Jedną z gałęzi matematyki, z którą uczniowie radzą sobie z największymi trudnościami, jest trygonometria. Nic dziwnego: aby swobodnie opanować ten obszar wiedzy, potrzebne jest myślenie przestrzenne, umiejętność znajdowania sinusów, cosinusów, tangensów, cotangensów za pomocą formuł, upraszczanie wyrażeń, umiejętność posługiwania się liczbą pi w obliczeniach. Ponadto musisz umieć zastosować trygonometrię podczas dowodzenia twierdzeń, a to wymaga albo rozwiniętej pamięci matematycznej, albo umiejętności wydedukowania złożonych łańcuchów logicznych.
Początki trygonometrii
Wprowadzenie do tej nauki powinno rozpocząć się od zdefiniowania sinusa, cosinusa i tangensa kąta, ale najpierw musisz dowiedzieć się, co ogólnie robi trygonometria.
Historycznie trójkąty prostokątne były głównym przedmiotem badań w tej części nauk matematycznych. Obecność kąta 90 stopni umożliwia wykonywanie różnych operacji, które pozwalają na dwaboki i jeden róg lub dwa rogi i jeden bok, aby określić wartości wszystkich parametrów danej figury. W przeszłości ludzie zauważyli ten schemat i zaczęli go aktywnie wykorzystywać w budowie budynków, nawigacji, astronomii, a nawet sztuce.
Incepcja
Początkowo mówiono o relacji kątów i boków wyłącznie na przykładzie trójkątów prostokątnych. Następnie odkryto specjalne formuły, które umożliwiły poszerzenie granic zastosowania w życiu codziennym tego działu matematyki.
Dzisiejsza nauka trygonometrii w szkole zaczyna się od trójkątów prostokątnych, po czym zdobyta wiedza jest wykorzystywana przez uczniów w fizyce i rozwiązywaniu abstrakcyjnych równań trygonometrycznych, z którymi praca zaczyna się w liceum.
Trygonometria sferyczna
Później, kiedy nauka osiągnęła kolejny poziom rozwoju, wzory z sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem zaczęły być używane w geometrii sferycznej, gdzie obowiązują inne zasady, a suma kątów w trójkącie jest zawsze większa niż 180 stopni. Ten odcinek nie jest studiowany w szkole, ale trzeba wiedzieć o jego istnieniu, chociażby dlatego, że powierzchnia Ziemi, jak i powierzchnia każdej innej planety, jest wypukła, co oznacza, że wszelkie oznaczenia powierzchni będą miały kształt „łuku”. w przestrzeni trójwymiarowej.
Weź kulę ziemską i wątek. Przymocuj nić do dowolnych dwóch punktów na kuli ziemskiej, aby była napięta. Zwróć uwagę - nabrała kształtu łuku. Zajmuje się takimi formamigeometria sferyczna stosowana w geodezji, astronomii i innych dziedzinach teoretycznych i stosowanych.
Prawy trójkąt
Po zapoznaniu się trochę ze sposobami korzystania z trygonometrii, wróćmy do podstawowej trygonometrii, aby lepiej zrozumieć, czym są sinus, cosinus, tangens, jakie obliczenia można wykonać za ich pomocą i jakich wzorów użyć.
Przede wszystkim musisz zrozumieć pojęcia związane z trójkątem prostokątnym. Po pierwsze, przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do kąta 90 stopni. Ona jest najdłuższa. Pamiętamy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jego wartość liczbowa jest równa pierwiastkowi sumy kwadratów dwóch pozostałych boków.
Na przykład, jeśli dwa boki mają odpowiednio 3 i 4 centymetry, długość przeciwprostokątnej wyniesie 5 centymetrów. Nawiasem mówiąc, starożytni Egipcjanie wiedzieli o tym około cztery i pół tysiąca lat temu.
Dwie pozostałe strony, które tworzą kąt prosty, nazywane są nogami. Dodatkowo musimy pamiętać, że suma kątów w trójkącie w prostokątnym układzie współrzędnych wynosi 180 stopni.
