt2
Pomiar α w radianach na sekundę kwadratową (w SI - c-2).
Jeżeli ciało początkowo obracało się jednostajnie z prędkością ω0, a następnie zaczęło zwiększać swoją prędkość ze stałym przyspieszeniem α, to taki ruch można opisać następująco formuła:
θ=ω0t + αt2/2
Tę równość uzyskuje się przez całkowanie równań prędkości kątowej w czasie. Wzór na θ pozwala obliczyć liczbę obrotów, które system wykona wokół osi obrotu w czasie t.
Prędkości liniowe i kątowe
Obie prędkości ze sobąpodłączony do innego. Mówiąc o prędkości obrotu wokół osi, mogą mieć na myśli zarówno charakterystykę liniową, jak i kątową.
Załóżmy, że jakiś punkt materialny obraca się wokół osi w odległości rz prędkością ω. Wtedy jego prędkość liniowa v będzie równa:
v=ωr
Różnica między prędkością liniową a kątową jest znacząca. Zatem ω nie zależy od odległości od osi podczas jednostajnego obrotu, natomiast wartość v rośnie liniowo wraz ze wzrostem r. Ten ostatni fakt wyjaśnia, dlaczego wraz ze wzrostem promienia obrotu trudniej jest utrzymać ciało na trajektorii kołowej (jego prędkość liniowa i w efekcie siły bezwładności wzrastają).
Problem obliczania prędkości obrotu wokół własnej osi Ziemi
Wszyscy wiedzą, że nasza planeta w Układzie Słonecznym wykonuje dwa rodzaje ruchu obrotowego:
- wokół własnej osi;
- wokół gwiazdy.
Oblicz prędkości ω i v dla pierwszego.
Prędkość kątowa nie jest trudna do określenia. Aby to zrobić, pamiętaj, że planeta dokonuje pełnego obrotu, równego 2pi radianów, w ciągu 24 godzin (dokładna wartość to 23 godziny 56 minut 4,1 sekundy). Wtedy wartość ω będzie wynosić:
ω=2pi/(243600)=7, 2710-5rad/s
Wyliczona wartość jest mała. Pokażmy teraz, jak bardzo wartość bezwzględna ω różni się od wartości dla v.
Oblicz prędkość liniową v dla punktów leżących na powierzchni planety, na szerokości geograficznej równika. O ileZiemia jest kulą spłaszczoną, promień równikowy jest nieco większy niż biegunowy. Jest to 6378 km. Korzystając ze wzoru na połączenie dwóch prędkości, otrzymujemy:
v=ωr=7, 2710-56378000 ≈ 464 m/s
Wynikowa prędkość wynosi 1670 km/h, czyli jest większa niż prędkość dźwięku w powietrzu (1235 km/h).
Obrót Ziemi wokół własnej osi prowadzi do pojawienia się tak zwanej siły Coriolisa, co należy wziąć pod uwagę przy lataniu pociskami balistycznymi. Jest również przyczyną wielu zjawisk atmosferycznych, takich jak odchylenie kierunku pasatów na zachód.