Definicja
Na koniec, mając solidne zrozumienie podstawy geometrycznej, możemy przejść do definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta.
Sinus kąta jest stosunkiem przeciwległej nogi (czyli strony przeciwnej do pożądanego kąta) do przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Pamiętaj, że ani sinus, ani cosinus nie mogą być większe niż jeden! Czemu?Ponieważ przeciwprostokątna jest domyślnie najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego. Bez względu na długość nogi, będzie ona krótsza niż przeciwprostokątna, co oznacza, że ich stosunek zawsze będzie mniejszy niż jeden. Tak więc, jeśli otrzymasz sinus lub cosinus o wartości większej niż 1 w odpowiedzi na problem, poszukaj błędu w obliczeniach lub w rozumowaniu. Ta odpowiedź jest wyraźnie błędna.
Na koniec tangens kąta to stosunek strony przeciwnej do sąsiedniej. Ten sam wynik da dzielenie sinusa przez cosinus. Spójrz: zgodnie ze wzorem dzielimy długość boku przez przeciwprostokątną, po czym dzielimy przez długość drugiego boku i mnożymy przez przeciwprostokątną. W ten sposób otrzymujemy taki sam stosunek jak w definicji stycznej.
Cotangens, odpowiednio, jest stosunkiem boku przylegającego do narożnika do strony przeciwnej. Ten sam wynik otrzymujemy dzieląc jednostkę przez tangens.
Zatem rozważyliśmy definicje tego, co jest sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem, i możemy poradzić sobie ze wzorami.
Proste formuły
W trygonometrii nie można obejść się bez wzorów - jak znaleźć sinus, cosinus, tangens, cotangens bez nich? Ale właśnie to jest wymagane przy rozwiązywaniu problemów.
Pierwszy wzór, który musisz znać rozpoczynając naukę trygonometrii, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta jest równa jeden. Ta formuła jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ale oszczędza czas, jeśli musisz znaleźć wartość kąta, a nie boku.
Wielu uczniów nie pamięta drugiej formuły, również bardzopopularne w rozwiązywaniu problemów szkolnych: suma jedynki i kwadratu stycznej kąta jest równa jedności podzielonej przez kwadrat cosinusa kąta. Przyjrzyjmy się bliżej: w końcu to to samo stwierdzenie, co w pierwszym wzorze, tylko obie strony tożsamości zostały podzielone kwadratem cosinusa. Okazuje się, że prosta operacja matematyczna sprawia, że wzór trygonometryczny jest zupełnie nierozpoznawalny. Pamiętaj: wiedząc, co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens, zasady przeliczania i kilka podstawowych wzorów, możesz w dowolnym momencie samodzielnie wyprowadzić wymagane bardziej złożone formuły na kartce papieru.
Formuły podwójnego kąta i dodawanie argumentów
Dwa kolejne formuły do nauczenia są związane z wartościami sinusa i cosinusa dla sumy i różnicy kątów. Pokazano je na poniższym rysunku. Zwróć uwagę, że w pierwszym przypadku sinus i cosinus są mnożone oba razy, aw drugim przypadku dodawany jest iloczyn par sinusa i cosinusa.
Istnieją również formuły powiązane z argumentami podwójnego kąta. Wywodzą się one całkowicie z poprzednich - w ramach praktyki postaraj się je zdobyć samodzielnie, przyjmując kąt alfa równy kątowi beta.
Na koniec zwróć uwagę, że formuły podwójnego kąta można przekonwertować w celu zmniejszenia stopnia sinusa, cosinusa i tangensa alfa.
Twierdzenia
Dwa główne twierdzenia w podstawowej trygonometrii to twierdzenie sinus i twierdzenie cosinus. Za pomocą tych twierdzeń możesz łatwo zrozumieć, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens, a tym samym obszar figury i wielkośćz każdej strony itp.
Twierdzenie sinusów mówi, że w wyniku podzielenia długości każdego z boków trójkąta przez wartość przeciwnego kąta otrzymujemy tę samą liczbę. Ponadto liczba ta będzie równa dwóm promieniom okręgu opisanego, czyli okręgu zawierającego wszystkie punkty danego trójkąta.
Twierdzenie cosinus uogólnia twierdzenie Pitagorasa, rzutując je na dowolne trójkąty. Okazuje się, że od sumy kwadratów dwóch boków odejmij ich iloczyn pomnożony przez podwójny cosinus kąta sąsiedniego - otrzymana wartość będzie równa kwadratowi trzeciego boku. Zatem twierdzenie Pitagorasa okazuje się być szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinus.
Błędy spowodowane nieuwagą
Nawet wiedząc, co to jest sinus, cosinus i tangens, łatwo jest popełnić błąd z powodu roztargnienia lub błędu w najprostszych obliczeniach. Aby uniknąć takich błędów, przyjrzyjmy się najpopularniejszym z nich.
Po pierwsze, nie zamieniaj ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne przed uzyskaniem wyniku końcowego - możesz zostawić odpowiedź jako ułamek zwykły, chyba że w warunku określono inaczej. Takiej transformacji nie można nazwać błędem, należy jednak pamiętać, że na każdym etapie zadania mogą pojawiać się nowe korzenie, które zgodnie z zamysłem autora należy redukować. W takim przypadku zmarnujesz czas na niepotrzebne operacje matematyczne. Dotyczy to zwłaszcza wartości takich jak pierwiastek z trzech lub dwóch, ponieważ występują one w zadaniach na każdym kroku. To samo dotyczy zaokrąglania.„Brzydkie” liczby.
Następnie zauważ, że twierdzenie cosinus dotyczy dowolnego trójkąta, ale nie twierdzenia Pitagorasa! Jeśli omyłkowo zapomnisz odjąć dwukrotnie iloczyn boków pomnożony przez cosinus kąta między nimi, nie tylko uzyskasz całkowicie błędny wynik, ale także zademonstrujesz całkowite niezrozumienie tematu. To gorsze niż nieostrożny błąd.
Po trzecie, nie myl wartości dla kątów 30 i 60 stopni dla sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Zapamiętaj te wartości, ponieważ sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 i na odwrót. Łatwo je pomylić i nieuchronnie otrzymasz błędny wynik.
Aplikacja
Wielu uczniów nie spieszy się z rozpoczęciem nauki trygonometrii, ponieważ nie rozumieją jej znaczenia. Czym jest sinus, cosinus, tangens dla inżyniera lub astronoma? Są to koncepcje, dzięki którym można obliczyć odległość do odległych gwiazd, przewidzieć upadek meteorytu, wysłać sondę badawczą na inną planetę. Bez nich nie da się zbudować budynku, zaprojektować samochodu, obliczyć obciążenia powierzchni czy trajektorii obiektu. A to tylko najbardziej oczywiste przykłady! W końcu trygonometria w takiej czy innej formie jest używana wszędzie, od muzyki po medycynę.
Na zakończenie
Więc wiesz, co to jest sinus, cosinus i tangens. Możesz je wykorzystać w obliczeniach i skutecznie rozwiązać problemy szkolne.
Cały punkttrygonometria sprowadza się do tego, że zgodnie ze znanymi parametrami trójkąta konieczne jest obliczenie niewiadomych. W sumie jest sześć parametrów: długości trzech boków i wielkości trzech kątów. Cała różnica w zadaniach polega na tym, że podawane są różne dane wejściowe.
Jak znaleźć sinus, cosinus i tangens na podstawie znanych długości nóg lub przeciwprostokątnej, już wiesz. Ponieważ te terminy oznaczają tylko stosunek, a stosunek jest ułamkiem, głównym celem zadania trygonometrycznego jest znalezienie pierwiastków równania zwyczajnego lub układu równań. I tutaj pomoże Ci zwykła szkolna matematyka.
